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1、矩阵的可逆性与逆矩阵的求法目录摘要1第 1章矩阵.21.1 矩阵的定义21.2 矩阵的运算2第 2章矩阵的可逆性及逆矩阵.52.1 矩阵的基本概念.52.2 矩阵可逆的判断方法.62.3 矩阵可逆性的求法.10第 3章逆矩阵的拓展.173.1 广义逆矩阵的引入.173.2 广义逆矩阵的定义及存在.17第 4章总结.21参考文献 22致谢 23附件：论文英文简介1矩阵的可逆性与逆矩阵的求法摘要：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组 求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的
2、可逆性BAX及逆矩阵的求法是最主要的内容。本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进 这一数学软件求Matlb逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。关 键 词 ： 矩阵 可逆性 逆矩阵 广义逆 求法2矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及 软件的
3、解法，同时也讨论了广义逆Matlb矩阵的求法。对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。第 1章 矩 阵1.1矩阵的定义定义 1 由 个数 排成一个 行 列的表stijcstststccLM212112叫作一个 行 列（或 ）矩阵， 叫作这个矩阵的元素。sttsij定义 2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：交换矩阵的两行（列） ；)(i用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列） ，即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素；用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列） ，即用某一数乘矩阵的)(i某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。
4、矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。1.2矩阵运算定义 1 数域 的数 与 上一个 矩阵 的乘积 指的是 矩阵Fanm)(ijaAAnm，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。)(ija3定义 2 两个 矩阵 的和 指的是 矩阵 ，求nm)(),(ijijbBaABAnm)(ijijba两个矩阵的和的运算叫作矩阵的加法。要注意，我们只能把行数与列数都对应相同的两个矩阵相加。由定义 1 和 2，容易推出以下规律： AB)()(COaBAa)(b)(这里 CBA,表示任意 矩阵，而 和 表示 中的任意数。nmaF定义 3 数域 上 矩阵 与 矩阵 的乘
5、积 指的是一个F)(ijApn)(ijbBAB矩阵，这个矩阵的第 行第 列的元素 等于 的第 行的元素与 的第 列的对pmiijcAj应元素的乘积的和：，njijijiij babacL21 mi， L21pj,21L矩阵的乘法的结合律： )()(BCA矩阵的乘法和加法满足分配律： A)(矩阵的乘法和数域矩阵的乘法： )(aBBa特别注意：矩阵的乘法不满足交换律。一个 阶方阵 的 次方有意义：nAr4876L个rrA我们再约定 I0定义 4 设 矩阵nm4mnmnaaALM212112把 的行变为列所得到的 阶矩阵AnmnnaaAL212121叫作矩阵 的转置。A矩阵的转置满足以下规律： AT
6、)(TBT)(aA5第 2章 矩阵的可逆性及逆矩阵2.1矩阵的基本概念定义 令 是数域 上一个 阶矩阵。若是存在 上 阶矩阵 ，使得AFnFnBIBA那么 叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵） ，而 叫作 的逆矩阵。下面的几个概念有助于对矩阵可逆性及逆矩阵求法理解：（1）设 阶矩阵)(n nnnaaALM212112以下等式成立： ;,det21 jioAAajnijiji 若 若 ;,t21 jianjijiji 若 若L这里 是行列式 中元素 的代数余子式。stAAdetsta由此 若是设 nnnALM212112*那么IAA)(dett0dett* L我们把矩阵 叫作矩阵 的伴随矩阵。*A（
