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1、对称性在积分计算中的应用定理 2.1.1 设函数 在 平面上的有界区域 上连续，且 关3 ),(yxfoD于 轴对称.如果函数 是关于 的奇函数，即 ，x,f ),(),(yxfxf，Dy),(则 ；如果 是关于 的偶函数，即 ， ,0fxd),(yxf ),(),(yxff，则 .y),( 1(,)2,DDf d其中 是 在 轴上方的平面区域 .1x同理可写出积分区域关于 轴对称的情形.y则由定理 2.1.1 知 .32sin0Dxd由定理 2.1.1 可得如下推论.推论 2 设函数 在 平面上的有界区域 上连续，若积分区域),(yxfoD既关于 轴对称，又关于 轴对称，则Dx 若函数 关于
2、变量 均为偶函数，则 .),(f, 1(,)4(,)DDfxydfxyd其中 是区域 在第一象限的部分， . 1 1(,)|0,xy 若函数 关于变量 或变量 为奇函数，则 .),(yxfx()0Dfxy当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.定理 2.1.2 设函数 在 平面上的有界区域 上连续，且 关于4),(yxfo原点对称.如果 ， ，则 ；如果),(f(,)D(,)0fxyd， ，则 ，),(yxf 122(,)Dfxydfxyd其中 ， .1(,|0D2(,)|0为了叙述的方便，我们给出区域关于 的轮换对称性的定义.yx定义 2.1.1 设 为一有界可度量平面区域（或光滑
3、平面曲线段） ，如果对于任意 ，存在 ，则称区域 （或光滑平面曲线段）关于(,)xy(,)yxD具有轮换对称性 .yx,关于区域的轮换对称性，有如下定理.定理 2.1.3 设函数 在 平面上的有界区域 上连续，且 关5 ),(yxfoD于 具有轮换对称性，则 . yx, (,)DDdfyxd定理 2.2.1 设函数 是定义在空间有界区域 上的连续函数，6 ),(zyxf 且 关于坐标平面 对称，则0x(1) 若 是关于变量 的奇函数，则 ；),(zyf (,)0fxyzdV(2) 若 是关于变量 的偶函数，则,xfx.1(,)2(,)fyzdVfxyz其中 是 的前半部分， .11,|0x同理
4、可写出 关于坐标平面 （或 ）对称时的情形. yz与二重积分类似，我们也可得到如下结论.定理 2.2.2 设函数 是定义在空间有界区域 上的连续函数，且),(zxf 关于原点对称，则(1) 若 ， ，则 ；),(),(yfzyxf(,)z(,)0fxyzdV(2) 若 ， ，则,zxff ,.1 2 3(,)2()(,)2(,)xyzdVydVfxyzdfxyz其中 ， ，1,|0x2(,)|03()|xyz为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于 的轮换对称性定义.,xyz定义 2.2.1 设 是一有界可度量的集几何体（ 可为空间区域、空间7曲线或曲面块） ，且它的边界光滑，若对任意的 ，
5、都存在 ，(,)z(,)yzx存在 ，则称 关于 具有轮换对称性 .(,)zxyzyx,关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理.定理 2.2.3 设函数 是定义在空间有界区域 上的连续函数，且),(zyxf 关于 具有轮换对称性，则zyx,. ()(,)(,)fdVfdVfxydV3.1 对称性在第一型曲线积分计算中的应用本文只讨论平面曲线，对于空间曲线有类似的结论.定理 3.1.1 设平面分段光滑曲线 关于 轴（或 轴）对称，且9 Lyx在 上有定义、可积，则),(yxfL(1) 若 为关于 （或 ）的奇函数，则 ；),(yxfxy(,)0Lfds(2) 若 为关于 （或 ）的偶函数，则
