杨辉三角及其空间拓展

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1、42杨辉三角及其空间拓展株洲市二中 G0216 刘子儒 郭时伟 摘 要本文首先对杨辉三角中特有的数学规律作了初步探索， 发现 了其奇偶排列的等边三角形现象。然后，在研究中，我们在空间杨辉三角的问题上迈出了第一步由平面杨辉三角走向三维杨辉三角。我们在研究 过程中推导出了三维杨辉 三角数坐标公式，并 总结出其与三项式系数的关系。在三维杨辉 三角模型的基础上我们 又续而导出四维杨辉三角和N维杨辉三角。经过努力的研究，最后归纳出了四维及N 维杨辉 三角数坐标公式。由此得出了 N项式展开项系数定理。在研究 过程中我们还有机地结合现 代计算机技术协助公式的推导，并将其付之实用，进一步完善了 课题的研究。

2、对此,还有几名著名的数学教授提出了宝 贵的意见。这些都是前人从未涉足过的领域，而 这篇论文把这次研究的新 颖性给淋漓尽致地体现出来了。关键词：杨辉三角 空间 公式 系数杨辉三角，作为中国古代数学中的奇迹。在数学计算中，日常生活中，无时不刻地展示着自己的魅力。从古至今，从中国到外国，有无数的学者为之着迷。但是，以往的学者们的研究只限于平面内的杨辉三角。如果考虑到空间上的拓展，那在学术上是突破性的。所以我们决定对杨辉三角进行全面、深刻地分析，将其拓展到三维、四维乃至 N 维。研究杨辉三角，是在偶然中想到的。对于多次出现在数学课本上的“杨辉三角” ，不对其有些想法才是奇怪了。而恰好我的母亲又叫“杨辉

3、” 。所以，小时候第一次在十万个为什么中看到时就留下了深刻的印象。再加上多次、再次地在高中数学课本中“相遇” ，愈发觉得亲切。一杨辉三角的相关信息看似简单的一个数字列表，却蕴藏着很深的奥秘。这无疑是我国古代劳动人民智慧的结晶，也集中地体现了数学的奥妙无穷。有了它，我们可以轻易地计算两个数的和的几次方，甚至用来开一个数的几次方。杨辉（约十三世纪）字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，是我国南宋时的数学家，杨辉的数学著作有讲解九章算法十二卷，流传至今的只是其中的一部分，其中“开方作法本源”载有二项式系数三角形，后人称为杨辉三角形，此外，他还著有日用算法二卷， 乘除通变算宝三卷， 田亩比类乘除捷法二卷、 续

4、古摘奇算法二卷等。43二项式展开的系数，按（图 1.1）排列成一个三角形。这里每一行的外侧的两数都是1，中间的数字等于两肩的数的和。这一三角形最早发现于我国南宋数学家杨辉所著详解九章算法一书（1261 年） ，在我国通常称为杨辉三角形，杨辉在书中指出“一出释锁算书，贾宪用此术” ，可见更早时代的贾宪已知道这一三角形了。并且，当时不仅用这一三角来求二项展开式的系数，还用于对一个数开 n 次方。在西方，十五世纪和十六世纪时，也有多人发现了这一三角形。国外却把它叫做帕斯卡三角形。而法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal，16231662）发现这一三角形却是十七世纪的事，比我国杨辉晚了五百年左右

5、，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。首先，让我们来看看杨辉三角的某些性质。1.项数:在杨辉三角的第 n 行的项数为(n+1)。2.系数:在杨辉三角形的第 n 行，各项的系数分别为：C 、C 、C C （n=1、2、3）2n12n这与二项式定理有密切的联系：(a+b)n=C an+C an-1b1+C an-rbr+C bn（n N*）0rn在其中令 a=b=1 则 C +C +C +C =2n02所以，可推出杨辉三角形的第 n 行的系数和为 2n。3.总项数:在杨辉三角形的 n 行及以上，总的项数 K= (n+1)(n+2)14.通项公式:令 C 表示第几行第(m+1)个数，

