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1、单因素方差分析方法首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差 V、组内方差 、组间方差 。vwB总方差 v= 2ijx组内方差 =vwiji组间方差 =bB2ix从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值 对总均值 的偏离程度，反映了抽样ijx随机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值 对组均值 的偏离程度，而组间方差ij则衡量的是组均值 对总均值 的偏离程度，反映系统的误差。xix在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差：组间均方差 =2Bs1av组内均方差 =2wb在方差相等的假定下，要检验 n 个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。原假设 ：均值相等即 = =H012n备择假
2、设 ：均值不完全不相等1则可以应用 F 统计量进行方差检验：F= =bavw1B2sWB该统计量服从分子自由度 a-1，分母自由度为 ab-a 的 F 分布。给定显著性水平 a，如果根据样本计算出的 F 统计量的值小于等于临界值 ，ab1，则说明原假设 不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。H0下面通过举例说明如何在 Excel 中实现单因素方差分析。例 1：单因素方差分析某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取 3 块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥，在乙农田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥，得到 6 次试验的结果如表 2 所示，试在 0.05 的显著性水平
3、下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。表 2 三块农田的产量甲 50 46 49 52 48 48乙 49 50 47 47 46 49丙 51 50 49 46 50 50要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设 ：三者产量均值相等；备择假设 ：三者的产量均不相等，对于影响产量的因H0 H1素仅化肥种类一项，因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验。新建工作表“例 1”，分别单击 B3：D8 单元格，输入表 2 的产量数值。计算组均值，对应甲的均值，单击 B9 单元格，在编辑栏输入“=AVERAGE （B3：B8） ”，再次单击 B9 单元格，
4、拖曳鼠标至 D9 单元格，求出乙和丙的组均值。计算总均值，单击 B10 单元格，在编辑栏输入 “=AVERAGE（B9：D9） ”。计算机结果如图 1 所示图 1计算 ，并求各组的组内方差 的值。2iijxvw求甲组 的值，单击 B14 单元格，在编辑栏输入“=（B3-$B$9）2” 。再次单iij击 B14 单元格，拖曳鼠标至 B19 单元格。求乙组 的值，单击 C14 单元格，在编辑栏输入“=（C3-$C$9）2”。再次单2iij击 C14 单元格，拖曳鼠标至 C19 单元格。求丙组 的值，单击 D14 单元格，在编辑栏输入 “=（D3-$D$9 ）2” 。再次单2iijx击 D14 单元
5、格，拖曳鼠标至 D19 单元格。计算 的值，单击 C20 单元格，在编辑栏输入“=SUM（B14：D19） ”。计算结果如vw图 2 所示。 图 3根据组均值和总均值求 的值，单击 B24 单元格，在编辑栏输入“=（B9-2xiB10）2 ”。再次单击 B24 单元格，拖曳鼠标至 D24 单元格，求出三个组的值。计算组间方差 ，单击 C25 单元格，在编辑栏输入“=6*SUM(B24:D24)” 。计算结果VB如图 3 所示。图 3计算 F 统计量的值，单击 C28 单元格，在编辑栏输入“ =C25/（C27-1）/（C20/ （C27*E27-C27 ） ） ”。计算 的值，单击 C30 单
6、元格，在编辑栏输入 “=FINV（C29，C27-1，C27*E27-C27 ） ”a。根据临界值给出的检验结果，单击 C31 单元格，在编辑栏输入“=IF（C28C30,” 三者产量均值不完全相等”,”三者产量均值相等”） ”。最终结果如图 4 所示。从图 4 中可以看出，运用单因素方差分析，接受了原假设 ，因此在 0.05 的显著性水平H0下可以认为三者的均值相等，即三者的肥效无显著差异。 图 4二、方差分析表在实际工作中，常常将上面的方差分析的过程归纳为一张表格，通过这张表格可以直观地显示出方差分析过程中各个参数的值。方差分析表作为一种默认的方差分析形式，被许多软件作为方差分析的结果输出
