数字信号处理-实验二lti 离散系统的频域分析

实验二 LTI 离散系统的频域分析一、实验目的1、 利用 Matlab 绘制 LTI 离散系统的零极图；2、 根据离散系统的零极点分布，分析系统单位响应 h(n) 的时域特性；3、 利用 Matlab 求解 LTI 离散系统的幅频特性和相频特性二、实验原理1、离散系统的零极点LTI离散系统可采用(4-1) 所示的线性常系数差分方程来描述，其中 y(n)为系统输出信号，x(n) 为系统输入信号10()()NMkmaynbxn将上式两边进行z 变换得： 101()()()/()Mj jmj jNNik ii iqzbzBHYzXKAap上式中，A(z)和B(z)均为z的多项式，可分别进行式因式分解 c为常数， q j (j＝ 1，2，…，M)为H(z)的M个零点， pi (i＝1，2，…，N )为H(z) 的N 个极点H(z)的零、极点的分布决定了系统的特性，若某离散系统的零、极点已知，则系统函数便可确定因此，通过对H(z)零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：离散系统的稳定性；系统单位响应h(n) 的时域特性；离散系统的频率特性(幅频响应和相频响应)。

2、离散系统的因果稳定性离散系统因果稳定的充要条件:系统函数H(z)的所有极点均位于z 平面的单位圆内对于三阶以下的低阶系统，利用求根公式可方便地求出离散系统的极点位置，判断系统的因果稳定性对于高阶系统，手工求解极点位置则非常困难，这时可利用MATLAB来实现3、离散系统的频率响应 ()jωHe  []()|()j jj jzeDTFhnHe称为离散系统的幅频响应，决定了输出序列与输入序列的幅度之比；()jωHe称为离散系统的相频响应，决定了输出序列和输入序列的相位之差；随 而变化的曲线称为系统的幅频特性曲线， 随 而变化的曲线j ()称为系统的相频特性曲线离散系统的频率响应 与连续系统的频率响应 最大区别在于其()jωHeHj（4-1）（4-2）呈周期性，且周期为2π因此，只需分析 一个周期或0～2π范围内的()jωHe情况便可分析出系统的整个频率特性4、分析离散系统特性常用的函数(1) roots()函数求系统函数的零点和极点位置，调用命令格式如下: ()protsAA为待求根的关于z 的多项式的系数构成的行向量，返回向量p则是包含该多项式所有根位置的列向量。

例如多项式为: 234z则求该多项式根的MATLAB命令为：A=[1 3 4];p=roots(A)运行结果为：p=-1.5000 + 1.3229i-1.5000 - 1.3229i注意：求离散系统函数零极点时，系统函数有两种形式，一种是分子和分母多项式均按z的降幂次序排列，如式(4-3) 所示；另一种是分子和分母多项式均按 z 的升幂次序排列，如式(4-4)所示上述两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同342()1zHz12z若H(z)是以z的降幂形式排列，则系数向量一定要由多项式的最高幂次开始，一直到常数项，缺项要用0补齐例如对式(4-3)所示的系统函数分子多项式的系数向量为：b = [1 0 2 0] (缺项用0补齐)分母多项式的系数向量为：a = [1 3 2 2 1]若H(z)是以z的升幂形式排列，则分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则z=0的零点或极点就可能被漏掉例如对式(4-4)所示的系统函数分子多项式系数向量应为 b = [1 1 0] (缺项用0补齐，以保证分子分母系数向量维数相同 )分母多项式系数向量应为 a = [1 0.5 0.25]用roots()函数求得系统函数H(z)的零极点后，就可以用plot命令在复平面上绘制出系统函数的零极点图，方法是在零点位置标以符号“×” ，而在极点位置标以符号“o” 。

2) zplane()函数应用zplane函数可以得到系统函数H(z) 的零极点分布图，其调用格式为：zplane(b,a)b和a分别表示 H(z)的分子和分母多项式的系数向量，函数的作用是在z平面上画出单位圆，零点和极点3) impz()函数（4-3）（4-4）根据H(z)零极点分布，绘制系统的单位响应h(n)的序列波形，其调用格式如下： impz(b,a)： b，a 表示 H(z)的分子和分母多项式的系数向量impz(b,a,N)： b，a 的含义同上，N 为显示样本的个数例如：系统函数为 ，求系统的h(n)的序列波形，代码如下：1()Hzb=[1];a=[1 -1];impz(b, a)(4) freqz()函数计算离散系统频率响应的数值，再利用函数abs()、angle()及 plot()函数，可绘制出系统在 0 ~ 或 0 ~ 2 范围内的幅频特性曲线和相频特性曲线freqz()的调用格式有：[H,w]=freqz(b,a,N)b，a 表示 H(z)的分子和分母多项式的系数向量，N 为正整数返回向量 H 包含了离散系统频率响应 在0~ 范围内N 个频率值，向量w则包含0~ 范()jωHe围内的N个频率等分点。