6、则这个数的系数为 C =mn mn!)(11(a+b) 0111 231 361 4101 5 110 5114(a+b) 1(a+b) 2(a+b) 3(a+b) 4(a+b) 520图1.144所以这个数为 M= C an-mbm=n!)(!nam5.最大值：在杨辉三角的第几行中（m N*）,当 n=2m， K m= C ，即中间的一项n/2当 n=2m+1，K m=C ，或 Km= C ，即中间的两项。1)/2-(n1)/2(n以上是我们查阅的资料，再来看看我们自己的发现。如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出，便又会出现一种奇特的现象，所有的偶数都会呈现出倒立的等边三角形状排列，而奇

7、数都成正立三角形排列，且等边三角形（偶数）的边长依次为：3、7、15、31、63经过反复思考比对，我们又发出现了其中的规律即：3=22-1 7=23-1 15=24-1 31=25-1即所有的偶数依次排出以（2 n-1） （n N*）的AB 图5.145长度为边长的倒立的等边三角形。以上种种的性质都向我们展示了杨辉三角独特的魅力，那么，它在解题中有哪些运用呢？例：如图 5.1，有一只猫在 A 点，它要跑到老鼠所在的 B 点，要求它只能向上或向右跑，问有几种跑法。如图，本题的背景正是著名的杨辉三角形，只需以 A 点为顶点，依次排出杨辉三角，容易解得共有 35 种走法。这是信息学中典型的有向图的问

8、题，或许信息学的朋友对信息题的数学解法并不陌生，但想不到还可以用杨辉三角解有向图吧！以上的例子还有很多很多，这里就不一一列举了，这也已经足以反映杨辉三角的魅力之所在了。二、二维直角坐标系中的杨辉三角为了研究方便，我借鉴平面直角坐标系将杨辉三角放了进去。正如图所示，在平面直角坐标系里，杨辉三角成了直角三角形了。且它还具有一个特点，就是这个平面直角坐标系是由两个直角坐标系重叠而成的。图7.1111 14 10 201 12 3 43 6 10351 1515115 15 356211267056图7.2b2b1b0 a1ab3 a2b3 a3b3a2 a3ab a2b a3bab2 a2b2 a3

9、b2a4b3a4 a5a4ba4b2b4b3ab4 a2b4 a3b4a5ba5b2a5b4a4b4a5b3一边是杨辉三角的系数的坐标系，另一边是 a、b 各项的次数的坐标系，当两者合并AB 1 1 1 14 10 20 353 6 10 152 3 4 51111图5.211(b 3)1114 10(ab3) (a+b)2 (a+b)3(a+b)1(a+b) 0(b 2)(b 1)(b 0)(a 1)(a2b3) (a3b3) 201(a 2)1(a 3)1(a 4)2 3(ab) (a2b) (a3b) 43 6(ab2) (a2b2) (a3b2) 10(a 0)a b 图2.146P=

10、C yxx=n-my=m m=y n=x+y成为新的杨辉三角形时，一切的运算与规律都已经系统化了，沿着经过整点的斜率为-1的线，我们轻易地可以找到(a+b) n的系数与项数，这也就是坐标系，系统化的杨辉三角，二项式定理。既然是在平面直角坐标系中（这里只考虑整点） ，点与坐标就会有一一对应的关系，这其中就必然有规律，经过我们的推理，得出了杨辉三角的平面公式。本来杨辉三角第 n 行 0、1、2、mn+1 各数则第(m+1)个数 Pm=C ,当呈直角坐标系时这就系统地表达了杨辉三角的内含，这更有助于我们研究其规律，及研究二项式的展开项。三、三维直角坐标系中的杨辉三角当研究了二维直角坐标系中的杨辉三角

