《数分ii知识点分析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数分ii知识点分析(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、福建师范大学试卷纸 共 页,第 页0求不定积分222 2sincosscoscoininicosin2cosxdxxxdxxx求不定积分方法:(1)两类换元法;(2)分部积分法(重点) ;排序:与 dx 凑的依次为指数和三角, 多项式适用类型:被积函数含有两种不同函数类型,或含有对数或或反三角函数求极限三种类型(I)变上限积分函数类型求极限(II)定积分的定义(数项级数转化为定积分求解)III)利用级数收敛性求极限(级数收敛则通项为 0)2220 06502220530220(tan)tantlimli6ttlili3tan199x xxxxxxxdd变上限积分函数极限的解题思路:0 比 0
2、型或无穷比无穷采用洛必达法则(一般是用两次) ;注意(1)()()()uxvftdfuxfvx(2) 变上限积分函数不能用变量替换或等价量替换; 其它正常函数可以采用等价量替换可减少计算量典型例题:p208 例 2 p209ex2 和课堂练习p225 例 1 ex4 203sinlmxtd求 在 处的幂级数展开式.2()fx0x福建师范大学试卷纸 共 页,第 页12011111()()()2()22(,nnnnxxxx 又级数 的收敛域为 ,故11nnx(,)121() (2,)nnf xx 求函数在 处的幂级数展开式.xa解题思路: 适当变型,凑成含有 ()a;常数归一后用等比数列求和;求出
3、相应的收敛域;典型例题:求 在 处的幂级数展开式.21()3fx0(x或 =4)P61 例 8P63-63 ex2 ( 2,6) ex3(2)基本结论: 基本初等函数的 的幂级数展开式1,sinco,l(),xex求曲线 从 到 那一段的弧长.2xey01x解:由于 ,则弧长x 10122001()xxxesydde解题思路: 熟记求弧长的三个公式,小心计算;福建师范大学试卷纸 共 页,第 页2记住若干函数的原函数;记住求旋转体的体积公式。典型例题: 三讨论敛散性(包括绝对收敛、条件收敛、发散)1. 01pxd解: ,1001pppxxd(1)LL分(I)对 ,10px(1)当 , 为定积分.
4、 10pdx (1)LL分当 时, 是瑕点,p由于 ,则001limli1pxx (1)LL分(注: 和 有相同的收敛性。 )10pd0p(2)当 ,即 时, 绝对收敛. 1p1p10pxd(1)L分(3)当 ,即 时, 发散. 100pxx()分(II)对 ,1pxd由于 ,1limli1pxx福建师范大学试卷纸 共 页,第 页3(4)当 ,即 时, 绝对收敛. 0p11pxd(1)LL分(5)当 ,即 时, 发散. 11ppxd()分综上, 当 时绝对收敛,当 或 时发散. 01pxd00(1)L分解题思路:若积分区间为【0, 】且只有 0 和 是仅有的两个瑕点,将积分分为瑕积分和无穷限反
5、常积分分别讨论:熟记几个常见的 p 积分;应用等价量关系;对数函数与幂函数的关系(课堂结论) 。典型例题 1: 0xed2. 1sin解:由于 ,即 部分和有界,11cos()2sininsin2m sin(2)L分又 单调递减趋于 0,根据 D-判别法, 收敛. n 1in ()L分由于 ,2sii1cos2nn(2)L分同理可证 收敛,又 发散,则 发散,1co2n1n1sin(1)L分故 条件收敛. 1sin ()L分福建师范大学试卷纸 共 页,第 页4解题思路:D-A 判别法基本结论: 11sin,cosiin22nkkxx21111cosscos2()()()()nnnn11cs(2
6、)()nn练习题: 21o()n 2211sinsin(),()n x四 (12 分)叙述函数列 在数集 上一致收敛的定义,讨论函数列()nfxD在所示区间 的一致收敛性.(),12,nxnfe(i) (ii) )D0,)证:函数列 在数集 上一致收敛:(nfx对任意 ,存在 ,当 时,对任意 ,有0NnxD.()nfxf(4)LL分(i) 1,)D对任意 , ,x()lim()li0nnxfxfe(1)分则 ,22sup()supsup()nnxxDDxDffe ()n则 ,故 在 上一致收敛. lims()0nnxff()nf (3)L分福建师范大学试卷纸 共 页,第 页5(ii) 0,)
7、D对任意 , ,x()lim()li0nnxfxfe(1)L分又 ,1sup()nnxDffff则 ,故 在 上不一致收敛. lim()0nxffx()nfxD(3)L分典型题目:p45 ex9 和 ex1五. 求出幂级数 的和函数,并指出其收敛域.1()nnx解:由于 ,则收敛半径 .lim 1R当 时,显然 发散,故收敛域 .1x1()nn (1,)设 ,1()()nsx, 则 11()()nnfx()sxf由于 ,又110001()()()()()xx xnnnnftdtdtdxg1000110()()()(4)L 分xxxnnnngttt则 ,20()()1)1()xgtdxx,230
8、()()()()xfftg (3)L分福建师范大学试卷纸 共 页,第 页6故 32()(1)xsxf (1)L分典型题目 , 1()n1n1()2n2231()nx六 (12 分)证明:函数 在 上连续,且有连续的导函数.31ln()()xSx0,1证:对任意 ,任意 , ,又 收敛,n0,332l)n21n由 M-判别法, 在 上一致收敛. 31l()nx,1 (3)L分又由 各项在 上连续,31l()nx0,则 在 上连续. 31ln()()xS,1(2)L分显然 各项在 上有连续的导函数且31ln0,,332l()1 ()xnnx(2)L分对任意 ,任意 , ,又 收敛,n0,2(1)2
9、1n由 M-判别法, 在 上一致收敛. 21()nx, (3)L分又由 各项在 上连续,则 在 上连续,21()n0, 21()nSxx0,1福建师范大学试卷纸 共 页,第 页7即 在 上有连续的导函数. 31ln()()xSx0,1 (2)L分注 上述题目分母中 3 次方,改为两次方依然成立。典型例题:P43 例 3 P45 ex5,, ex6 和 ex7知识的重难点(级数部分):函数列、函数项级数(包括幂级数)的解析性定理定理重点掌握, 即三个交换图成立的条件及意义;明确极限符号与求和符号、 积分符号、求导符号交换顺利的条件(交换顺序需要验证的条件:连续和可积需要验证两个条件, 可微分需要
10、验证三个条件) ,并灵活应用(往年至少有两大题)级数和反常积分得基本判别法:(I)一般判别分: D-A 判别法;M-判别分, 莱布尼茨判别法(交错级数)(II) 正项级数, 非负函数的无穷限反常积分:比较判别法(一般式子,极限形式更方便) 、比值判别法和比式判别法(级数) ;注意:比较对象: p 级数和 p 积分 ; 等比数列(记住基本结论)关于一致收敛:(III)一致收敛判定:M 判别法(不用知道极限函数) ;函数与极限函数距离的极限为 0(IV)一致收敛判定: 函数列的通项不一致收敛于 0;连续函数列的极限函数不连续;函数与极限函数距离不以 0 为极限极限。福建师范大学试卷纸 共 页,第 页8知识点掌握(基本要求): (1)基本公式:求导公式,定积分公式,泰勒展开式,p 级数和 p 积分结论(2)重要定理;(3)典型例题(包括作业):掌握解题思路;(4)基本结论:三角函数部分和公式;