建模论文-血样的分组检验

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1、第 1 页数学建模课程论文题目：血样的分组检验1姓名： 学号：2姓名： 学号：3姓名： 学号：第 2 页血样的分组检验摘要本文主要为了解决减少血样检验次数这个实际问题,为了在人群中(数量很大, 基本上是健康人)找出某种病毒的感染者,为减少检验次数,通常采用筛选的办法：即假设人群总数为 , 将人群分成 组,每组的人数为 ,将每组的 份血nmkk样混在一起进行化验, 若化验结果呈阳性,则需要对该组的每个人重新进行化验, 以确定谁是病毒感染者;若化验结果呈阴性, 则表明该组全体成员均为阴性,不需要重新化验。通过把人群分为若干组,每组若干人,易得到混合血样检验次数,阳性组的概率,进而引入阳性组数的平均

2、值,从而得到平均总检验次数,最后通过一个人的平均检验次数的一元函数,把问题归结为一个关于每组人数 的一元函k数 ,求解得 ;通过计算 ,当 时不应分组;将()EX1()()kEXp0.37p第 1 次检验的每个阳性组再次分 组,建立一个关于 , 的二元函数,再通过求mkm导得稳定点函数。关键字：化验次数 非线性规划 数学期望 最佳分组人数第 3 页1 问题提出在一个很大的人群中通过血样检验普查某种疾病，假定血液为阳性的先验概率为 （通常 很小） 。为减少检验次数，将人群分组，一组人的血样混合在p一起化验。当某组混合血样呈阴性时，既可不检验判定该组每个人的血样都为阴性；而当某组的混合血样呈阳性时

3、，即可判定该组至少有一人血样为阳性，于是需要对这组的每个人再做检验。（1） 当 固定时（如 0.01%，0.1%，1%，）如何分组，即多少人p一组，可使平均检验次数最少。（2） 当 多大时不应分组检验。（3） 当 固定时如何进行二次分组（即把混合血样为阳性的组在分成小组检p验，重复一次分组时的程序） 。（4） 讨论其他分组方式，如二分法（人群一分为二，阳性组一分为二，继续下去） ，三分法等。2 基本假设结合本问题的实际情况，对该模型作出如下合理的假设： 1.人群数量总数为 人,是确定的；n2.假设在血样检验之前，确定的已知先验阳性的概率 是确定的常数；P3.每个人检验一次是否阳性的概率相互独立

4、，即每个人接受检验是互相独立事件，互不影响；4.每次分组时都能达到平均分配，能分成 组，即 ， 为正整数。mnpm3 符号说明：检验人群总数n：阳性的先验概率p：被分成的组数m：每组人数k：第二次分组的组数：第二次分组每组人数第 4 页：第一次分组每人的化验次数X：第二次分组每人的化验次数: 在二次分组检验模型中，第一次分组时，小组为阳性的概率1p: 在二次分组检验模型中，第二次分组时，小组为阳性的概率2：第一次分组的平均每个人化验次数 的数学期望()EXX：第二次分组平均每个人化验次数 的数学期望 x 4 问题分析4.1 问题一分析人群总数为 ，分 组，每组人数 。阳性的先验概率为 p，则阴

5、性的先验nmk概率为 。如果不分组，则每个人需要化验 1 次。如果分组，当某组化验结1p果是阴性，则不需要再进行化验，该组平均每个人的化验次数为 ，概率为1k；当某组化验结果是阳性时，则需要对该组每个人进行化验，该组平均()k每个人的化验次数为 ，概率为 ，因此，需要分组的条件是第一次1k(1)kp分组化验次数的数学期望小于 1。要求化验次数的数学期望的最小值，就是要求在满足数学期望小于 1 的情况下的每组人数 。k4.2 问题二分析不应分组的条件就是要求阳性的先验概率 多大时，使得分组后平均每个人化p验次数的数学期望大于不分组时平均每个人化验次数。4.3 问题三分析问题三是在第一次分组化验的

6、基础上再次分组化验的问题。对于第一次分组化验为阳性的组，重新分为 组，每组 人。以二次分组时每个人的平均检验次mk数为目标，建立非线性规划模型，取不同的 ，求出第一次分组的最佳分组人p数 和第二次分组的最佳分组人数 。k4.4 问题四分析我们可以多次应用一次分组法对问题进行分析，找到了多次分组的求解方法。通过上述问题分析，我们得出：当 值比较小得情况下，一次分分组比二次分p第 5 页组法效果好；多次分组法比二次分组法效果好。5 模型的建立与求解利用概率统计知识建立数学概率模型，由期望值知道，如果不分组，每个人都参加检验，每个人平均需要检验一次；如果分组，分组后计算出每个人的平均检验次数小于 1

7、 次，则认为分组比不分组好，需要分组，反之，则不需要分组。在众多组合的分组中，比较哪一种分组计算出来的每个人的平均检验次数最小，平均检验次数最小的那种分组则认为这种分组时最优的分组方案。5.1 问题一模型建立与求解5.1.1 模型的建立由问题一的分析得出一次分组每人的化验次数 的分布规律为：XX1k1kP()p()kp则一次分组每人的化验次数的数学期望为： 1()1()kkEXpp如何分组才能使每人化验次数最小，也就是求当阳性的先验概率 固定时的每组p人数 为多少时，上式数学期望达到最小值，且必须小于 1，其数学模型表达式k为：min()1()kEXp0,5.1.2 模型求解求解时，我们采用线