11、后，就很自然地想到三维直角坐标系，我们完全可以将 3 个二维直角坐标系中的杨辉三角放在一起，组成三维直角坐标系中的杨辉三角。47图9.11111 1 133111133336BCAD图8.111114 10 201 12 3 43 6 10351515115 15 35 7055551515151535353535 7070111122 33334444661010101020206 121212Y (b)Z (c)X (a)正如上图，我们得到了一组在空间有序排列的数字，这就是我们的立体杨辉三角，那么，它又有哪些性质呢？对此我们再度展开了研究与探索：立体杨辉三角中的每一个平面内都是一个杨辉三角

12、的平面型，所以它就包含了一般杨辉三角的所有性质，其中最主要的当然是对二项展开式系数的表示，对于（a+b） n，在面的斜线上我们依次可以找到各项系数分别是C 、C 、C 、C C (nN *)0n12n3n纵观整位体图，我们发现，以原点为顶点，过坐标轴上某一顶点截下一个正三棱锥，以下图为例我们截下立体杨辉三角中的正三棱锥 OABC，首先，沿底边依次有数字1，3，3，1，3，3，1，3，3，这到底有什么规律呢？我们一时还看不出来，但仔细一算，我们还忽略了一点重要的地方，假设点 O 到48ABC 的距离为 d，则有： OBCABCOVSS3131 OACBdin2132 3d又 122ODD 在面

13、ABC 上所以，这个三棱锥底面上的数字为 1，3，3，1，3，3，1，3，3，6同样也，我们共截下了 3 个正三棱锥，它们底边的数字为：1、1、1、CBA1，2，1，2，1，2O1，3，3，1，3，3，1，3，3，6这时，我们发现 cbacba1)( acbc2222 abcc 6333)(22333 我们又继续地研究，发现这确实是我们的立体杨辉三角的规律，有了它，我们可以做出三项式的展开项的系数，即，在面对 这样的式子时，我们可以轻易地知ncba)(道它的每一项的系数了。在古希腊，毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10，15这些数，即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，1+2+3+4+5称作

14、三角形数，因为它们可以组成正三角形，如图而我们作的各个正三棱锥的底面上的整点数（包括原点） ，也正好符合三角形数的原理，而且最重要的，也是与平面的杨辉三角形的联系最紧密的是，它们正好是49的各项系数。为了更清淅地观察，我们又做了立体三维的实物模型。ncba)(与平面的杨辉三角形类似，我们又做了另一个空间直角坐标系，让三条轴分别为A、B、C 三轴，轴上标出它们的项数递推。这样一来，将两个空间直角坐标系合并后，我们便能得到将系数、项数合并系统化的杨辉三角立体图。在实物模型上，我们可以更好地分析出各数字之间的关系，但我们又把目标瞄向了杨辉三角的立体公式。公式推导：设在空间直角坐标系中有一点 P（x，

15、y，z）首先，过 y=0 作 x-z 平面的平行截面（并以此为“标一” ）过 y=1 作 x-z 平面的平行截面我们发现：当过 y=y0作 x-z 平面的平行截面时，x、z 轴上的坐标依次变成了“标一”中 x（或 z）=y 0的那一行坐标。即1、 、 、 yC1y2yC3yn过截面的某一点 P（x，z）做 K=1 的直线与 x 轴交于一点，这一点的坐标为 ,令 Pyzx点的系数为 MP。在“标一”中对应一点 P（x，z） ，zx541x3223451201230 2012362(b2)zx11111111143 643322(b2)50令 P的系数为 MP，则有MP= MPyzxC根据以上两点规律，便可作出证明：过 y=y0作 x-z 平面的平行截面，则 P 在截面内的（x 0，z 0）过 P 做 K=-1 的直线交 x 轴于第(x 0+z0)个点，对应 而 P（x 0，z 0）在“标yzx一”内对应系数MP= xzCMP= yzxzx公式：对于(a+b+c) n的展开项 axbycz(x+y+z=n)的系数 P，有：P= zyxxz四、N 维杨辉三角与 N+1 维杨辉三角之间的关系平面的杨辉三角可以求出 na)(21立体的杨辉三角可以求出 3我们认为：拼凑了一定数量的杨辉三角形必可以求出(a 1+a2+am)n的各项