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1、正整数立方数的一个性质及其证明请看下面 19 的立方数：1 =1 2 =8 3 =27 4 =64 5 =125 33 336 =216 7 =343 8 =512 9 =729我们把这 9个立方数可以分为三类：第一类：1 =1 4 =64 7 =343；333第二类：2 =8 5 =125 8 =512；第三类：3 =27 6 =216 9 =729。333仔细观察可以发现，第一类的立方数各位数之和是 1， （如果各位数之和是两位数，则把十位数和个位数再相加，直到各位数之和是一位数为止，以下类同。 ）第二类的立方数各位数之和是 8，第三类的立方数各位数之和是 9。这个性质是否具有普遍性，我们
2、再找9个两位数验证一下。第一类：19 =6859 13 =2197 34 =39304333底数 19,1+9=10,1+0=1；幂 6859,6+8+5+9=28,2+8=10,1+0=1；底数 13,1+3=4；幂 2197,2+1+9+7=19,1+9=10,1+0=1；底数 34,3+4=7；幂 39304,3+9+3+0+4=19,1+9=10,1+0=1。第二类：11 =1331 14 =2744 26 =17576333底数 11,1+1=2；幂 1331,1+3+3+1=8；底数 14,1+4=5；幂 2744,2+7+4+4=17,1+7=8；底数 26,2+6=8；幂 17
3、576,1+7+5+7+6=26,2+6=8。第三类：21 =9261 24 =13824 18 =5832333底数 21,2+1=3；幂 9261,9+2+6+1=18,1+8=9；底数 24,2+4=6；幂 13824,1+3+8+2+4=18,1+8=9；底数 18,1+8=9；幂 5832,5+8+3+2=18,1+8=9。通过验证我们得到以下结论：如果一个正整数的各位数之和是 1或 4或 7， （如果各位数之和不是一位数，则继续把和的各位数相加，直至和是一位数为止，以下类同）则它的立方数的各位数之和是 1；如果一个正整数的各位数之和是 2或 5或 8，则它的立方数的各位数之和是 8；如果一个正整数的各位数之和是 3或 6或 9，则它的立方数的各位数之和是 9。根据同余理论，可以证明如下：如果正整数 a的各位数之和是一位数 b,( 如果各位数之和不是一位数，则继续把和的各位数相加，直至和是一位数为止，以下类同）则有同余式：ab（mod9）,根据同余式的性质，有a b （mod9） 。3由上面已知，当 b是 1或 4或 7时， b 的各位数之和是 1；当3b是 2或 5或 8时， b 的各位数之和是 8；当 b是 3或 6或 9时， 3b 的各位数之和是 9。3正整数立方数的这个性质可以帮助我们熟练记忆 19 的立方数。
