《不等式恒成立问题的大全12.7》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不等式恒成立问题的大全12.7（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程” 、 “化归与转化” 、 “数形结合” 、 “分类讨论 ”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ,有),0()(2Rxacbxxf 1） 对 恒成立 ; 0R2） 对 恒成立 )(xf .0例 1已知函数 的定义域
2、为 R，求实数 的取值范围。)1(lg22axy a解：由题设可将问题转化为不等式 对 恒成立，即有0)1(2axx解得 。04)(2a3或所以实数 的取值范围为 。),()1,(U若二次不等式中 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。x例 2设 ，当 时， 恒成立，求实数 的2)(2mf ,xmxf)(m取值范围。解：设 ，则当 时， 恒成立F,10F当 时， 显然成立；0)(14即 )(当 时，如图， 恒成立的充要条件为：0x解得 。12)(mF23综上可得实数 的取值范围为 。)1,3二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1） 恒成立axf)
3、( min)(xf2） 恒成立a1已知两个函数 ，其中 为实数.2()816fk当32()54gxxkO xyx-1(1)若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围；3，x)(xgfk(2)若对任意的 ，都有 ，求 的取值范围.21，、 21(3)若对于任意 ,总存在 使得 成立，求x03,x)(10xf的取值范围.k【分析及解】 (1) 令 ,kxxfxgF123)()(问题转化为 在 上恒成立,即 即可0)(x30)(minF , )2(6126)(2 F由 , 得 或 . 1x ,(3)45(3)9()7(2)0kFkkFk当 , 由 , 解得 .minxF04545(2)由题意可知当 时
4、,都有 . ，xminax)()(gf由 得 .16)( f 1 , , kfk8)(243， kf20)3( . 0)(maxf由 得 ,162 g 31x或 , , , ,)3()3(g)(g278)(g .21minxg则 , 解得 . 0k14k(3) 若对于任意 ,总存在 使得 成立，等1x303,x)(10xfg价于 的值域是 的值域的子集，fxg由(2)可知， 在 的值域为 ，2()86fxxk,8,2k在 的值域为 ，35431于是， ，即满足 解得8,120,1k821,0.k913k2已知 ，当 时，xxgaxxf 42)(7)( 23 3,恒成立，求实数 的取值范围。gf
5、解：设 ，cF则由题可知 对任意 恒成立0)(,令 ，得126)(2 xx 21x或而 ,71aa,9)3(,45)3(aF 45mx 即实数 的取值范围为 。,3函数 ，若对任意 ， 恒成立，)1,2)(xf ),1x0(xf求实数 的取值范围。a解：若对任意 ， 恒成立，),1x0(f即对 ， 恒成立，2xa考虑到不等式的分母 ，只需 在 时恒成立而得),0),1x而抛物线 在 的最小值 得axg2)( ),103()minag3a注：本题还可将 变形为 ，讨论其单调性从而求出 最小f 2(xaf )(xf4. 已知 ，若 恒成立，求 a 的取值范围.axf3)(2 )(,f解析 本题可以
6、化归为求函数 f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.若 恒成立2)(,2minxfx 2)(,fx2)(,2minxf37)()(inafxfa或 或 ，即 a 的取值范围为243)2()(2minafxf 27)()(minfxfa.2,5值。三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1） 恒成立为 参 数 ）agxf)(max)(fg2） 恒成立为 参 数 ）agxf)(max)(fg实际上，上题就可利用此法解决。略解： 在 时恒成立，只要
7、在 时恒0),1x 2),1x成立。而易求得二次函数 在 上的最大值为 ，所以xh2(),13。 1、已知函数 ，若对任意 恒有 ，3algaf,0f试确定 的取值范围。解：根据题意得： 在 上恒成立，21ax,x即： 在 上恒成立，23a,设 ，则fx2394f当 时， 所以maxfa2、已知 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。,1210xxa解：令 ， 所以原不等式可化为： ，xt,Q0,t221t要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。0,221tf,22114tftt,tQmin34tf23a132a3已知函数 时 恒成立，求实数 的取值4,0(,)(2xxf 0)(xf
