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1、1控制系统数字仿真与 CAD 第二章习题答案2-1 思考题：（1）数学模型的微分方程，状态方程，传递函数，零极点增益和部分分式五种形式，各有什么特点？（2）数学模型各种形式之间为什么要互相转换？（3）控制系统建模的基本方法有哪些？他们的区别和特点是什么？（4）控制系统计算机仿真中的“实现问题”是什么含意？（5）数值积分法的选用应遵循哪几条原则？答：（1）微分方程是直接描述系统输入和输出量之间的制约关系，是连续控制系统其他数学模型表达式的基础。状态方程能够反映系统内部各状态之间的相互关系，适用于多输入多输出系统。传递函数是零极点形式和部分分式形式的基础。零极点增益形式可用于分析系统的稳定性和快速
2、性。利用部分分式形式可直接分析系统的动态过程。（2）不同的控制系统的分析和设计方法，只适用于特定的数学模型形式。（3）控制系统的建模方法大体有三种：机理模型法，统计模型法和混合模型法。机理模型法就是对已知结构，参数的物理系统运用相应的物理定律或定理，经过合理的分析简化建立起来的各物理量间的关系。该方法需要对系统的内部结构和特性完全的了解，精度高。统计模型法是采用归纳的方法，根据系统实测的数据，运用统计规律和系统辨识等理论建立的系统模型。该方法建立的数学模型受数据量不充分，数据精度不一致，数据处理方法的不完善，很难在精度上达到更高的要求。混合法是上述两种方法的结合。（4） “实现问题”就是根据建
3、立的数学模型和精度，采用某种数值计算方法，将模型方程转换为适合在计算机上运行的公式和方程，通过计算来使之正确的反映系统各变量动态性能，得到可靠的仿真结果。2（5）数值积分法应该遵循的原则是在满足系统精度的前提下，提高数值运算的速度和并保证计算结果的稳定。2-2.用 matlab 语言求下列系统的状态方程、传递函数、零极点增益、和部分分式形式的模型参数，并分别写出其相应的数学模型表达式：(1) G（s）= 324741050ss(2) =.X25 - . -.4220 . 1 .-7-0.5Xuy=0 2 0 2 X（1） 解：（1）状态方程模型参数:编写 matlab 程序如下 num=1 7
4、 24 24; den=1 10 35 50 24; A B C D=tf2ss(num,den)得到结果：A= ,B= ,C= ,D=0-1035 -24 0 1 724 所以模型为: = X+ u,y= X.X-1035 -24 0 1 724 (2) 零极点增益:编写程序 num=1 7 24 24; den=1 10 35 50 24; Z P K=tf2zp(num,den)得到结果 Z= -2.7306 + 2.8531 , -2.7306 - 2.8531i ,-1.5388 P= -4, -3 ,-2 ,-1 K=1(3) 部分分式形式:编写程序 num=1 7 24 24;
5、den=1 10 35 50 24;3 R P H=residue(num,den)得到结果 R= 4.0000 ,-6.0000, 2.0000, 1.0000P= -4.0000, -3.0000 , -2.0000 ,-1.0000H=G(s)= 46213ss（2）解：（1）传递函数模型参数：编写程序 A=2.25 -5 -1.25 -0.52.25 -4.25 -1.25 -0.250.25 -0.5 -1.25 -11.25 -1.75 -0.25 -0.75； B=4 2 2 0; C=0 2 0 2; D=0; num den=ss2tf(A,B,C,D)得到结果num = 0
6、 4.0000 14.0000 22.0000 15.0000den =1.0000 4.0000 6.2500 5.2500 2.2500324 s+1 s15()6.5.+2.Gs(2) 零极点增益模型参数:编写程序 A=2.25 -5 -1.25 -0.52.25 -4.25 -1.25 -0.250.25 -0.5 -1.25 -11.25 -1.75 -0.25 -0.75； B=4 2 2 0; C=0 2 0 2; D=0; Z,P,K=ss2zp(A,B,C,D)得到结果 Z =-1.0000 + 1.2247i -1.0000 - 1.2247i -1.5000P= -0.5
7、000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i -1.5000 -1.5000 K = 4.0000表达式 4s1-.27is1.247i()0.5860.586s+.5Gs（3）部分分式形式的模型参数：编写程序 A=2.25 -5 -1.25 -0.542.25 -4.25 -1.25 -0.250.25 -0.5 -1.25 -11.25 -1.75 -0.25 -0.75； B=4 2 2 0; C=0 2 0 2; D=0; num den=ss2tf(A,B,C,D) R,P,H=residue(num,den)得到结果 R = 4.0000 -0.0000 0.00
