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1、1概率论与数理统计期末试题（A ）一、计算题（每小题 6 分，共 30 分）1 设事件 仅发生一个的概率为 0.3，且 ，求 至少B, 5.0)(BPAA,有一个发生的概率。解： 3.0)(AP即 )(2.)()(3.0 BPP所以 1.401.5)( ABBU2 设随机变量 服从泊松分布，且 ，求XXP。3P解： eeP2)(,)1()0()1(由 知 224即 2 解得 ，故.16)3(eXP3 设随机变量 在区间 上服从均匀分布，则随机变量 在区间)2,0( 2XY内的概率密度为 。)4,0(yfY解一：设 的分布函数为 的分布函数为 ，密度为 则Y,FX()XFx()fx2()()(
2、XFyPPyy因为 ，所以 ，即,XU0yY故 1,04,14()()()2.YXyfyfy其 它解二： 在 上函数 严格单调，反函数为0,2x()h所以。1,04,4()2.YX yfyfy其 它4 设随机变量 相互独立，且均服从参数为 的指数分布，, 2，求 。2)1(eXP1),min(YXP解： ，故 2ein(,)i(,)Y11Y。4e5 设随机变量 与 相互独立，其概率分布分别为X0.46P0.46P求 Y解： ,01,XY。.6.52二、 （本题 10 分）装有 10 件某产品（其中一等品 5 件，二等品 3 件，三等品 2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取
3、2 件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。解：设 从箱中任取 2 件都是一等品A丢失 等品 .iBi1,3i则 112233()(|)(|)(|)PBPABPAB；255499930C所求概率为 .111()|)(| 8A三、 （本题 12 分）设随机变量 的概率密度为X,02,().axf其 它求（1）常数 ； （2） 的分布函数 ； （3）a()F13.PX解：（1） 2200()(1)2afxdxdxa 2（2） 的分布函数为X30,0,()()(1),22,.xxxuFfudd20,41,.xx（3） .3211()()4xPxfdd四、 （本题 16 分）设 的概率密度为
4、,XY0,(,).xyefy其 它求（1）边缘概率密度 ； （2） ；,XYf 1PXY解：（1） 0,()(,)0.xXfxfydey ,0,.xe,()(,).Y xyfyf,0.y（2）1201(,)yxxyPXfded.11220()yex+y=1yy=xx04五、 （本题 6 分）设总体 ，从总体 中抽取一个容量为 1002(80,)XNX的样本，问样本均值与总体均值之差的绝对值大于 3 的概率是多少？解：设样本均值为 ，则220(,)8(,)11N3(|80|3)|0|)PP.2(.5)2936六、 （本题 10 分）（1）设总体的概率密度为10,(;).xfx其 它 (0)试用来
5、自总体的样本 ，求未知参数 的矩估计.12,nL解：先求总体的数学期望10EXxd故 的矩估计为 。 1$1X（2）设总体的密度为(),0,(;).xfx其 他试用样本 求参数 的最大似然估计.12,nXL解：似然估计：，1 121(,;)()()nni nixxL取对数：求导数： ，1ll()lniiL求方程： ，n0iidx解得 的最大似然估计： .1()lnii七、 （本题 10 分）设某机器生产的零件长度（单位：cm） ，今2(,)XN5抽取容量为 16 的样本，测得样本均值 ，样本方差 . （1）10x206s求 的置信度为 0.95 的置信区间；（2）检验假设 （显著性 0:H水平
6、为 0.05）.解：（1） 的置信度为 下的置信区间为1/2/2(),(1)ssXtnXtn0.510,.4,16,.32s所以 的置信度为 0.95 的置信区间为（9.7868，10.2132）（2） 的拒绝域为 .20:.H2(1)n，15.64.S0.54.96因为 ，所以接受 .22.49()0H八、 （本题 6 分）一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水试验，设每种工艺处理 4 块布样，测得缩水率的结果如下表缩 水 率布样号 1A23A45A12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.81
7、1.47.8问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响 (0.1)解 ，查附表 5 得123455, ,2mnnn.0.10.()(,5)89FF序号 1A234A51mi12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.82(147.9)0P3.5Q792R61injX21.8 21.7 31.6 35.3 37.5 147.92ij475.24 470.89 998.56 1246.09 1406.25 4597.031inj131.82 112.24 252.34 316.03 358.49 1149.252ijX131.82 112.24 252.34 316.03 358.49 1170.92eSRQ21.67AP5.3SR7.2方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 值F工 艺误 差55.5321.6741513.88251.44479.6095*总 和 77.20 19因为 ，所以工艺对缩水率有显著影响.9.60548附注： (2.)93, (1.5)09320.50. .0516.747,(1).32,ttt222. .5.(),()46748.0.1,.8F
