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1、利用根与系数的关系，可进一步讨论根的符号解题是一种创造性学习，它不仅需要掌握扎实的基础知识和基本方法，还需要善于思考、灵活运用，才能解决问题。本文举例说明如何利用根与系数的关系，讨论根的符号。在用配方法导出一元二次方程的本根公式时强调 b2-4ac0，而实际上是判断一个一元二次方程根的情况的重要依据，通常用“”表示，即 = b2-4ac。由求根公式，我们可以得出下述结论：对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) = b2-4ac0 方程有两个不相等的实数根0 方程有两个相等的实数根0 方程没有 实数根一元二次方程的求根公式是由系数来表达的，是一种根与系数的关系，如果一元二次方程 ax2
2、+bx+c=0(a0)的两个实数根为x1，x2x1 = ； x2 =acb24acb42那么，X 1+X2= - X1X2= - c初中代数中利用根与系数的关系，讨论根的符号大致可归纳成以下几种类型。1、两根同号 0 X1X20 A、两根同为正号时： 0 ，X1X20 X1+X20B、两根同 为负号时：0 ，X1X20 X1+X202、两根异号时：0 ， X1X20A、两根异号时，正根的绝对值较大时：0 ，X1X20 ， X1+X20B、两根异号 时，负根的绝对值较大时：0， X1X20 X1+X203、特殊情况A、一根为 0，另一根不为 0 时： 0，X 1X2 =0B、两根互为相反数时：0
3、，X 1+X2=0C、两根互为倒数时：0，X 1X2 =1D、两根互为负倒数时： 0，X 1X2 =-1E、两根中，一根大于 2，另一根小于 2 时， （X1-2）（X2-2）0例：m 为何值时，方程 x2-(m+2)x+m-1=0 两个正根 一个根 为 正，另一个根 为负一个根大于 2，另一个根小一地 2解：=（m+2） 2-4(m-1)=m2+4m+4=4m+4=m2+8m 无论为任何实数，原方程有两个不相等的实数根。设 x1,x2 是原方程的两个根，则有X1+x2=m+2 x1x2=m-1(1)方程有两个正根：解这个不等式组，得 m1m+20m-10（2）方程一个根为正，另一根为负，m-
4、10解这个不等式，得 m1（3）方程的一个根大于 2，另一个小于 2，（x1-2）(x2-2) 0x1 x2-2(x1+x2)+4 0m-1-2(m+2)+4 0解这个不等式得 m-1 例 2 巳知关于 X 的方程 4X2-2（2k+1）X+k2=0 试问：当 K 取何值时，此方程有一个根 为零； 有两个互 为相反数的根；有两个正整数根；有两个异号的 实根，且负根的绝对值较大。解：由已知，根据根与系数的关系，得知：方程有一根为零，由 K2-1=0 解得：K=1方程有两个互为相反数的根， 则 2(2k+1）=0,得 K= - 12方程有两个正整根，则须= 22(2k+1)2-4x4(k2-1)0即 ： k-5 40k41202(2k+1)4 K -1 2K -1 或 K 1 解 得 k 1 方 程 有 两 个 异 号 的 根 ，且 负 根 的 绝 对 值 较 大 ，则即 ： K - 1 2-1 k 1解 得 ：- k 11 20k4)2(1
