《将调和级数中分母含有数字9的项去掉,所得的级数必收敛》由会员分享，可在线阅读，更多相关《将调和级数中分母含有数字9的项去掉,所得的级数必收敛（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、证明：将调和级数中分母含有数字 9 的项去掉，所得的级数必收敛！求出一个级数(不特别的)收敛值.从没做过这样的题(一般证一致收敛 )-(求一般项 1/N2 的级数和值倒是见过)楼主的题目以前做过,不过方法忘了.现在证明方法比较偏,如下:只要证明第 K 项级数 小于 1/k*ln(k)2 即 分母大于 k*ln(k)2 就可以了!(要得分,最好是:分母大于 k2, 一样证明)很明显分母中不出现 9 等价于 9 进制(很重要).所以 9 进制数的表示法,k 可表示为:k=n0 * 90 + n1 * 91 + . +ni * 9i (ni 为自然数)而第 K 项数值的分母记为 m: m = n0
2、* 100 + n1 * 101 + . +ni * 10i 当 K 足够大时候有 m/k (10/9)(i-1) k*ln(k)2/k= ln(k)2 (后面那个不等式,左边增长速度快右边 很重要.而去掉有限项对级数收敛性无影响)所以 mk*ln(k)2.由于级数 1/k*ln(k)2 收敛,所以的命题得求证!我也来解解，大家看错没错。谢谢！r1=一位数倒数的和，r2=二位数倒数的和，.rn=n 位数倒数的和.n 位数中不含 9 的项共有 8*（9 的 n-1 次方）n 位数倒数大于 1/99.99，小于 1/100.00.所以rn 小于 8*（9 的 n-1 次方）*1/100.00=8*
3、（9/10）的 n-1 次方原级数=r1+r2+.+rn+.很容易看出收敛的。如果我的方法没错的话，题目可以改成这样的。证明：将调和级数中分母含有数字 n 的项去掉，所得的级数必收敛！（n 是 0，1.，9 中的某个数）如果是去掉含有两个相同的数（如含两个 9 的数），则级数是不收敛的。或如果是去掉含有两个不同的数（如含两个 9，8 的数），则级数是不收敛的。更一般的：如果是去掉含有 i 个相同的数（如含 i 个 9，9.9 的数），则级数也是不收敛的。有兴趣的可以看看含有 i 个不相同的数，级数好象也不收敛。胡说这些，不知道对不对。请指教。微积分中 10 大经典问题悬赏金额: 1 金币 这里
4、入选原则是必须配得起“ 经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平，尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案是摆线（又称悬轮线） ，关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值
5、。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数” ，即“ 定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如 02 年高中数学联赛第 14 题就是这样一条著名曲线 -雪花曲线。如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家 H.A.Schwarz
6、举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的重温微积分中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。5）填满正方形的连续曲线。数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是一维的，但是皮亚诺却发现
7、了一条可以填满正方形的连续曲线。结果人们不得不重新审视以往对曲线的看法。BTW：先写到这里，明天接着写另外 5 个。1345 中的例子可以在数学分析新讲中找到。6)重积分变量替换定理。该定理可以说是数学分析中比较大的一个定理，选择它的理由是因为其具有微积分的显著特征，即用一般化的通法代替特殊化技巧性的方法。微积分的出现解决了不少以前从为解决的难题，使数学一般化了。比如求面积，你不再像以往那样使用特殊的分割技巧，然后求和求极限了，而且范围也更广泛了。7）泰勒级数和傅立叶级数是如何发现的。注意这里是发现，而不是证明。教材中对于一个定理，往往是直接列出定理，接着证明，最后举例。但是对于数学思想阐述不
8、够，尤其是对定理的 “发现”过程介绍甚少，而这和定理本身同样重要。泰勒级数和傅立叶级数源自于人们这样朴素的思想，即用简单函数表示复杂函数。而人们所熟悉的简单函数要数幂函数（整数次）和三角函数了。泰勒级数来自泰勒多项式，而后者是泰勒从牛顿差分法中得到的，而且非常不严密。傅立叶级数是傅立叶用分离变量法解热传导方程（二阶抛物型偏微分方程）时得到的。此前欧拉等人也曾得到过类似结果，不过他们大都持怀疑态度。谁会想到任意一个连续函数可以用和它根本不像的三角函数表示呢？人们对于无穷的认识还很少。关于泰勒级数和傅立叶级数是如何发现，大家可以参考古今数学思想二三册。8）多项式逼近连续函数。泰勒级数提供了用简单函
9、数研究复杂函数的方法，不过它对函数本身要求也高（要求无穷次可导） ，这就限制了它的应用范围。后来人们想对于连续函数，是否存在多项式，使得该函数与多项式之差可以任意小，即用多项式逼近连续函数。答案是存在的，魏尔斯特拉斯最早给出了存在性的证明，后来斯通又将其推广为更一般的形式。值得一提的是伯恩斯坦的证明，他不但证明了逼近多项式的存在性，而且给出了多项式-伯恩斯坦多项式的构造方法。以上证明均可以在张筑生老师的数学分析新讲第三册中找到。9）格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的统一证明。这三个公式是微积分中我最喜欢的公式之一，形式优美，含义深刻。若将三者统一起来，就得引入外微分。外微分可以说数学分析中最具
10、有现代特色的内容之一了。其本身既有抽象性，又有统一性，而且可以向高维情况，流形，微分几何，微分拓扑等进军。陈省身老先生尤其喜欢用外微分。外微分一般是数学系的必修课程。国外比较不错的书推荐流形上的微积分 高等微积分中一些经典定理的现代化处理 （M. 斯皮瓦克写的） 。不过该书写的比较简洁、难度很大，最好大二大三去看。10）不动点定理。布劳威尔的这个不动点定理可以说是名气大的下人，有个老外写了本科普书叫20 世纪数学的五大指导理论 ，里面就有不动点定理。而且也有专门的书，好象叫不动点理论 ，一般需要涉及拓扑理论。据说不动点的应用范围远超出数学领域，有兴趣的可以看看20 世纪数学的五大指导理论这本书。不动点定理经过适当技术处理是可以放到微积分中的，就二、三维情况的可以看看张老师的数学分析新讲第三册。对于一般的 n 维情况，米尔诺曾给出一个比较初等的解析证明，该证明可以在齐民友的重温微积分 （很不错的书）中找到。本帖最后由 mysql 于 2010-9-22 10:54 编辑 x1+x3+x6+x8+x11=x2+x5+x7+x10+x12=x1+x3+x5+x7+x9=x4+x6+x8+x10+x12=x2+x3+x4+x5+x6=x7+x8+x9+x10+x11并且这 12 个数互不相等求这 12 个数-11，-10，7，-8 ，12，0，-9 ，1，2，3，4，5