7、2）初等矩阵：对 阶单位矩阵 做一次初等变换所得到的矩阵：nI6101101OLMLOijP11)(OkkDi 11)(OMLkkTij将这三种方阵叫作初等矩阵。通过验算容易看出初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵仍是初等矩阵。2.2矩阵可逆性的判断方法依照不同的方式和性质，可以从下列几方面来判断矩阵的可逆性：（1） 阶矩阵 可逆当且仅当它可以写成初等矩阵的乘积。nA证明： 可以通过初等变换化为单位矩阵 ，就是说， 可以通过初等变换化为II，也就是说，存在初等矩阵 ，使tsEE,11L7tsEIAL11这是由初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵的性质推出的。例 1用初等矩阵表示下面的方阵 40265A
8、解：根据左行右列的规律： 1065100165424421 406510265401故矩阵 1121A（2）若矩阵行列式 不为零，则其矩阵 可逆。det A证明：将矩阵 分解为 tsEEL101其中 是初等矩阵，tsEE,11L由初等矩阵的性质可以知道， 及矩阵乘积的行列式等于其各自行列式的乘积 0deti及得 ，所以矩阵行列式 不为0)det()t()t()det()t( 11 ss EAALAdet零时，其矩阵 可逆。综上所述：行列式 不为零，则其矩阵 可逆。t例 2判断下列矩阵是否可逆。8（1） （2） 53A 0321B解：（1） ，所以 可逆。02detA（2） ，所以 不可逆。00
9、31t BB（3）含有 个坐标的 个向量组成的方阵 ，若这 个向量线性无关，则这个方阵nAn是可逆。A证明：设 个向量分别是 ， ，12n且 ，nn aaaaLL21121 ,则 这 个向量构成了一个 阶方阵，n nnaaALM2121将矩阵 化为 A1001LOML若其中有一个或者一个以上的 ，则向量 ，可以化为 n,2 L21kk即 向量是线性相关的一个矩阵。nakn,21L与条件相矛盾。即矩阵 可以化为单位矩阵，所以方阵可逆。A例 3 令 是任意的一个数域。 中判断向量F3F8,0,4,0,2,132的相关性，由此判断其构成的矩阵 的可逆性。解：设存在 ，使得Fcba, 0,321cba
10、9即 0,8,0,403,21cba因而有 ，则 线性无关。则表明 中得任意一个都不能c321321,被另外两个表示。则其构成的矩阵 100LOML通过化简后每一行或列都含有一个数，及其行列式不为零。（4）设一个齐次线性方程组的系数矩阵 是一个方阵，若此齐次线性方程组仅有零解，A则我们可以判定这个方阵 可逆。证明：矩阵来表示 个 元齐次方程组： n0X因为齐次线性方程组的变换中只有行变换，故不改变系数矩阵的可逆性。而只有零解使其行列式的秩等于其行数和列数。一个方阵构成的线性方程组若只有零解，则这个矩阵 可逆；若其有非零解，则矩阵 不可逆。AA例 4 矩阵 是一个齐次线性方程组系数矩阵，证明矩阵
11、 可逆。9084632 A证明：构造齐次线性方程组： 化简后得，0984632321x321x即此齐次方程组只有零解，故矩阵 可逆。A我们常常用方阵来解线性方程组，这种转换的方式可以使我们更好的理解矩阵的实质。（5）设 与 都是 阶矩阵，证明：若 可逆，则 和 都可逆；反之也对。ABnBB证明：因为 可逆，则 由 ，得 ，0)det(A)(det)(t)detA0tA， 和 都可逆 。0det10（6）设 是一个 n 阶正方阵并且 ， 分别为 和 阶可逆方阵 ，BCAP0ABrsnsr则 是可逆矩阵 并且 110C证明：我们由例（1）知道，方阵 是由 个无关向量构成的， 是由 个无关向ArBs
12、量构成的，则 则是由个 无关向量构成的，有 ，得 是秩为 的 阶方阵。PsrnsPn则 ，所以 可逆。0det2.3 逆矩阵的求法在判断一个 阶矩阵 可逆后，就可以求其逆矩阵。主要求逆矩阵的方法有：nA1.利用初等行变换求逆矩阵。如果 阶矩阵 可逆，要求 的逆矩阵，首先由 作出一个 矩阵，即 ,An2IA其次对这个矩阵施以行初等变换，将它的左半部的矩阵 化为单位矩阵，那么右半部的单位矩阵就同时化为 ：1A1 II行 初 等 变 换例 5求矩阵 的逆矩阵 1243解： 先判断矩阵 是否可逆，矩阵 行列式AA04)det(写下 ，并把单位矩阵 写在 的右边：I101243实行行的初等变换把 变成
13、，但是要记得每次对右边的矩阵施行同样的初等变AI换。第二行和第三行分别减去第一行的 3 倍和第一行，得 103102411用 乘以第二行，得21 103105422第三行加上第二行，得 102051423第三行除以 2，得 214123005第二行加上第三行的-5 倍，第一行加上第三行的-4 倍，得 21415302第一行加上第二行的-2 倍，得 21415320验证得： 124321453211这种方法求逆矩阵的过程清晰易懂，是求逆矩阵的基本方法。2.利用初等列变换求逆矩阵。如果 阶矩阵 可逆,作一个 的矩阵 ,然后对此矩阵施以初等列变换,使nAn2IA矩阵 化为单位矩阵 ,则同时 即化为 ,即II1 1IAI初 等 列 变 换例 6求矩阵 的逆矩阵。3702654A12解： 先判断矩阵 是否可逆，矩阵 行列式 AA02)det(A写下 ，并把单位矩阵 写在 的下边：I
