点集拓扑教案fu

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1、1点 集 拓 扑拓扑是英文 Topology 的译音，Topology 一词有时是指拓扑，有时是指研究有关拓扑的整个学科. 拓扑学是数学的一个重要分支. 起初它是几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形上保持不变的性质，后来发展为研究连续性现象的数学分支. 拓扑学发展到近代形成了互相联系的几个分支. 即一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学与几何拓扑学等. 目前，拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学以及邻近科学的许多领域中，并且有了日益重要的应用.研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科，称为一般拓扑学，也称为点集拓扑学，它是拓扑学的基础. 本部分介绍一般拓扑学的基本内容，并为进一

2、步学习有关其它课程提供必要的基础知识.第 1 章 拓扑空间拓扑空间的概念产生于对实直线、欧氏空间以及这些空间上的连续函数的研究，是欧氏空间的一种推广. 本章介绍拓扑空间的概念，给出与拓扑空间相关的一些重要的拓扑概念的定义，以及它们的性质. 1. 1 拓扑空间，拓扑的基与子基拓扑空间的定义有多种等价形式. 这里采用比较简洁也是目前最为流行的方式给出拓扑空间的定义.定义 1.1.1 设 是非空集, T P ( ) 即 T 是集合 的子集族） ，若满足：XXX（1） T ；,（2） T 的任意多个元素的并属于 T ；（3） T 的有限元素的交属于 T ，则称 T 为集合 上的一个拓扑或拓扑结构，偶对

3、( ,T ) 称为拓扑空间（当拓扑XX自明而无需指明时，简称 为拓扑空间）.简2称为空间， 称为拓扑空间( ,T )的基础集，T 的元素称为( ,T )的开集或XXXT 开集 , 的元素,子集分别称为拓扑空间( ,T )的点，点集.X定义 1.1.1 中的条件（1） ， （2）与（3）称为开集公理.例 1 设 是非空集，T ，则 T 是集合 上的拓扑，称为集合 上X,X的平凡拓扑， （ ,T )称为平凡拓扑空间.例 2 设 ，T ，则 T 是集合 上的拓扑，集合01,0,1上赋予这一拓扑的拓扑空间，称为 Sierpinski （西尔宾斯基）空间.0,1X例 3 设 是非空集，T P（ ） ，则

4、 T 是集合 上的拓扑，称为集合 上XXX的离散拓扑，拓扑空间（T，P （ ） ）称为离散空间.例 4. 设 是非空集，令 T 是 的有限子集 ，则 T 是集XGU合 上的拓扑，称为集合 上的余有限拓扑，拓扑空间( ,T )称为余有限拓扑空X间.证明 即证 T 满足定义 1.1.1 中三个条件.事实上，（1）由 T 的定义可知 T ；若取 ,则 是有限集.所以GT .X（2）设 T .若 或 ,则 T ; 若 ,GKKU,GK则 都是有限集.于是 是有限集，所以()()XXIT .I（3）设对于任意 T ,其中 为指标集.若对于任意 ,则,G,GT ; 若存在 使得 ,则 .但 是GUXUX有

5、限集，所以 T .3综上所证.可知 T 是集合 上的拓扑.X例 5 设 , T , T ,ABC1,a2,abcXT , 则 T ，T 都是集合 上的拓扑. 于是 T 与3,ab2X(,1)T 都是拓扑空间. 因为 是 T 开集，但不是 T 开集，所以(,X2),b1T 与 T 是两个不同的拓扑空间，虽然它们的基础集相同.由于1(,X2)T ， T ，于是 T 不满足定义 1.1.1 中条件,ab3,aU33（2） ，所以 T 不是集合 上的拓扑.定义 1.1.2设 T ，T 是集合 上的两个拓扑.若 T T ，12X12则称拓扑 T 小于（或粗于）T ，并且称拓扑 T 大于（或细于）拓扑 T

