[数学]统计概率知识点梳理总结

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1、统计概率知识点梳理总结第一章 随机事件与概率一、教学要求1理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算2了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算3理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算4理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算5掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率本章重点：随机事件的概率计算二、知识要点1随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验：(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； (2) 每次试验的可能

2、结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用 表示，其中的每一个结果用e表示， 称为样本空间中的样本点，记作 e2随机事件 在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件)通常把必然事件(记作 )与不可能事件(记作 )看作特殊的随机事件3*事件的关系及运算(1) 包含：若事件 A发生，一定导致事件 B发生，那么，称事件 B包含事件 A，记作 AB(或 )(2) 相等：若两事件 与 相互包含，即 A且 ，那么，称事件 与相等，记作 (3) 和

3、事件：“事件 A 与事件 B 中至少有一个发生”这一事件称为 A 与 B 的和事件，记作 B；“n 个事件 1,2,nL中至少有一事件发生”这一事件称为1,2,nAL的和，记作 12nA（简记为 1niU）(4) 积事件：“事件 A 与事件 B 同时发生”这一事件称为 A 与 B 的积事件，记作B(简记为 )；“n 个事件 1,2,nL同时发生”这一事件称为1,2,nAL的积事件，记作 12n（简记为 12nL或 1iI)(5) 互不相容：若事件 A 和 B 不能同时发生，即 AB，那么称事件 A 与 B 互不相容(或互斥) ，若 n 个事件 1,2,nL中任意两个事件不能同时发生，即ijA(

4、1ij几) ，那么，称事件 1,2,n互不相容(6) 对立事件：若事件 A 和 B 互不相容、且它们中必有一事件发生，即 AB且B，那么，称 A 与 B 是对立的事件 A 的对立事件 (或逆事件)记作 (7) 差事件：若事件 A 发生且事件 B 不发生，那么，称这个事件为事件 A 与 B 的差事件，记作 (或 ) (8) 交换律：对任意两个事件和 B 有AB， AB(9) 结合律：对任意事件 A，B，C 有()()， ()()C (10) 分配律：对任意事件 A，B ，C 有()()()ABC， ()()()BAC(11) 德 g摩根（De Morgan）法则：对任意事件 A 和 B 有AB,

5、 .4频率与概率的定义(1) 频率的定义设随机事件 A 在 n 次重复试验中发生了 An次，则比值 Ann 称为随机事件 A 发生的频率，记作 ()nf，即 ()Af.(2) 概率的统计定义在进行大量重复试验中，随机事件 A 发生的频率具有稳定性，即当试验次数 n 很大时，频率 ()nfA在一个稳定的值 p(0 1)附近摆动，规定事件 A 发生的频率的稳定值 p为概率，即 P(3) *古典概率的定义具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：(i) 试验的样本空间 是个有限集，不妨记作 12,neL;(ii) 在每次试验中，每个样本点 ie( ,n）出现的概率相同，即12()()nPPe

6、L在古典概型中，规定事件 A 的概率为() AnAP中 所 含 样 本 点 的 个 数中 所 含 样 本 点 的 个 数(4) 几何概率的定义如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域) ，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件的概率为 ()AP的 长 度 （ 或 面 积 、 体 积 ）样 本 空 间 的 的 长 度 （ 或 面 积 、 体 积 ）(5) 概率的公理化定义设随机试验的样本空间为 ，随机事件 A 是 的子集， ()PA是实值函数，若满足下列三条公理：公理 1 (非负性) 对于任一随机事件，有 ()0；公理 2 (规范性) 对于必然事

7、件 ，有 1P；公理 3 (可列可加性) 对于两两互不相容的事件 1,2,nAL，有11()()iiiPU，则称 ()PA为随机事件的概率5*概率的性质由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质(1) ()0P(2) (有限可加性) 设 n 个事件 1,2nAL两两互不相容，则有121()()niiPPA(3) 对于任意一个事件 A： ()() (4) 若事件 A，B 满足 ，则有 ()()PBAP,(5) 对于任意一个事件 A，有 ()1(6) (加法公式) 对于任意两个事件 A，B ，有()()()PPAB.对于任意 n 个事件 1,2nAL，有11111()()()()()nii ij

8、 ijk niijnijknPPPAPALLU.6*条件概率与乘法公式设 A 与 B 是两个事件在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率称为条件概率，记作 (|)P当 ()0，规定 ()(|)PA.在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质乘法公式：对于任意两个事件 A 与 B，当 ()0P, ()B时，有()(|PA.7*随机事件的相互独立性如果事件 A 与 B 满足 ()()PAB，那么，称事件 A 与 B 相互独立关于事件 A，月的独立性有下列两条性质： (1) 如果 ()0PA，那么，事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件是(|)B；如果 ()，那么，事件 A 与 B 相互独立的充