8、性规划法求解。当阳性的先验概率 固定时，我们把 看作自变量，那么数学期望就是一pk个关于 的函数，记作：k第 6 页1()kfkp由于 在其定义区间 上连续且可导，现在我们来求 的最()fk01,p()fk值，当 的一阶导数等于 0 时， 才可能取得最值。记 的一阶导数()fkf为 ， 的表达式为：()fkf 21()1)ln()kfkpk现令 =0， 。设 是方程 的一个解，现在，()fk 2(1)ln0p0()0f只要给出一个概率 值，算出与 对应的 值，在这里，最佳分组人数 是正k整数，所以当 是整数时，最佳分组人数为 ，当 不为整数时，取0k 0k或者 ，比较 ，选取 较小的为 的最优

9、值，运用 lingo0k1()EX()fk软件编程（见附件 1） ，来求最佳分组人数 。k我们选择在区间 有代表性的选择 值，得出 、 、0.,.4ppk，结果见表 1：()EX表 1 不同 值下的最佳分组人数 和平均每个人的检验次数k()EXp0.00001 0.00003 0.00005 0.00008 0.0001 0.0005 0.001k317 183 142 112 101 45 32()EX0.0063 0.0109 0.0141 0.0178 0.0200 0.0448 0.06280.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0815 11 8 6 6 5

10、 4()0.1391 0.1956 0.2742 0.3337 0.3839 0.4262 0.5336p 0.10 0.20 0.30 0.306 0.307 0.308 0.4k4 3 3 3 3 3 3()EX0.5939 0.8213 0.9903 0.9990 1.0005 1.0020 1.1173从表 1 可以看出，当 ，应当分组。()1EX5.2 问题二模型建立与求解5.2.1 模型的建立利用概率统计知识建立数学概率模型，由期望值知道，如果不分组，每个人都参加检验，每个人平均需要检验一次；如果分组，分组后计算出每个人的平均第 7 页检验次数小于 1 次，则认为分组比不分组好，需

11、要分组，反之，则不需要分组。在众多组合的分组中，平均检验次数最小的那种分组则认为这种分组时最优的分组方案。5.2.2 模型求解不应分组的条件即要求阳性的先验概率 多大时，使得分组后平均每个人化验p次数的数学期望大于不分组时平均每个人化验次数。而随着 的增加，E(X)变p大。所以当 时，不应分组检验。即 ，得()1EX 1()()kEX。1kp令 ， 1-()kf则 )()kk设 1ky则 ()kfy对 两边求对数有:1ky，1lnky对 两边求导有：lk1 (ln)l)(ln)(ln)kky即 22221l()lykkk1222222111ln(ln)(ln)(kky所以 222()l(lkf

12、 k第 8 页即 1 2()(ln)kf k由此可以看出，当 时， ，函数 单调递减，而e()0f1()kf时（分组时每组至少要有 2 人，故有 ） ， ，函数2ke 2()0f单调递增，在 时（自然对数 ） ， ，函数1()kfxe.718efk取得最大值，此时最大值 ,()kf ()()0.378eef由于实际检验分组时每组的人数 只能取整数，不可能取自然对数 ，故算出接k近最大值 的两个实际值：()fe；(2)0.983f；6所以， 的最大值为 0.307，1()kf即只有当 时，通过调整 可以满足分组检验的约束条件0.37pk 1kp而当 时，无论怎么调整 都不能满足分组检验的约束条件

13、. k所以，当 时，就不需要分组。0.37p5.3 问题三模型建立与求解5.3.1 模型的建立第一次分组化验：第一次分组组数为 ，所以第一次分组化验需要的化验次m数为 次 ，这 组中，化验出阳性的组数应为： 组。1ym 1()kxmp下面，再给阳性组进行第二次分组化验：为了避免混淆，我们将第一次分组化验出阳性的组归为一类，以前每组的个人分为 组，每组 人，所以有 。kkk第 9 页第二次化验：通过以上的分组方法，可以得到的总小组数为： 组，故21xm第二次化验需要的次数为： 次。21yxm若第二次分组化验时，若检验出某组为阴性，表明该组全体成员全为阴性，不需要重新化验，如为阳性，需要对该组的每

14、个人进行化验，以确定谁是病毒感染者。第二次化验后得到的阳性组数的期望值为： 组，每组321()kxp的人数为 人。所以再需要的化验次数为： 次。k ky所以要进行两次分组，总共需要的化验次数为： 1231()1()1()kkkyympmpp又由于总人数 ，所以可得平均每人需要的化验次数数学模型为：nki()()()kkEXk1:(stm为 正 整 数 ）0p5.3.2 模型求解用 LINGO 编程（具体程序见附件 2）求出当 在（0.00001，0.40）之间变化满p足以上条件的最优解,下面给出几组有代表性 、 、 、 ：k()EX表 3 不同 值下的最佳分组人数 、 和平均每个人的检验次数p

15、 ()p0.00001 0.00003 0.00005 0.00008 0.0001 0.0005 0.001k4082 1810 1242 88 721 225 145314 181 138 110 103 45 29()EX0.4978 0.0011 0.0017 0.0024 0.0028 0.0092 0.0154p0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.08k42 24 14 12 10 10 514 12 7 6 5 5 5()0.0502 0.0839 0.1391 0.1855 0.2289 0.2710 0.3844p0.10 0.20 0.30 0.306 0.307 0.308 0.4k6 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3()EX0.4498 0.7341 0.9840 0.9985 1.0009 1.0033 1.2093第 10 页根据上面的表 3 分析，当 即 可以进行二次分组，比一次分组0.37p()1EX的效果好，能够减小平均每个人的化验次数，减小化验费用，而当 即0.37p，分组反而增加了平均每个人的化验次数，化验费用，不建议分组。()1