如果在调用中N缺省，则系统默认为N=512[H,w]=freqz(b,a,N,’whole’)计算离散系统在 0 ~ 2 范围内N 个频率点的频率响应值三、实验内容1、编写 MATLAB 程序，绘出下列系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位取样响应 h(n)的波形，判断系统因果稳定性1) , (2) , (3) , (4)().8z21().z32().07z, (5) ,(6) ,456(7) 72.H2、某数字滤波器( 或离散系统)，其差分方程为y(n)-0.9y(n-8)= x(n)-x(n-8)，试计算该系统在0~2 范围内的频率响应( 取400点)， 绘出系统在0~2 范围内的幅 频特性曲线和相频特性曲线，分析系统的功能提示：(1)对差分方程先进行Z变换，得到系统函数 H(z)，再调用函数 freqz 函数计算频率响应值；(2)调用函数abs() 、angle()和plot()在0~2 范围内绘制出系统的幅频特性曲线和相频特性曲线四、实验步骤1、（1）程序如下：b=[0 1];a=[1 -0.8];subplot(2,1,1);zplane(b,a);subplot(2,1,2);impz(b,a);结果如下：-3 -2 -1 0 1 2 3-1-0.500.51Real PartImaginaryPart0 5 10 15 20 25 30 35 4000.51n (samples)AmplitudeImpulse Response是因果稳定系统。

2）程序如下：b=[0 1];a=[1 0.8];subplot(2,1,1);zplane(b,a);subplot(2,1,2);impz(b,a);结果如下：-3 -2 -1 0 1 2 3-1-0.500.51Real PartImaginaryPart0 5 10 15 20 25 30 35 40-1-0.500.51n (samples)AmplitudeImpulse Response是因果稳定系统3）程序如下：b=[0 0 1];a=[1 -1.2 0.72];subplot(2,1,1);zplane(b,a);subplot(2,1,2);impz(b,a);结果如下：-3 -2 -1 0 1 2 3-1-0.500.51Real PartImaginaryPart0 10 20 30 40 50 60-1012n (samples)AmplitudeImpulse Response是因果稳定系统4）程序如下：b=[1 0];a=[1 -1];subplot(2,1,1);zplane(b,a);subplot(2,1,2);impz(b,a);结果如下：-3 -2 -1 0 1 2 3-1-0.500.51Real PartImaginaryPart0 1 2 3 4 5 6 7 8 900.51n (samples)AmplitudeImpulse Response不是因果稳定系统。

5）程序如下：b=[1 0 0];a=[1 -1.6 1];subplot(2,1,1);zplane(b,a);subplot(2,1,2);impz(b,a);结果如下：-3 -2 -1 0 1 2 3-1-0.500.512Real PartImaginaryPart0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-2-1012n (samples)AmplitudeImpulse Response不是因果稳定系统6）程序如下：b=[1 0];a=[1 -1.2];subplot(2,1,1);zplane(b,a);subplot(2,1,2);impz(b,a);结果如下：-3 -2 -1 0 1 2 3-1-0.500.51Real PartImaginaryPart0 10 20 30 40 50 60 7002468x 105n (samples)AmplitudeImpulse Response不是因果稳定系统7）程序如下：b=[1 0 0];a=[1 -2 1.36];subplot(2,1,1);zplane(b,a);subplot(2,1,2);impz(b,a);结果如下：-3 -2 -1 0 1 2 3-1-0.500.512Real PartImaginaryPart0 10 20 30 40 50 60 70 80-2-101x 106n (samples)AmplitudeImpulse Response不是因果稳定系统。

2、程序如下：a=[1 0 0 0 0 0 0 -0.9];b=[1 0 0 0 0 0 0 -1];subplot(3,1,1);[H,w]=freqz(b,a,400,'whole')plot(H)subplot(3,1,2);ab=abs(H);plot(ab);subplot(3,1,3);ag=angle(H);plot(ag)结果如下：图如下：0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1010 50 100 150 200 250 300 350 40000.511.50 50 100 150 200 250 300 350 400-202是梳状滤波器五、思考题1、从实验内容 1 的结果进行分析，说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系哪个系统不稳定？2、实验内容 2 中的离散系统是一个什么类型的滤波器，具有什么功能？（提示，可查阅相关资料）六、实验报告要求1、将源代码及其运行结果附在报告中并加以分析说明；2、简要回答问题，对问题 1 要求附波形图进行说明3、实验收获及体会；。