9、分必要条件是(这条性质的直观意义是“事件 A 与 B 发生与否互不影响 ” (2) 下列四个命题是等价的：(i) 事件 A 与 B 相互独立； (ii) 事件 A 与 相互独立；(iii) 事件 与 B 相互独立；(iv) 事件 与 相互独立对于任意 n 个事件 1,2nAL相互独立性定义如下：对任意一个 2,knL，任意的1kiiL，若事件 ,总满足11()()k kiiiiPAPL，则称事件 1,2nAL相互独立这里实际上包含了 2n个等式8*贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件发生的概率 ()01)PAp，则在 n 次重复独立试验中，事件恰发生 k次的概率为()(1),01,kn

10、knPpnL，称这组概率为二项概率 9*全概率公式与贝叶斯公式全概率公式：如果事件 1,2nAL两两互不相容，且 1niAU， ()0iP，1,2inL，则1()|)(|),12,kkkniiiPABnL第二章 离散型随机变量及其分布一、教学要求1理解离散型随机变量及其概率函数的概念并掌握其性质，掌握 0-1 分布、二项分布、泊松(Poisson)分布、均匀分布、几何分布及其应用理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计算有关事件的概率理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布4掌握离散型随机变量独立的条件5. 会求离散型随机变量及简单随机变量函数的

11、概率分布本章重点：离散型随机变量的分布及其概率计算二、知识要点1一维随机变量若对于随机试验的样本空间 中的每个试验结果 e，变量 X都有一个确定的实数值与 e相对应，即 ()Xe，则称 X是一个一维随机变量概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布2*离散型随机变量及其概率函数如果随机变量 X仅可能取有限个或可列无限多个值，则称 X为离散型随机变量设离散型随机变量 的可能取值为 (1,2,)ianL，),.iipP若 1ip，则称 (1,2,)inL离散型随机变量 X的概率函数，概率函数也可用下列表格形式表示： X12naaLrP12npp*概率函数的性质(1) 0ip

12、， 1,2,;inL(2) 1i由已知的概率函数可以算得概率 ()iaSPXp，其中， S是实数轴上的一个集合*常用离散型随机变量的分布(1)01 分布 (1,)Bp，它的概率函数为 1()()iiPXp，其中， i或 1， 0(2)二项分布 (,)Bnp，它的概率函数为 ()(1)iniPXip，其中， 0,12,inL， 01p()泊松分布 ()，它的概率函数为()!iPXe，其中， 0,12,inL， 0()均匀分布，它的概率函数为1()iPXan，其中， 0,12,inL二维随机变量若对于试验的样本空间 中的每个试验结果 e，有序变量 (,)XY都有确定的一对实数值与 e 相对应，即

13、()Xe， ()Y，则称 (,)为二维随机变量或二维随机向量6*二维离散型随机变量及联合概率函数如果二维随机变量 (,)XY仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称 (,)XY为二维离散型随机变量二维离散型随机变量 (,)的分布可用下列联合概率函数来表示： ,),1,2ijijPXaYbpL其中，0,1,21ij ijipijL7二维离散型随机变量的边缘概率函数设 (,)XY为二维离散型随机变量， ijp为其联合概率函数（ ,12,ijL），称概率12,iPaL为随机变量 X的边缘概率函数，记为 ipg并有.(),12,iiijpPaL，称概率 ()1,2)jYb为随机变量 Y 的边缘概率函数，

14、记为 .jp，并有 .jp=(),12,jijPYbpL. 8随机变量的相互独立性 设 (,)XY为二维离散型随机变量， X与 Y相互独立的充分必要条件为,12,.ijijpijgL对 一 切多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论9随机变量函数的分布设 X是一个随机变量， ()gx是一个已知函数， ()YgX是随机变量 的函数，它也是一个随机变量对离散型随机变量 X，下面来求这个新的随机变量 Y的分布设离散型随机变量 X的概率函数为 12naaLrP12npp则随机变量函数 ()YgX的概率函数可由下表求得 ()12()()ngagaLrP1p 2 n

15、p但要注意，若 ()iga的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率 ip相加第三章 连续型随机变量及其分布一、教学要求1理解连续型随机变量及其概率密度的概念，并掌握其性质，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用2理解二维随机变量的联合分布的概念、性质以及连续型随机变量联合概率密度；会利用二维概率分布计算有关事件的概率3理解二维随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布4理解随机变量的独立性概念，掌握连续型随机变量独立的条件5掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数，理解其中参数的概率意义(不考)6 会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个随机变量之和的概率分布(不考)会求简单随机变量函数的概率分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算二、知识要