8、00 - 2.3094i 0.0000 + 2.3094iP = -1.5000 -1.5000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660iH =42.30942.3094()1.586586iiGsss2-3.用欧拉法求下面系统的输出响应 y(t)在 0t 1 上，h=0.1 时的数值。,(0)1y要求保留 4 位小数，并将结果与真解 比较。()tye解：欧拉法 （前向欧拉法,可以自启动）其几何意义：把 f(t,y)在10*(,)kkyhftft区间内的曲边面积用矩形面积近似代替。利用 matlab 提供的 m 文件编程，得到,kty算法公式。如下所示（1） m
9、文件程序为 h=0.1;disp(函数的数值解为); %显示 中间的文字%disp(y=); %同上%y=1;for t=0:h:1m=y;disp(y); %显示 y 的当前 值%5y=m-m*h;end保存文件 q2.m在 matalb 命令行中键入 q2 得到结果 函数的数值解为y= 1 0.9000 0.8100 0.7290 0.6561 0.5905 0.5314 0.4783 0.4305 0.3874 0.3487（2）另建一个 m 文件求解 在 t 0,1的数值 （ % 是 的yetye,(0)1y真解% ）程序为 h=0.1;disp(函数的离散时刻解为);disp(y=)
10、;for t=0:h:1y=exp(-t);disp(y);end 保存文件 q3.m在 matalb 命令行中键入 q3 函数的离散时刻解为y= 1 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679比较欧拉方法求解与真值的差别欧拉1 0.9000 0.8100 0.7290 0.6561 0.5905 0.5314 0.4783 0.4305 0.3874 0.3487真值1 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0
11、.3679误差0 -0.0048 -0.0007 0.01180.0142 0.0160 0.0174 0.0183 0.0188 -0.0192 -0.0192显然误差与 为同阶无穷小，欧拉法具有一阶计算精度，精度较低，但算法简单。2h2-4 用二阶龙格库塔法求解 2-3 的数值解，并于欧拉法求得的结果比较。6解：我们经常用到 预报-校正法 的二阶龙-格库塔法， 此方法11221(),(),)kkhyftyft可以自启动，具有二阶计算精度，几何意义：把 f(t,y)在 区间内的曲边面积k用上下底为 和 、高为 h 的梯形面积近似代替。利用 matlab 提供的 m 文件编kf1程，得到算法公
12、式。如下所示（1）m 文件程序为 h=0.1;disp(函数的数值解为);disp(y=);y=1;for t=0:h:1disp(y);k1=-y;k2=-(y+k1*h);y=y+(k1+k2)*h/2;end保存文件 q4.m在 matlab 的命令行中键入 q4 显示结果为函数的数值解为y= 1 0.9050 0.8190 0.7412 0.6708 0.6071 0.5494 0.4972 0.4500 0.4072 0.3685（2） 比较欧拉法与二阶龙格-库塔法求解.（误差为绝对值）真值1 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4
13、966 0.4493 0.4066 0.3679龙库1 0.9050 0.8190 0.7412 0.6708 0.6071 0.5494 0.4972 0.4500 0.4072 0.3685误差0 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0007 0.0006 0.0006明显误差为 得同阶无穷小，具有二阶计算精度，而欧拉法具有以阶计算精度，二阶3h龙格-库塔法比欧拉法计算精度高。2-5用四阶龙格- 库塔法求解题 2-3 数值解，并与前两题结果相比较。7解：四阶龙格-库塔法表达式 ，其截断误差为 同阶11234213243()6
14、,)(),()kkkkhykftyhft 5h无穷小，当 h 步距取得较小时，误差是很小的.(1)编辑 m 文件程序 h=0.1;disp(四阶龙格- 库塔方法求解函数数值解为 );disp(y=);y=1;for t=0:h:1disp(y);k1=-y;k2=-(y+k1*h/2);k3=-(y+k2*h/2);k4=-(y+k3*h);y=y+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6;end 保存文件 q5.m在 matlab 命令行里键入 q5得到结果 四阶龙格-库塔方法求解函数数值解为y= 1 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679(2)比较这几种方法： 对于四阶龙格-库塔方法真值1 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679龙库1 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679误差0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0显然四阶龙格-库塔法求解精度很高，基本接近真值。三种方法比较可以得到精度（四阶 ） 精度（二阶） 精度（欧拉）2-6已知二阶系统状态方程为 .112 101