6、 .1 2明显地，同一个非空集上可以赋予许多拓扑，这些拓扑依据集族的包含关系决定拓扑的粗、细或不可比较，其中平凡拓扑是最粗的，离散拓扑是最细的.定义 1.1.3设( ,T )是拓扑空间， B P .若 B T，并且 T的X()X元素都可表示为 B中某些元素的并，则称 B 是拓扑 T的基，也称为拓扑空间(,T )的基或拓扑基，B 中的元素称为基开集.X例 6设( ,T )是任意拓扑空间，则 T就是它的基 .例 7设 是非空集，令 B ,则 B 是集合 上的离散拓扑的基.xXX定理 1.1.4设( ,T )是拓扑空间，B T，则下列条件等价：X（1）B 是拓扑 T的基；（2）对于任意 T ,任意

7、,存在 B ,使得 .GxxxG证明 . 对于 T, 因为 B 是 T的基，从而 ，()2BU其中 B . 所以对于任意存在 ，使得 .,xGx4.任取 T ,因为对于任意 存在 B，使得 ，(2)1G,xGxxG于是 .又 B T.所以 B 是 T的基.xU定理 1.1.5设 B 是非空集 的一个子集族，则 B 是集合 上的某一拓扑的基XX当且仅当 B 满足下列条件；（1） ; XU（2）对于任意 B , 可表示为 B 中元素的并.12,12I若 B 满足上述两个条件，则集合 上以 B 为基的拓扑是唯一的，此拓扑称为以XB 为基生成的集合 上的拓扑.X证明设 B 是集合 上的某一拓扑 T 的

8、基，则由拓扑基的定义可知.（1） ; U（2） 对于任意 B，因为 B T，于是 T . 所以12, 12BI可表示为 B 中元素的并.1BI反之，记 T 可表示为 B 中元素的并 ，即 T是 B 中元素的一切任G意并之族，则1）由条件（1）可知 T . 因为 B，所以 T ; XBU2) 设 T ,则 都可表示为 B 中元素的并，即 与2,12 1G. 其中 B. 于是2GBU.12 )()()(GIUII但从条件（2）可知 是 B 中元素的并，从而 也可表示为 B 中元素的并，12G所以 T.12I53）设对于 T，则 可表示为 B 中的并，于是 也可表示为,G GUB 中元素的并，所以

9、T.U综上可知，T 是集合 上的拓扑，并且以 B 为基.X若集合 上另有拓扑 T 也以 B 为基，则 T 的元素都是 B 中元素的并.于是*T T；反之，若 T , 则 可表示为 B 中元素的并. 但是 B T ，T *G*是集合 上的拓扑，从而 作为 T 的某些元素的并， T ,因此 T T .X*G*综上可知 T T.*定义 1.1.6设 T）是拓扑空间, S P ，若 S中元素的一切有限交()X之族，即 B 是 S 中有限个元素的交 是集合 上的拓扑 T的基，则称BS是拓扑 T的子基. S中元素称为子基开集.定理 1.1.7设 为非空集，S P ，则集合 上存在唯一拓扑以 S为子X()X

10、基.这个拓扑称为以 S 为子基生成的集合 上的拓扑.证明记 B 是 S中有限个元素的交 .由于 S， ,从nsXI而 B ,以及 B 的任意两个元素的交仍为 S中元素的有限交，可见 B XSn Sn的任意两个元素的交必属于 B ， 因而这个交是 B 的元素的并. 于是从定理Snn1.1.5 中条件的充分性可知，集合 上有拓扑 T以B 为它的基.所以 S是此拓XS扑 T 的子集.若 T 是以 S为子基的集合 上的另一拓扑，则根据子基定义，T 以 B 为* *Sn基. 所以由定理 1.15 可知 T T.*例 8设 S P（ ） ，则 S中元素的一,Xabcd,abcdX6切有限交之族 B .并且

