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1、2.1 矩阵及其秩,一、矩阵的概念,二、矩阵的秩,一 矩阵的概念,如表:其记录的是某公司各项物品的库存量(单位:吨)：,品名,库存量,月份,表中库存量的数也可写成如下数表:,注意：上数表中的位置是不能互换的,每个位置具有不同的内涵.,由 个数排成的 行 列的数表,定义,实际应用：记录线性方程组未知数的系数.,简记为,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,这mn个数称为矩阵的元素.,注意：行列式表示一个数值(nn个元素) ，矩阵表示一个数表(mn个元素).,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,如果A,B都是mn矩阵或同是n阶方阵,
2、就说A与B是同型的;如果m=n,则称A为n阶矩阵或n阶方阵.,几种特殊形状的矩阵:,(1)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,称为列矩阵(或列向量).,(2)只有一列的矩阵:,（3）,形如 的方阵,若全为1,若全为k,则称这样的矩阵为对角矩阵;,这样的矩阵称为n阶单位矩阵,记为En.,这样的矩阵称为数量矩阵, 为数字;,所有的元素都是零的矩阵称为零矩阵.,二 矩 阵 的 秩,矩阵的秩是线性代数中的一个十分重要的概念, 它描述了矩阵的特征(以后说明),在以后讨论线性方程组,二次型等问题中起重要的作用.,例如，在34阶矩阵,定义1 在矩阵Amn中，任取k行, k列(kmin(m,n), 这些
3、行列交叉处的元素按原来的顺序组成一个k阶行列式. 称为矩阵Amn的k阶子式.,取第一,三行与第二,四两列,就得到A的一个二阶子式:,矩阵Amn中k阶子式共有CmkCnk个.,定义2: 在mn矩阵A中,不为零的子式的最高阶数,称为矩阵A的秩,记为R(A).,2. 规定零矩阵的秩为零(零矩阵的各阶子式全为零).,注意,3. 若A为n阶方阵,当R(A)=n时,称A 为满秩矩阵,否则称A为降秩矩阵.,例1 求矩阵,的秩.,解 左上角的二阶子式,A还有四个三阶子式经计算它们的值全部为零.,根据定义知: R(A)=2.,定理 mn 阶矩阵A的秩为r的充分必要条件是A中至少有一个r阶子式不等于零,而所有的r
4、+1阶的子式都等于零.,证 必要性(). 根据定义显然成立;,充分性(). 只需说明A的k阶子式(kr)全为零即可. 若A的所有r+1阶子式都为零,由行列式的展开定理, A的所有r+2阶子式均可由r+2个r+1阶子式表出, 从而A的所有r+2阶子式都为零, 因此A的所有高于r阶的子式都为零, 又因为A 中至少又一个r阶的子式不为零，由矩阵秩的定义. 必有R(A)=r.,解: A的左上角的三阶子式不为零. 显然A的所有四阶子式全为零,故由以上定理可知R(A)=3.,定理实际上给出了一个求矩阵秩的方法：,从低阶到高阶依次寻找不为零的子式,如果找到一个r阶子式不等于零,而所有的r+1子式都等于零,则矩阵的秩就为r.,例2 求下矩阵A的秩.,练习,解,定义 设n阶方阵:,称与此n阶方阵相对应的n阶行列式:,为方阵A的行列式,记为|A|或detA.,由矩阵秩的定义显然可以得知:,n阶方阵A的秩为 n的充分必要条件是|A|0 . 并且 当 |A|0 时, 方阵A为满秩矩阵,当 |A|=0 时,方阵A为降秩矩阵.,
