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1、 第 1 页 共 18 页线段的定比分点公式的应用一、难点知识剖析 （一）、在运用线段的定比分点坐标公式时，要注意(x 1，y 1)是起点的坐标，(x 2，y 2)是终点的坐标，(x，y) 表示分点的坐标，在每个等式中涉及到四个不同的量，它们分别表示三个坐标和定比 ，只要知道其中任意三个量，便可求第四个量 （二）、如何确定定比分点坐标公式中的 1、由坐标确定： 分 点 坐 标终 点 坐 标 起 点 坐 标分 点 坐 标 yx21212、由 确定：先求 （不能错误的表示为 ）再据 与 的方向决定 的符号 12Pur |21P21P12P例：设点例：设点 P （ ， ，点，点 P是直线是直线 上任
2、意一点，且满足上任意一点，且满足 ， 求点求点 P的坐标的坐标 .1),1yx),(2yx21 12ur（三）、特殊情况的分析 1、 0 时，分点 P 与起点 P1重合 2、 1 时，分点 P 为线段 P1P2的中点 3、 不可能等于1 （若 1，则 P1、P 2重合，与 P1P2为线段矛盾） (，1)(1，) 4、无论 取何实数（当然 1）分点 P 不可能与终点 P2重合 二、例题讲解 例 1、已知点 A 分有向线段 的比为 2，求下列定比 ：（1）A 分 的比；（2）B 分 的比；（3）C 分 的比 第 2 页 共 18 页分析：本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然 解答：因为
3、 A 分 的比为 2，所以 A 在 BC 之间，且|BA|2|AC|（如图所示） 例 2、已知 P 分 所成的比为 ，O 为平面上任意一点， 求证：线段定比分点向量公式证明： P 分 所成比为 ， 例 3、已知三点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D 点内分 的比为 ，E 在 BC 上，且使BDE 的面积是ABC 面积的一半，求向量 的坐标（提示：三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半） 分析：要求 的坐标，就要求 D点的坐标，也要求 E点的坐标由于 E点在线段 BC上，且已知 B、C 两点的坐标，因此我们只要能确定 E分有向线段 的比，应用定比分点公式就能求
4、出 E点的坐标，将 E点坐标减去 D点的坐标就可得到向量 解答：如图所示， 第 3 页 共 18 页D 点内分 的比为 ， 设 E分有向线段 的比为 ， 第 4 页 共 18 页由题设条件可知：例 5已知 、 不共线， ， ，将符合下列条件的 向量写成 的形式：abbaOAba2BOCbanm（1）点 分 所成的比 ，求 ；CBC（2）点 分 所成的比 ，求 . 3分析：借助定比分点的概念解题。解：（1）由 ，得 ，AOBA即 . OBOC1 第 5 页 共 18 页故 ，ba23121OBAOC即 . ba35（2）由上可知 ba311A即 . 21OC小结：本题从表面上看不涉及分点的坐标问
5、题，但利用定比分点的概念，导出了这个与定比 有关的等式，这实际上是定比分点坐标公式的另一种表现形式，即向BA量形式. 值得注意的是，这个等式在解决与向量有关的一些数学问题时很有用处。例 6、如图所示，已知直线 过点 和点 ， 与 轴， 轴交于 点和 点求：点 分l)9,4(P)3,2(QlxyMN所成的比 ，点 的坐标PQN分析：设点 ，则可由 可求得 的值同样方法可求 点分 所成的比 再用定)0,(xMMQPyNPQ比分点坐标公式，求得 Ny解：设点 )0,(x， ，9,4PQ32点 分 所成的比M03)(设 点分 所成的比为 ，同理可得NPQ2129y点坐标是),0(小结：记住定比分点坐标
6、公式，要注意起点坐标在前不乘以 本题也可以这样求点 分 所成的比 ，MPQ 第 6 页 共 18 页设 ，根据定比分点坐标分式得)0,(xM解之.139,240O.3,210x在求 时也要注意讨论如已知点 在直线 上，且 ，求点 分 所成的比 PMNPN2M（1）当 点在 、 之间时， ；（2）当 点在 延长线上时， .P2PN例 7、如图所示，已知矩形 中， ， ， ， 点是 边的中点，连结 与矩ABCD)1,()4,5(B)6,3(CEDBE形的对角线 交于 点，求 点坐标ACF分析： 点在 上，若知道 点分 所成的比，则可根据定比分点坐标公式可求 点坐标，由题意知FACFACF 且 ，由