11、 B 中元素的一切任意并Sn,abcdbXSn之族 T .所以，, ,cdabcdT 是以 S 为子基生成的集合 上的拓扑.X 1. 2 度量空间定义 1.2.1设 是非空集，R 为实数集，若映射 R .满足；对于任X:X意 .有,xyz（1） ； （2） 当且仅当 ；(,)0(,)0xyxy（3） ；（4） （称为三角不等式）.(,)xyx(,)(,)z则称 是集合 上的度量或距离函数， 称为 与 之间的距离，偶对Xxy（ ）称为度量空间， 称为度量空间（ ）的基础集.在不致引起混淆时.也,X简称 为度量空间.定义 1.2.2设（ ）是度量空间， ，对于给定的实数 ，集合,a0称为以 为中心

12、， 为半径的球形邻域或开球，简称(,)()BaxXa为 的球形邻域或开球，在不致混淆时，简记作 .(,)B定理 1.2.3设（ ）是度量空间，则集族 B 是集,(,),0xX合 上的一个拓扑的基，称这个拓扑为由集合 上的度量 诱导的拓扑，记作 T XX，也称为度量拓扑.证明只需证明球形邻域之族 B满足定理 1.1.5 的条件：（1） ,这是显然的；B XU7（2）设 B.对于任意 ，则存在12(,),Bab12(,)(,)cBabIB 使得(,)c12(,)(,).cabI事实上，取 ，则对于任意 B，有12minc(,)xc ，(,)(,)(,)xac(,)1(,)a1即 ；同理可证 , 所

13、以1B2xBb2,(,).cbI这表明对于 B 中的任意两个球形邻域 与 , 可表示为 B 中元素的并.1212BI综上可知,集族 B 是集合 上的一个拓扑的基,X设 是度量空间, 表示由度量 诱导的集合 上的一个拓扑的, 则约定: 称()XX度量空间 为拓扑空间时,指的拓扑空间是 T ).(设 R 是实数集,记 R R, ,对于任意 R12(,)nnixxL12,nL,xy,令 ,则 是 R 上的度量,称为 R 上的通常度量或欧氏度量.n 21(,)()idxyyd度量空间(R 称为 维欧几里得空间(或 维欧氏空间). R 上的通常度量常常略n, nn而不提,简称 R 为 维欧氏空间.1 维

14、欧氏空间 R 通常称为直线或实数空间.2 维欧氏空间 R 通常称为平面或平面.3 维欧氏空间 R 称为欧氏空间 .以 维欧氏空间 R 中的球2 3nn形邻域之族 B R 为基生成的 R 上的拓扑,即是 R 上的通常(,)xn,0拓扑或欧氏拓扑.定义 1.2.4 设( ,T )是拓扑空间,若集合 上存在一个度量 使得 T 是由XX集合 上的度量 诱导的拓扑 T ,即 T T ,则称 ( ,T )为可度量化空间.例 1 设 是非空集,定义映射如下: R , 0:0,1xyya8则易证是 是集合 上的度量,称为集合 上的离散度量,( )称为离散度量空0XX0,X间.在离散度量空间( )中,对于 的球形邻域0,a(,BaX1.于是 B 是集合 上的离散度量 诱导的拓扑 T 的基.由于集合x00的每一单点集都是这一拓扑 T 的开集,所以 T 是集合 上的离散拓扑.X00X例 1 表明,非空集 上的离散拓扑可由上述离散 诱导出,所以离散拓扑空间是可 X度量化空间. 例 2 设 .若在集合 上给以平凡拓扑,则平凡拓扑空间 是不可度量,ab化空间.事实上,若平凡拓扑空间 是可度量化空间,则集合 上存在度量 ,使XabX其诱导集合 上的平凡拓扑 .因为 取 则X,()0,1(,)2ab.所以 是开集,这与 是平凡空间矛盾.(,)Ba定义 1.2.5 设 是集合 上的两个