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1、西南大学第六届大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了西南大学第六届大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，虽然本次竞赛采取分散自行答卷的机制，但在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一
2、项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果设置报名号的话）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 专业： 软件与工程 2. 专业：数学与应用数学 3. 专业：数学与应用数学 日期： 2012 年 4 月 21 日竞赛组委会评阅编号（由竞赛组委会评阅前进行编号）：西南大学第六届大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页竞赛组委会评阅编号（由竞赛组委会评阅前进行编号）：评阅记录（可供评阅时使用）：评阅人1碎片化趋势下的奥运会商业模式关 键 词： 网络宣传 信息传播 非线性规划 最优成本摘 要网络宣传作为一种新生的宣传模式，在现代市场竞争中为其他企业提供了一种有力的宣传工具，本文就在题目给出的环境下的宣传及成
3、本问题进行研究，展开讨论、分析和建立数学模型，利用数学软件进行求解。对于问题一：只考虑仅存在一名社交网络的专业推广者在奥运会期间进行企业宣传，假设一个粉丝传播新闻的概率为 ，建立数学模型，找到网络推广过程中的传播量。用 SPSS 分析数据求得重复传播的重复传播率 和传播的概率 ，进一步完善数学模型。建立数学模型 tNt5012/0R ttNY（ ） （ ）利用 Matlab 画出图像并求解得一条含有该企业广告的奥运会新闻可以被人观看到。对于问题二：基于问题一的假设，用SPSS分析重复率与理论看到的人数的关系，建立传染病模型 61.2570()3Nsydyt利用Matlab画出图像并求解得至少需
4、要雇佣10名专业社交网络推广者才能实现；最终看到新闻的人数是确定的，而宣传者不确定的情况下，采用线性规划的方法建立数学模型，建立成本与宣传者的的目标函数，根据假设针对函数中的自变量进行限制，当成本达到最大值时就是该函数的最优解。建立非线性回归模型 12min()50fxx8124%.()stY采用外点罚函数法程序，利用Matlab求解并分析得该企业最合理用人方案是雇佣10名专业推广者，不雇佣兼职宣传者。在网络化的时代里，宣传的手段使得更多企业更好的利用奥运会的机会进行宣传，基于该模型能赚取更多的利益，让企业在竞争激烈的经济环境下得到更好的发展。2一、问题的重述与分析网络相对而言是一种新兴的蕴含
5、着巨大潜力的宣传营销方式,包括从专业推广者推广信息开始经过好友推广等一系列推广,到最后几乎覆盖全网络。在网络环境下，研究网络宣传的效率以及怎样最有效的利用网络问题，具有着重要的理论和现实意义。对于第一问：仅存在一名专业推广者的情况，相关已知条件有如下表所示： 推广人数/天一个专业推广者 500一个粉丝 20（1）假设专业推广者的推广是必然的，即专业推广者每天都在推广传播。而粉丝的推广是不确定的，即由于受到各种因素的影响，粉丝可能不会继续进行推广，不妨假设一个粉丝推广、传播含有企业广告的奥运新闻的概率为 ，即粉丝的实际推广为500以及20。建立数学模型，确定传播过程中的总传播量。根据建立的数学模
6、型，求解网络推广过程中的传播量。（2）在（1）的假设下，考虑到每个人会有相同的好友，因此会产生传播的重复，假设在传播过程中重复传播的重复传播率为，运用已有的数学分析软件，从题目给出的数据中分析出的值。进而进一步再完善数学模型，确定该企业的广告在网络上的实际传播量。根据数学模型，求解网络上一条含有该企业广告的奥运会新闻可以被多少人观看到。对于第二问：相关的已知条件如下表所示：推广人数/天 工资/天一个专业推广者 500 500一个兼职宣传者 35 50根据假设公司的潜在用户量是确定的，为210 8人且他们都在使用社交网络，企业希望广告宣传覆盖其中40% 的人群。建立数学模型，研究在仅使用专业推广
7、者的情况下的可行性。并根据建立的数学模型，考虑在含有兼职推广者的情况下的企业最合理的用人方案。二、符号说明t表示推广的天数3()Nt表示 t 时刻理论上看到新闻的人数R表示 t 时刻重复看到新闻的人数()Yt表示 t 时刻实际看到新闻的人数表示一个粉丝推广、传播含有企业广告的奥运新闻的概率表示在信息传播过程中重复传播的重复传播率n表示一个专业推广者每天新增的粉丝人数m表示一个普通网络用户每天新增的粉丝人数N表示所考察的地区范围的总人口数()st表示 t 时刻没有看到新闻的人数占总人数的比例y表示 t 时刻已经看到新闻的人数占总人数的比例表示在 t 时刻看到新闻的人每天传播新闻的平均人数1m表示
