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1、福建师范大学试卷纸 共 页，第 页0求不定积分222 2sincosscoscoininicosin2cosxdxxxdxxx求不定积分方法：（1）两类换元法；（2）分部积分法(重点) ；排序：与 dx 凑的依次为指数和三角， 多项式适用类型：被积函数含有两种不同函数类型，或含有对数或或反三角函数求极限三种类型（I）变上限积分函数类型求极限（II）定积分的定义（数项级数转化为定积分求解）III）利用级数收敛性求极限（级数收敛则通项为 0）2220 06502220530220(tan)tantlimli6ttlili3tan199x xxxxxxxdd变上限积分函数极限的解题思路：0 比 0
2、型或无穷比无穷采用洛必达法则（一般是用两次） ；注意（1）()()()uxvftdfuxfvx（2） 变上限积分函数不能用变量替换或等价量替换； 其它正常函数可以采用等价量替换可减少计算量典型例题：p208 例 2 p209ex2 和课堂练习p225 例 1 ex4 203sinlmxtd求 在 处的幂级数展开式.2()fx0x福建师范大学试卷纸 共 页，第 页12011111()()()2()22(,nnnnxxxx 又级数 的收敛域为 ，故11nnx(,)121() (2,)nnf xx 求函数在 处的幂级数展开式.xa解题思路： 适当变型，凑成含有 ()a；常数归一后用等比数列求和；求出
3、相应的收敛域；典型例题：求 在 处的幂级数展开式.21()3fx0(x或 =4)P61 例 8P63-63 ex2 （ 2,6） ex3（2）基本结论： 基本初等函数的 的幂级数展开式1,sinco,l(),xex求曲线 从 到 那一段的弧长.2xey01x解：由于 ，则弧长x 10122001()xxxesydde解题思路： 熟记求弧长的三个公式，小心计算；福建师范大学试卷纸 共 页，第 页2记住若干函数的原函数；记住求旋转体的体积公式。典型例题： 三讨论敛散性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）1. 01pxd解： ，1001pppxxd(1)LL分（I）对 ，10px（1）当 ， 为定积分.
4、 10pdx (1)LL分当 时， 是瑕点，p由于 ，则001limli1pxx (1)LL分（注： 和 有相同的收敛性。 ）10pd0p（2）当 ，即 时， 绝对收敛. 1p1p10pxd(1)L分（3）当 ，即 时， 发散. 100pxx()分（II）对 ，1pxd由于 ，1limli1pxx福建师范大学试卷纸 共 页，第 页3（4）当 ，即 时， 绝对收敛. 0p11pxd(1)LL分（5）当 ，即 时， 发散. 11ppxd()分综上， 当 时绝对收敛，当 或 时发散. 01pxd00(1)L分解题思路：若积分区间为【0， 】且只有 0 和 是仅有的两个瑕点，将积分分为瑕积分和无穷限反
5、常积分分别讨论：熟记几个常见的 p 积分；应用等价量关系；对数函数与幂函数的关系（课堂结论） 。典型例题 1： 0xed2. 1sin解：由于 ，即 部分和有界，11cos()2sininsin2m sin(2)L分又 单调递减趋于 0，根据 D-判别法， 收敛. n 1in ()L分由于 ，2sii1cos2nn(2)L分同理可证 收敛，又 发散，则 发散，1co2n1n1sin(1)L分故 条件收敛. 1sin ()L分福建师范大学试卷纸 共 页，第 页4解题思路：D-A 判别法基本结论： 11sin,cosiin22nkkxx21111cosscos2()()()()nnnn11cs(2
6、)()nn练习题： 21o()n 2211sinsin(),()n x四 （12 分）叙述函数列 在数集 上一致收敛的定义，讨论函数列()nfxD在所示区间 的一致收敛性.(),12,nxnfe(i) (ii) )D0,)证：函数列 在数集 上一致收敛：(nfx对任意 ，存在 ，当 时，对任意 ，有0NnxD.()nfxf(4)LL分(i) 1,)D对任意 ， ，x()lim()li0nnxfxfe(1)分则 ，22sup()supsup()nnxxDDxDffe ()n则 ，故 在 上一致收敛. lims()0nnxff()nf (3)L分福建师范大学试卷纸 共 页，第 页5(ii) 0,)
7、D对任意 ， ，x()lim()li0nnxfxfe(1)L分又 ，1sup()nnxDffff则 ，故 在 上不一致收敛. lim()0nxffx()nfxD(3)L分典型题目：p45 ex9 和 ex1五. 求出幂级数 的和函数，并指出其收敛域.1()nnx解：由于 ，则收敛半径 .lim 1R当 时，显然 发散，故收敛域 .1x1()nn (1,)设 ，1()()nsx， 则 11()()nnfx()sxf由于 ，又110001()()()()()xx xnnnnftdtdtdxg1000110()()()(4)L 分xxxnnnngttt则 ，20()()1)1()xgtdxx，230
8、()()()()xfftg (3)L分福建师范大学试卷纸 共 页，第 页6故 32()(1)xsxf (1)L分典型题目 ， 1()n1n1()2n2231()nx六 （12 分）证明：函数 在 上连续，且有连续的导函数.31ln()()xSx0,1证：对任意 ，任意 ， ，又 收敛，n0,332l)n21n由 M-判别法， 在 上一致收敛. 31l()nx,1 (3)L分又由 各项在 上连续，31l()nx0,则 在 上连续. 31ln()()xS,1(2)L分显然 各项在 上有连续的导函数且31ln0,，332l()1 ()xnnx(2)L分对任意 ，任意 ， ，又 收敛，n0,2(1)2
9、1n由 M-判别法， 在 上一致收敛. 21()nx, (3)L分又由 各项在 上连续，则 在 上连续，21()n0, 21()nSxx0,1福建师范大学试卷纸 共 页，第 页7即 在 上有连续的导函数. 31ln()()xSx0,1 (2)L分注 上述题目分母中 3 次方，改为两次方依然成立。典型例题：P43 例 3 P45 ex5,， ex6 和 ex7知识的重难点（级数部分）：函数列、函数项级数（包括幂级数）的解析性定理定理重点掌握， 即三个交换图成立的条件及意义；明确极限符号与求和符号、 积分符号、求导符号交换顺利的条件（交换顺序需要验证的条件：连续和可积需要验证两个条件， 可微分需要
10、验证三个条件） ，并灵活应用（往年至少有两大题）级数和反常积分得基本判别法：（I）一般判别分： D-A 判别法；M-判别分， 莱布尼茨判别法（交错级数）（II） 正项级数， 非负函数的无穷限反常积分：比较判别法（一般式子，极限形式更方便） 、比值判别法和比式判别法（级数） ；注意：比较对象： p 级数和 p 积分 ； 等比数列（记住基本结论）关于一致收敛：（III）一致收敛判定：M 判别法（不用知道极限函数） ；函数与极限函数距离的极限为 0（IV）一致收敛判定： 函数列的通项不一致收敛于 0；连续函数列的极限函数不连续；函数与极限函数距离不以 0 为极限极限。福建师范大学试卷纸 共 页，第 页8知识点掌握（基本要求）： （1）基本公式：求导公式，定积分公式，泰勒展开式，p 级数和 p 积分结论（2）重要定理；（3）典型例题（包括作业）:掌握解题思路；（4）基本结论：三角函数部分和公式；
