留数的计算方法

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1、1留数的计算方法摘 要：本文介绍了常见的几类的留数的计算方法.并通过实例加以阐析.关键词：留数;极点;零点The Calculation of the ResidueAbstract: This paper presents several commonly solving methods of residue. Based on examples, these solving methods are stated and analyzed.Key Words: Residue; Poles; Zero-point 引言由留数定理得知，计算函数 沿 的积分，可归结为计算围线 内各孤立奇)(zf

2、CC点处的留数之和而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗级数中的负一次幂系数，也就是说，不必完全求出罗朗级数就可以完全确定该点的留数.下面介绍求留数的几种常用方法，使用时要根据具体条件，选择一个较方便的方法来进行.1. 有限远点留数的计算方法留数定理把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数 .在一般情况1C下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的.1.1 若 为 的可去奇点0z)(f则 在 内的罗朗展开式中不含负幂项，从而

3、 ，故当Rz0 01a为 的可去奇点时，0z)(f(1.1)0e().sfz1.2 若 为 的一阶极点0)(zf(1)第一种情形：若 为 的一阶极点，则 在 内的罗朗展开式为0)(zf )(zfRz0211010()()fzazazL显然 ，故当 为 的一阶极点时，)lim(01za (f0Res)lim)(zffz （1.2）(2)第二种情形：若 为 的一阶极点，且 ，则0z)(zQPf0)(zQ00Res()()Pfz. (1.3)1. 3 若 为 的 m阶极点0z)(f则 010 0dRes()li()()!mmzfzzfz. （1.4）一般来讲,公式(1.4) 适合计算级数较低的函数的

4、极点的留数.如果极点的级数较高时,计算可能比较复杂,此时可根据具体情况改用其他方法计算留数.1.4 当 为 的本性奇点时0z)(f几乎没有什么简捷方法，因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或计算积分的方法来求1.5 有限远点留数计算典型实例例 1.5.1 求 1,Re2zs解容易知道 是函数 的一阶极点，所以2ze211Rs(),lim()li2zzzeef.本题也可用上述方法设 ，取 ， ，显然 ， 满足方法 1.2)(zQPfze)()(2zQ)(zPQ中(2) 的条件，所以32(1)Res,2zPeQ.例 1.5.2 求函数 在 处的留数.2)(1)(zzf解 由于 是分

5、母的一级零点 ,且分子在 时不为零,因此, 是 的11z1z)(zf一级极点.由公式(1.2) 可以得到.)1,(Rezfs 4)1(lim2zz由于 是分母的二级零点 ,且分子在 时不为零,因此, 是 的二1z 1z)(zf级极点.由公式(1.4) 得 )1,(Rezfs 22)1()1(lizzdz= .4)(lim21z例 1.5.3 求函数 在 处的留数.)(zfsin4解 因为 以 为一级零点,而 ,因此 以 为一级极点.由14z 01sin)(zf1公式(1.3)得.)1,(Rezfs sin4si)si1314zz例 1.5.4 求函数 在 处的留数.)(fz0解 是 的本性奇点

6、,因为0zz, )(fze1z1 )!1(!2(Lnzz )0(z所以相乘后级数 的系数 为z1C1 LL!)1(!32n于是 )0,(Rezfs !)(!42. 无限远点处的留数计算方法2.1 无穷远点留数定义或留数和定理定义 2.1.13 设 点为函数 的一个孤立奇点,即 在 内解析,则)(zf )(zfR称积分 值为 在 点的留数,记作1)(2Cdzfif.1)(2),(ReCdzfizfs其中,C 为圆周 , 的方向是顺时针的.rz1设 在 内的洛朗展式为)(zfLL nmzCzCz101上式两端同乘 ,沿 逐项积分,并根据定义 1，有i211. (2.1)1)(),(ReCdzfiz

7、fs 12dziCnn即 在 点的留数等于它在 领域的洛朗展式中负一次幂的系数的相反数.)(zf这里需要指出的是,当 为 的有限可去奇点时,必然有 ;但0z)(f 0),(Rezfs是,如果 是 的可去奇点时 ,则不一定有 .)(zf 0),(Rezfs如 , 在是 的可去奇点;但 .f1)(zf 1例 2.1.1 求函数 在 点处的留数.12ef解 函数 以 z及 为一阶极点，而 z为本性奇点 又 )(2zf1Res(1),es2ffe所以 1Rs()2ef关于函数在有限孤立奇点和无穷远点留数之间的关系,有如下定理.定理 2.1.1 若 ，则0)(limzfz5Res()lim()zff.

8、(2.2)证明 由条件，故可设 在 的去心邻域的洛朗级数z1()0ncfzLL因此 1Resli()zf公式(2.2)在计算留数时是非常有用的.如果已知函数在所有有限孤立奇点的留数之和,由式(2.2) 即可知道函数在无穷远点留数;反之如果知道了函数在无穷远点的留数,则函数在所有有限孤立奇点的留数之和便可以求出.当函数的有限孤立奇点较多时,其留数之和计算比较复杂时,通过求函数在无穷远点的留数来求其在所有有限孤立奇点的历史之和是非常方便的.另外,我们还可以先计算出比较容易计算的函数的部分孤立奇点的留数,然后用公式(2.2)求出比较难计算的另一部分孤立奇点的留数之和.结束语留数定理的应用为一部分积分的计算提供了便利，特别是对某些复杂的积分，它大大缩短求解过程. 因此，利用留数计算定积分对理解留数理论和掌握一些特殊积分的计算有很大帮助，在平时的学习生活中留数理论或许能成为求积分与实际应用的有利工具.参考文献1 钟玉泉.复变函数论M. 北京：高等教育出版社，2004 .2 白艳萍等.复变函数与积分变换M . 北京：国防工业出版社， 2004.3 高宗胜等.复变函数与积分变换M . 北京：北京航空航天大学出版社 , 2006.