7、。后面介绍的 Excel 单 因素分析工具的结果输出中，最终便是以方差分析的形式给出分析结果。对应方差分析的结构如表 3 所示，其中对于组间方差 的计算可直接根据公式vw=v- 给出。vwB表 3 方差分析表方差 自由度 均方差 F 统计值组间方差 B=b 2ixa-1=2Bs1avF= 2swB组内方差 vw=v- BAb-a=2wabv总方差 vV= 2ijxAb-1下面通过举例说明如何采用方差分析表给出单因素方差分析的结果。例 2 方案分析表某公司研制出了 A、 B、C、D4 种新型生产设备，让 6 个熟练工人分别操作相同的时间，统计他们生产的零件的数量如表 4 所示，试在 0.01 的
8、显著水平下检验这 4 种设备单位时间生产的零件数 是否存在显著差异。表 4 4 种机器生产的零件数量A 75 46 50 56 73 48B 47 50 65 72 46 49C 48 50 52 46 49 65D 68 48 49 63 51 70需要检验 4 中设备单位时间内生产的零件数是否存在显著差异，对应原假设 ：4 种H0设备生产的零件数均值相等；备择假设 ：4 种设备生产零件数均值不相等，可采用单H1因素方差分析予以检验。新建一工作表“例 2”，分别单击 B3：E8 单元格，输入表 4 中的零件数。计算组均值。对应 A 组的均值，单击 B9 单元格，在编辑栏输入“=AVERAGE
9、(B3:B8)” ，再次单击 B9 单元格，拖曳鼠标至 D9 单元格，求出 B、C、D 的组均值。计算总均值。单击 B10 单元格，在编辑栏输入 “=AVERAGE(B9：D9) ”。计算结果如图5 所示。根据组均值和总均值计算组间方差 。vB求 的值，单击 B14 单元格，在编辑栏输入“=（B9-B10）2” 。再次单击2xiB14 单元格，拖曳鼠标至 E14 单元格，求出三个组的值。计算 的值，单击 C15 单元格，在编辑栏输入 “=SUM（B14：E14）*6” 。计算结果vB如图 6 所示。 图 6根据总均值计算方差 v。求 的值，单击 B19 单元格，在编辑栏输入“= （B3-B10
10、）2” 。再次单2ijx击 B19 单元格，拖曳鼠标至 E24 单元格，求出所有的值。计算 v 的值，单击 C25 单元格，在编辑栏输入“=SUM（B19：E24） ”。计算结果如图 7所示。方差分析表结构，根据总方差和组间方差计算组内方差，单击 C33 单元格在编辑栏输入“=C34-C32”分别给出自由度，单击 D32 单元格，在编辑栏输入“=C27-1” ；单击 D33 单元格，在编辑栏输入“=C27*E27-C27” ；单击 D34 单元格，在编辑栏输入“=C27*E271” 。计算方差分析表中的均方差。组间均方差，单击 E32 单元格，在编辑栏输入“=C32/D32” 。组内均方差，单
11、击 E33 单元格，在编辑栏输入“=C33/D33” 。计算 F 统计量的值，单击 F32 单元格，在编辑栏输入“=E32/E33” 。结果如图 9 所示。 图 9根据 F 值计算 p 值，单击 G32 单元格，在编辑栏输入“=FDIST（F32，D32，D33） ”。说明：1-p 值反映了可以以多大的把握认为原假设成立。如果计算的 p 值小于给定的显著性水平 0.05 则应该接受原假设，否则应拒绝原假设。给出检验结论，单击 C36 单元格，在编辑栏输入“=IF（G32C28,“四种设备生产的零件数均值相等” ， “四种设备生产零件数均值不相等” ） ”。结果如图 10 所示图 10从图 10
12、 可以看出，运用方差分析表，拒绝原假设 ，因此在 0.01 的显著性水平下H0认为三者均值不相等，即四种设备单位时间内生产的零件数的均值不相等。在 Excel 运用方差分析-单因素方差分析工具进行方差分析。例 3 方差分析：单因素方差分析仍采用例 2 中的数据，某公司研制出了 A、B、C、D4 种新型设备，让 6 个熟练工人分别操作相同的时间，统计生产的零件数量如表 4 所示，试应用方差分析：单因素方差分析在 0.01 的显著性水平下检验这 4 种设备单位时间生产的零件数是否存在显著差异。给定原假设 ：4 种设备生产的零件数均值相等，备折假设 ：4 种设备生H0 H1产的零件数均值不相等，应用方差分析：单因素方差分析工具予以检验，具体操作步骤如下：新建一个工作表“例 3”，分别单击 B3：E8 单元格，输入表 4 中 4 台机器对应的零件数。选择“方差分析：单因素方差分析工具”进行分析，单击【工具】菜单中的【数据分析】选项，出现【数据分析】对话框。在【数据分析】对话框中，单击【方差分析：单因素方差分析】 ，如图 11 所示，单击【确定】按钮。