8、 a范围。解： 将问题转化为 对 恒成立。a4,(令 ，则xg2)(min)xg由 可知 在 上为减函数，故14(4,00)4()(minx 即 的取值范围为 。a),(注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。例 4 已知函数 ，若在区间 上， 的图象位于函数 f(x)的上方，求|54|)(2xf 5,1kxy3k 的取值范围.解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为543,512xkx求函数的最值问题. 对于 恒成立 对于543,12xkx 3542xk恒成立,令 ,设 ,则51x 5,42xy 82,t,即 x=1 时 ,
9、 k 的取值范围是 k2.,8,0)6(ttyt当maxy变式 若本题中将 改为 ，其余条件不变，则也可以用ky32)3(变量分离法解.由题意得，对于 恒成立 对于54)3(,512xxkx 2)3(54xk恒成立,令 ,设 ,则51x 1,)3(42xy 82,3t，,169)54(062tty 8,t, , k 的取值范围是 k .时即当 1,45xtmaxy1694. 已知 f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且 f(1)=1,若，若 对于所有的0)(0,1, nffnnm当 2at恒成立，求实数 t 的取值范围.,ax解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个
10、变量，容易证明 f(x)是定义在-1,1 上的增函数,故 f(x)在-1,1上的最大值为f(1)=1,则 对于所有的 恒成立 对于12)(atxf 1,ax121at所有的 恒成立，即 对于所有的 恒成立，令 ，,1a02t , 2)(tg只要 ， 0)(gtt当四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 1 已知对于任意的 a -1,1，函数 f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a0 恒成立，求 x 的取值范围.解析 本题按常规思路是分 a=0 时 f(x)是一次函数，a0 时是二次函数两种情况讨论，不容易求
11、x 的取值范围。因此，我们不能总是把 x 看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把 a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令 g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3 在 a-1,1时，g(a)0 恒成立，则 ，得 .0)1(g1313例 2、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范2xm2mx围。解：设 ，对满足 的 ， 恒成立，21f0f解得：2100xf17322x例 3对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范1,a4)(2axa围。分析：题中的不等式是关于 的一元二次不等式，但若把 看成主元，则问题可转化为一次不等式 在 上恒成立的问
12、题。0)(2x 1,解：令 ，则原问题转化为 恒成立（4)(af 0)(af） 。1,a当 时，可得 ，不合题意。2x0)(f当 时，应有 解之得 。131x或故 的取值范围为 。),3(),(U注：一般地，一次函数 在 上恒有 的充)0(kbxf ,0)(xf要条件为 。0)(f四、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微” ，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1） 函数 图象恒在函数 图象上方；)(xgf )(xf )(xg2） 函数 图象恒在函数 图象下上方。例 1、若不等式 在 内恒成
13、立，求实数 的取值范围。23lo0a1,3a解：由题意知： 在gx内恒成立，0,x在同一坐标系内，分别作出函数 和23yxlogax观察两函数图象，当 时，若 函数 的图象显然在函数10,x1y图象的下方，所以不成立；23yx当 时，由图可知， 的图象必须过点 或在这个点的上方，01alogayx1,3则， log3127a127综上得： 例 2设 , ,若恒有 成立,求xxf4)(2axg134)( )(xgf实数 的取值范围. a分析：在同一直角坐标系中作出 及 的图象 f)(如图所示， 的图象是半圆 )(xf )042(yx的图象是平行的直线系 。)(xg 34ay要使 恒成立，)(f则
14、圆心 到直线 的距离0,203x满足 258ad解得 （舍去)3a或例 3 .设函数 , ,若恒有 成立,试求实数xaxf4(2axg)( )(xgfa 的取值范围. 解析 由题意得 ,令 ,)(xgfax242xy421.axy2可化为 ，它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的上半)0,40()( 121yxy圆；表示经过定点 (-2,0)，以 a 为斜率的直线，要使 恒成立，只需)(xgf所表示的半圆在 所表示的直线下方就可以了(如图所示)当直线与半圆相切时就有 ，即 ，由图可知，要使 恒成立，实数 a21|a3a )(xgf的取值范围是 3x-2-4yO-4五.分类讨论在给出的不等式中，如果
