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1、系统动态优化控制可行方向法 1机械优化设计论文可行方向法专 业：机械工程及其自动化 班 级： 020102 班 学 号： 02010227 姓 名： 库后涛 2013 年 11 月 22 日系统动态优化控制可行方向法 2摘要: 以机械优化设计的传统求解方法为基础，探讨了优化设计的MATLAB实现方法，该方法初始参数输入简单，编程工作量小，具有明显的优越性通过实例介绍了MATLAB进行优化设计的基本原理和过程，为机械零件的优化设计提供了一种新方法。在机械优化设计中问题，绝大多数都属于约束优化设计问题，Zoutendiji可行方向法就是求解约束优化问题的一种有代表性的直接解法。关键词:机械优化设计
2、 ，Zoutendiji 可行方向法，约束优化问题。Abstract: Based on the traditional solving method to mechanical optimization design，this paper discusses the realization with MATLABThe MATLAB software simplifies the input of initial parameters and the computer programming，which make it have the apparent superior .The auth
3、ors use an example to show the fundamental and the process of using MATLAB to realize the optimal designConsequently a new method is providedAmong mechanical optimization design problems, of which the vast majority are constraint optimization problems, Zoutendiji feasible direction method is a repre
4、sentative direct method of solving constrained optimization problems Keywords：mechanical optimization design ，Zoutendiji feasible direction method，constrained optimization problems系统动态优化控制可行方向法 3目录引言.4线性不等式约束的 Zoutendijk 可行方向法.4非线性约束问题可行方向法.7Zoutendijk 法使用举例.8总结 .11系统动态优化控制可行方向法 4一、引言械优化设计中问题，绝大多数都属
5、于约束优化设计问题，其数学模型为：()（1.1）.+ =求解式（6-1）的方法称为约束优化方法。根据求解方式不同，可分为直接求解法和间接求解法。在约束优化问题的直接求解法中，可行方法是最大的一类，它也是求解大型约束优化问题的主要方法之一。这种方法的基本原理就是：给定一个可行点之后，用某种方法确定一个改进的可行方向 ，然后沿方向 ，求解一个)0(x kdkd有约束的线搜索问题，得极小点 ，按迭代公式计算： ，如kkkx)()1(果 不是最优解，则重复上述步骤。可行方向法就是利用线性规划方法来确)1(k定 的。d可行方向法常用方法有 Zoutendijk 可行方向法，既约梯度法，Rosen 梯度投
6、影法，Frank-Wolfe 方法。Zoutendijk 可行方向法对线性和非线性的不等式约束问题均适用，但约束条件不含等式约束，是可行方向法中选择可行下降方向的主要方法之一。二、线性不等式约束的 Zoutendijk 可行方向法1、可行方向的搜索策略考虑 NLP 问题()(2.1).+ =Th1 设 是问题(4.1.1) 的可行解，在点 处有 1=1,2=2,其中=12,=(12)则非零向量 d 为 处的可行方向的充要条件是 ： 10,=0.系统动态优化控制可行方向法 5Zoutendijk 法把确定搜索方向归结为求解 LP:()s.t. 10,=0, (2.2)|1, =1,显然 d=0
7、是可行解。由此可知，目标函数的最优值必小于等于 0.:最优值小于 0，则可得下降可行方向 d，否则我们可证 x 是 KKT 点。Th2 考虑问题(2.2)，设 x 是可行解，在点 x 处有 1=1,2=2，其中=12,=(12)则 x 为 KKT 点的充要条件是问题（4.1.2）的目标函数最优值 0。2、确定一维搜索步长设 xk 是（2.1）的可行解，不妨看做第 k 次迭代的出发点，d k 为 xk 处一个下降可行方向。后继点 xk+1 由下列迭代公式给出：+1=+的取值原则有两点：第一， 保持迭代点 的可行性；+第二， 使目标函数值尽可能减小。根据上述原则，可以通过求解下列一维搜索问题来确定
8、步长：min （ + ）. (+ ） (+ )= (2.3)0问题(2.3)可作进一步简化。由于 dk 是可行方向，必有=0=因此，(2.3)中第 2 个约束是多余的在点 处，根据约束是否起作用，记 ， =(1,2)=(1,2)系统动态优化控制可行方向法 6（2.4）1=1（2.5）22于是，(2.3)中第 1 个约束可写成：（2.6）1+12+212由于 dk 为可行方向， 自然成立。10， 1=1， 0， 1+11约束（2.6）化为2+22 （ 2.7）这样，问题(2.3)化简为min （ + ）（2.8）2+22 0根据（2.8）的约束条件，易求出 的上限，令=22 (2.9)=2 (2
9、.10)由（2.5）知 ， （2.9）的约束可写成23）求解问题()s.t. 10,=0, (2.13)|1, =1,，得最优解 dk。4）如果 ，计算结束， 是 KKT 点；否则转 5。()=0 5）利用（2.8）-（2.11）计算 ，然后再0, 上作一维搜索maxmaxmin （ + ）. 0 设 为最优解，令 +1=+6）置 k=k+1，转 2三、非线性约束问题可行方向法1、非线性约束设 是问题xniRmif ,21 0,)(gs.t mL的一个可行解，令 ， ，即 是 点0)(,|xxingRS0)(|xigIISx紧约束的指标集，设 和 在 点可微， 在 点连续，如果f)(Iigi，
10、 ，则 是一改进的可行方向。0(Tx)df 0Tidd系统动态优化控制可行方向法 82、非线性不等式约束的 Zoutendijk 方法的计算步骤：1) 选取允许误差 ， ，求一初始可行点 ，令 ，转 2)。012 )1(xk2）确定指标集 。0)(|)(kikgIxx3) 若 ，且 ，计算结束，取 ；若 ，且)(k 1)(kf )(*kx)(kI，令 ，转 6)；若 ，转 4)。1)(kfx)(kxd)(kIx4) 令 ，求解线性规划问题(4-2)的最优解 ；)( ,kzd5) 若 ，计算结束，取 ；否则令 ，转 6)。2kz)(kxk6) 求出线搜索问题max)(0 .intsfkkd的最优
11、解 ，其中 ；令 ，kSkkdx)(a| kkkdx)()1(，返回 2)。1k四、Zoutendijk 法使用举例求 ()=(11)2+(22)2+1=21+222142+6, 2. 1()=21212()=1+223()=104()=20matlab 程序：定义所求函数并赋值function h= fun1(x)syms a b;x1=a b;f=a2+4*b2;h=subs(f,x1,x);系统动态优化控制可行方向法 9end求导函数 dfx：function dfx=dfxfun(x)syms a b;x1=a b;f=a2+4*b2;grad=jacobian(f,x1);dfx=s
12、ubs(grad,x1,x);end根据 得到新的可行方向：function h=fun(lamda,d,x)syms a b;x1=a b;f=a2+4*b2;xx=x+lamda*d;h=subs(f,x1,xx);end主函数function Zoutendijk(x0,A,b)c=0;kk=0;options=optimset(Display,off); while c=b(i)-1e-4 %不起作用约束 A1,b1k=k+1;A1(k,:)=A(i,:);b1(k,1)=b(i);系统动态优化控制可行方向法 10endif C zoutendijk(x0,A,b)Optimizati
13、on terminated.Optimization terminated.Optimization terminated.Optimization terminated.Optimization terminated.可行方向法：迭代次数：kk=5系统动态优化控制可行方向法 12最优解：x0 =0.50001.5000函数最值：fval3 =1.5001Warning: Trust-region-reflective algorithm does not solve this type of problem, using active-setalgorithm. You could also try the interior-point or sqp algorithms: set the Alg