8、一名专业推广者的推广人数2表示一名兼职宣传者的推广人数1x表示雇佣专业推广者人数2表示雇佣兼职宣传者人数jip表示节点 j 在t，t + t时段内处于未看到信息状态的概率jis表示节点 j 从未看到状态转移到已看到状态的概率(,)kt表示在 t 时刻从具有 k 条边的未看到节点连接到一个看到节点的概率|p表示度为 k 的节点与度为 k的节点邻接的条件概率(|)ksi表示一个拥有 k条边的节点在它连接到一个度为 k 的未看到节点的条件下，处于看到信息状态的概率,t表示在 t 时刻度为 k的看到信息节点的密度4三、模型假设1.在信息传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素
9、。所考察的地区范围总人口数始终保持一个常数；2.假设在传播过程中传播者不受任何影响，不考虑由于特殊原因网络瘫痪导致无法继续传播的情况；3.专业推广者每天都在推广传播信息；4.粉丝间存在停止传播信息的情况；5.粉丝间存在重复传播信息的情况；6.粉丝间的传播不是集中的，而是离散的。四、模型建立和求解4.1 问题一的解决方案及模型4.1.1 相应分析 对于信息在网络中的传播，具有复杂网络传播的特性。（1）无标度网络的建立针对所考察的地区范围构造一个无标度网络。首先给出少数孤立的节点 ,每一个时间内增加一个新的节点，并和已经存在的节点按照一定的概率选择 k 条边相连；选择的概率与节点度成正比，该节点的
10、连接边数越多，则再次被选上的机会就增多。在生成的无标度网络上。节点代表每个人，边代表个体之间的联系，整个网络代表传播关系。具有联系的人之间可以传播信息。设在一个周期，信息成功传播的概率为 。初始化时，随机的假设某个人开始传播，根据其在网络中的位置和关系，其周遍各个体在一个周期内以 概率中成为看到信息的人，则这些看到信息的人又以这一概率向其联系的人传播信息，从而实现信息在整个组织网络中的演化与传播。（2）假设一个节点 j 在 t 时刻处于未看到信息状态， 表示节点 j 在t，t+t时段内处于未看到信息 i 状态的概率， 表示节点 j 从未看到状态转移到已看到状态的概率且 其中0mppjipjis
11、p1jjisip5（1）1()j giptp式中，g=g(t)表示在 t 时刻节点 j 的邻居中看到信息节点的数量.假设节点 j 含有 k 条边，g 是具有如下二项分布的随机变量:（2）(,)(,)(1(,)gkt tkt式中， 表示在 t 时刻从具有 k 条边的未看到信息节点连接到一个看到信息节点的概率。 可写为如下形式:（3）(,)(|)(|)(|)(,)skk ktpsipkt 式中， 为度相关函数，表示度为 k 的节点与度为 k的节点邻接的条件概率;表示一个拥有 k条边的节点在它连接到一个度为 k 的未看到信息节点的条件下，处于看到信息状态的概率;表示在 t 时刻度为 k的看到信息节点
12、的密度.所以，得到度为 k 的节点在t，t+t时段内处于未看到信息状态的平均转移概率 如下:10(,)()(,)(1,)k ggkgigpt ptktt（4）1(,)ktt同理，假设 表示节点 在 时段内从看到信息状态转移到免疫状的概率， 表示节点 保持看到信息状态的概率且于是 ，得到度为 的节点在 时段内处于看到信息状态的平均转移概率 如下:（5） 2(,)(1()(,)(1)rks kpkttpktvt,)kt|p()ksi,t()kjsrp,tjjsp 2(1)()jgsptvtk,t ,sp6100 101 102 10310-310-210-1100kP(k)p=0.1k=1.579
13、8(a)100 101 102 10310-310-210-1100kP(k)p=0.4k=2.3768(b)100 101 102 10310-310-210-1100kP(k)p=0.7k=2.8808(c)100 101 102 10310-310-210-1100kP(k)p=1k=2.9245(d)对数坐标下的度分布 随参数 变化曲线()Pkp图像（一）（3）聚类系数一个节点 的聚类系数 反映了它的邻居之间互相连接的程度网络的平均聚系数： （6）1iicNc反映了通过三边连接三点而成的三角形子图在全网络里的密度，引入三角连接概率 p,从而由参数 和 共同控制网络结构的变化和权值的分配
14、。 更深入的研究则要涉及到度为 k 的节点的平均聚类系数：（7）1()()iikckcNP在很多情况下, 是一个 的幂律下降函数,说明度小的节点属于平均聚类系数()大的连通社区,反之,度大的节点属于平均聚类系数小的连通社区。iicp7100 101 102 10310-410-310-210-1100kC(k)p=1p=0.9p=0.5p=0.1对数坐标下平均聚类系数与度的关系随参数 变化曲线p图像（二）100 101 102 10310-410-310-210-1100kC(k)=0.6=0.8=1(b)对数坐标下平均聚类系数与度的关系随参数 变化曲线图像（三）4.1.2 信息传播模型的建立 8对于问题一，仅存在一名专业推广者的情况，相关已知条件有如下表所示： 推广人数/天一个专业推广者 500一个粉丝 20由假设知道，专业推广者的推广是必然的，即专业推广者每天都在推广传播。一个粉丝推广、传播含有企业广告的奥运新闻的概率为 ，即粉丝的实际推广为500 以及20 。问题一的推广关系图如下所示：50 不 再 推 广专 业 推 广 者 粉 丝 （ 人 ） 不 再 推 广继 续 推 广 （ 二 级 粉 丝 ） 继 续 推 广 （ 三 级 粉 丝 ）再根据前面的模型假设，从复杂网络传播的角度考虑，当不考虑重复传播时，每天实际看到新闻