7、此知 ，即 点分 所成的比 ABEB2F2AC2解： 四边形 是矩形， 是 边的中点， ，且QDEBEFCEBCF即点 分 所成的比A2设 由 ， ，根据定比分点坐标公式得),(yx)1,()6,3(，821312点坐标是F),(小结：同理点 分 所成的比 ，由此可求得 点坐标是 ，再由中点坐标公式可求得 点坐BEE)29,3( D 第 7 页 共 18 页标是 在直角坐标系中，求点的坐标，定比分点坐标公式是重要的思想和和工具 点和 点坐标，也)3,0( ED可根据 和 求得，当然 点坐标也可根据 求得，即ABEC21DFFCA2，所以)6,(),(yxyx解之 ， ).(213381例 8若
8、直线 与连接 、 两点的线段有交点，求实数 的取值范围2axy,P2,3Qa分析：当直线与线段 有交点时，这个交点分有向线段 所成的比 不小于 0，从而得到关于 的不等QPa式，但应注意考虑端点的情况解：当直线过 点时，有 ， . P12a23当直线过 点时，有 ， . 34当直线与线段 的交点在 、 之间时，设这个交点 分 的比为 ，它的坐标为 ，则QMPQ0,yxM， . 120x120y而直线过 点，则 ，M23a整理，得 . 43a由 ，得 ，解得 或 . 002342故所求实数 的取值范围为 或 。 a小结： (1)定比 的符号是求解本题的关键应当注意，当点 在线段 上时， ；当点
9、在线段P210P或 的延长线上时， . 切不可将之混为一谈21P10（2）恰当地利用定比 的几何意义，可以解决某些看似与定比分点坐标公式无关的数学问题例 9已知 的三顶点坐标分别为 ， ， ，直线 ，交 于 ，且直线 平ABC1,A3,5B,4CABl/CDl分 的面积，求 点坐标 D分析：本题是平面几何知识与定点分点公式的综合应用题，解题时，应先确定 分 的比，再利用公式求解 第 8 页 共 18 页解：设直线交 于 ，依题意， ，又因为 ，故 ，所以BCE2:1:CABDESDE/ABCAB， 即点 分 的比为 2:1:ACD12:A1设 的坐标为 ，由定比分点公式有 ， yx, 2381
10、4x 2512y 点的坐标为 25,38小结：求解定比分点坐标的关键是求出定比 的值 求 的值，除注意 的符号外，还常常用到平面几何知识，如相似形的性质，比例线段等等例 10已知 ， ，且 ， ，求点 、 的坐标. 3,2A5,1BABC31D3CD分析：借助线段的定比分点式求解. 解：设 ， . 1,yxC2,D由 ，可得 ，即 ， . 33121运用定比分点公式可知.3125,211yx仿上可求得 ，72x9综上可知，欲求 、 两点坐标为 ， . CD31,C9,7D小结：对于本题欲求 点的坐标时，也可以由 ，得到 ，从而由定比公点公有ABAC3 第 9 页 共 18 页得 ， . 同理，
11、也可以由 求得 点坐标，这表明，我们在利用定,315,21yx31yADB31点比分点公式时，既要注意使用公式的前提，同时也要注意灵活地使用公式。例 11 、已知 的三个顶点的坐标为 ，边 的中点分别为 ，ABC),6(0,4),(CACAB, FED,且 的重心为 G，求：（1） ；DFE,（2） ；BA（3） ；C（4） G分析 解此题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点 的坐标，再利用三角形重心 G 的坐标公FED,式求得 G 的坐标，最后利用平面向量坐标表示及运算法则计算所求的向量解 ，且 分别为 的中点，G 为 的重心，),63(0,4),(CBAFED,CAB,ABC 272FE
12、D重心 ，即 3,G2,37G（1） ),(0,27(A254BF)6,1(),3(CD（2） 707GA，)2,35(),4(B463C（3） )0,(63,1257()6,1()3,2(),7 DFAE0B（4） ),(42,3()4,3,5(),3(GC 第 10 页 共 18 页0GCBA小结：本题中的（3） ， （4）具有一般性，我们将在例 5 中作一般结论的推证，另外结论（3）与（4）本身有着必然的联系，因为 G 为 的重心，AE 是 的中线，故 三点共线，而且 ，即AABCEGA, AEG32，同理 E2DF32,32故 0)(ECB例 12.已知 ，求证： 。1,ab1ab证明
13、：设 是数轴上的三点， ，则(),()ABPPur分 AB 的 比 是1ab()1()1abab是 的内分点，1,0,abPQurAB在-1 与 1 之间，即 。1ab例 13.已知 求证： 。,0,abc+x=且 ,x证明：设 是数轴上的三点， 定比分点，则定比(),()ABPxPur是 AB的10xacbb的外分点，则 。Pur是 AB,xa对于函数 y=f(x),如果能够化为 ，就与 的形式完全相同)1()1xttnmy 12y（只须把 t(x)看成 ） ，用数轴上两点 P1、P 2分别表示 m、n，不妨设 m0时，mm 。 )(21xtP 第 11 页 共 18 页例 14.已知二次函数 f(x)满足条件：(1) f(-1)=0；(2)对一切 x R，都有 成立，21)(xfx求 f(x)的解析式。本题