6、 .12(,)Lxyfxyds其中 .1(,)|0()Lxyy或由定理 3.1.1 可得如下推论.推论 3 设平面分段光滑曲线 关于 轴对称且关于 轴对称，且 在Lxy),(yxf上有定义、可积，则L 若 关于 均为偶函数，则 ， ),(yxf, 1(,)4(,)LLfdsfxds其中 .1,|0,L(2) 若 关于 或 为奇函数，即 或 ),(yxfy),(),(yxfxf， ，则 .),(f(,)0Lyds当曲线 关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.L定理 3.1.2 设平面分段光滑曲线 关于原点对称，且 在 上有定),(yxfL义、可积，则(1) 若 ， ，则 ；),(),(yxfx
7、f,L(,)0fxyds(2) 若 ， ，则 .12(,)Lfxyds其中 为 的上半平面或右半平面.1L关于曲线的轮换对称性，我们有如下结论.定理 3.1.3 设平面分段光滑曲线 关于 具有轮换对称性，且 在Lyx, ),(yxf上有定义、可积，则 .L(,)()Lfxydsfds定理 3.2.1 设 为平面上分段光滑的定向曲线， 为定义在),(,yxQP上的连续函数； 当 关于 轴对称时：Lx 若 是关于 的偶函数，则 ；),(yP0),(Ldxy若 是关于 的奇函数，则 ，12(,)LPydx 若 是关于 的奇函数，则 ；),(yxQ),(LyxQ若 是关于 的偶函数，则 ；, 1(,)
8、Ldxy其中 是 位于 轴上方的部分.1Lx 当 关于 轴对称时：y 若 是关于 的奇函数，则 ；),(P0),(LdxyP若 是关于 的偶函数，则 ；xx12(,)Lydx 若 是关于 的偶函数，则 ；),(yQ),(LyxQ若 是关于 的奇函数，则 ；,xx1(,)Ldxy其中 是 位于 轴右方的部分.1Ly 当 关于原点对称时： 若 关于 为偶函数，即),(,xQP),(y ),(),(yxP且 ， ，则 ；),(yxL0),(dQxyP 若 关于 为奇函数，即),(,x),(y ),(),(yx且 ，则 .),(yQx 1(,)2L LxdyPd其中 为对于轮换对称性，我们有如下定理.
9、1L定理 3.2.2 设 为平面上分段光滑的定向曲线， 为定义在),(,yxQ上的连续函数.若曲线 关于 具有轮换对称性，则LLyx,.LdxyPdyx),(),(的右半平面或上半平面部分.4.1 对称性在第一型曲面积分计算中的应用在第一型曲面积分的计算中，经常会碰到积分曲面关于某个坐标面对称的情形，与前几节类似，我们可以利用积分区域的对称性（关于坐标面、原点、轮换对称）及被积函数的奇偶性来简化第一型曲面积分的计算，下面给出相应的定理及例题.定理 4.1.1 设分片光滑曲面 关于坐标面 对称，且 在1 0x),(zyxf上有定义、可积，则 若 为关于 的奇函数，则 ；),(zyxfx(,)fy
10、zdS 若 为关于 的偶函数，则 .12(,)xfxyzdS其中 .1(,)|0xyzx同理可写出曲面 关于坐标面 （或 ）对称的相应结论.0yz对于轮换对称性，我们有如下定理.定理 4.1.2 设分片光滑曲面 关于 具有轮换对称性，且 在zx, ),(zyxf上有定义、可积，则 .(,)()(,)fxyzdSfydSfzdS4.2 对称性在第二型曲面积分计算中的应用与第二型曲线积分一样，我们可以根据第二型曲面积分积分的定义及物理背景（计算流体流量） ，同样可以得到对称性在第二型曲面积分计算中的相关结论.定理 4.2.1 设积分曲面 光滑或分段光滑，且 ，曲面 和12 121的法线方向相反，若曲面 和 关于 面对称，则212xoy 若 ，则 ；),(),(zyxRzyx0),(dzR 若 ，则 .12(,)xyRxyzd其中 为 的 的部分.10z关于轮换对称性，我们有如下定理.定理 4.2.2 设积分曲面 光滑或分段光滑，函数 在曲面 上有定),(zyxP义、可积，若积分曲面 关于 具有轮换对称性，则zyx,.(,)(,)(,)PdPxdzd
