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1、1习 题 一 解 答1取 3.14，3.15， ， 作为 的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。27351分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理 2 后，可以根据定理 2 更规范地解答。根据定理 2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。解：（1）绝对误差:e(x)=3.143.141592653.140.001590.0016。相对
2、误差： 3()0.16.5034rex有效数字：因为 3.14159265=0.31415926510，3.140.31410，m=1。而 3.143.141592653.140.00159所以3.140.001590.005=0.510 2 21310所以，3.14 作为 的近似值有 3 个有效数字。（2）绝对误差:e(x)=3.153.141592653.140.0084070.0085。相对误差： 2()0.85.71031rex有效数字：因为 3.14159265=0.31415926510，3.150.31510，m=1。而 3.153.141592653.150.008407所以3
3、.150.0084070.05=0.510 1 11202所以，3.15 作为 的近似值有 2 个有效数字。（3）绝对误差: 2()3.145963.148570.164930.17exLL相对误差： 30.().027rx有效数字：因为 3.14159265=0.31415926510，m=1。23.14850.314285072而 23.145963.1428570.1264937LL所以 2213.0.510.50 所以， 作为 的近似值有 3 个有效数字。7（4）绝对误差:相对误差：35().149265.14920.2750.271exLL707083r 有效数字：因为 3.1415
4、9265=0.31415926510，m=1。35.14920.3145920而 6.0275LL所以 661735.149253.492.00.0 所以， 作为 的近似值有 7 个有效数字。312、 用 四 舍 五 入 原 则 写 出 下 列 各 数 的 具 有 五 位 有 效 数 字 的 近 似 数 。346 7854， 7 000009， 0 0001324580， 0 600300分 析 ： 本 题 实 际 上 指 出 ， 按 要 求 截 取 的 近 似 数 符 合 有 效 数 字 定 义 ， 相 关 数 位 上 的 数 字 都 是 有 效数 字 。 解 答 方 法 简 单 ， 直 接
5、 写 出 就 可 以 ， 不 需 要 也 不 应 该 做 形 式 转 化 （ 化 为 科 学 计 数 法 形 式 ）解 ： 346 7854 346 79，7 000009 7 0000，0 0001324580 0 00013246，0 600300 0 60030。指 出 ：3、 下 列 各 数 都 是 对 准 确 数 进 行 四 舍 五 入 后 得 到 的 近 似 数 ， 试 分 别 指 出 他 们 的 绝 对 误 差 限 和 相 对 误差 限 和 有 效 数 字 的 位 数 。12340.35,.01,.50,xxx。3分 析 ： 首 先 ， 本 题 的 准 确 数 未 知 ， 因 此
6、 绝 对 误 差 限 根 据 四 舍 五 入 规 则 确 定 。 其 次 ， 应 当 先 求绝 对 误 差 限 ， 再 求 相 对 误 差 限 ， 最 后 确 定 有 效 数 字 个 数 。 有 效 数 字 由 定 义 可 以 直 接 得 出 。解 ： 由 四 舍 五 入 的 概 念 ， 上 述 各 数 的 绝 对 误 差 限 分 别 是1234()0.5,()0.5,()0.5,()0.xxxx由 绝 对 误 差 和 相 对 误 差 的 关 系 ， 相 对 误 差 限 分 别 是11223344.().16%,0.5.2,().,10.5().xx有 效 数 字 分 别 有 3 位 、 4
7、位 、 4 位 、 4 位 。4.计算 的近似值，使其相对误差不超过 0.1。1解：设取 n 个有效数字可使相对误差小于 0.1，则，10.%2a而 ，显然 ，此时，3413a，10.2nn即 ，306也即 41n所以，n=4。此时， 。03.625、 在 计 算 机 数 系 F(10,4,-77,77)中 ， 对 ， 试 求 它 们 的 机31120.480.459xx与器 浮 点 数 及 其 相 对 误 差 。(),iflx解 ：其 相 对 误3 3331111112 22()0.48,()()0.480.4280.,59(.).40fleflxflxx差 分 别 是。3 11 20. 0
8、.4.7%, 0.%483ee46、 在 机 器 数 系 F(10,8,L,U)中 ， 取 三 个 数， 试 按 两 种 算 法 计4220.237158,.3674910,.367810xyz(),()xyz算 的 值 ， 并 将 结 果 与 精 确 结 果 比 较 。yz解 ： 422222()(0.58.9).3678100.3167910)36781067845.flx422422()0.58(.9.367810)0.231610.6flxyz 精 确 计 算 得 ： 4222220.371580.3678910.367810(. )64.xyz第 一 种 算 法 按 从 小 到 大
9、计 算 ,但 出 现 了 两 个 数 量 级 相 差 较 大 的 数 相 加 ,容 易 出 现 大 数 吃 小 数 .而 第 二 种 算 法 则 出 现 了 两 个 相 近 的 数 相 减 ,容 易 导 致 有 效 数 位 的 减 少 。 计 算 结 果 证 明 ， 两 者 精 度 水平 是 相 同 的 。*在 机 器 数 系 F(10,8,L,U)中 ， 取 三 个 数， 试 按 两 种 算 法 计4220.2375.3674910,.367810xyz(),()xyz算 的 值 ， 并 将 结 果 与 精 确 结 果 比 较 。yz解 ： 4222222()(0.371580.367891
10、0).3678100. 69)3914.670flxyz4224222().31580(.3678910.367810)0.23158( )70.67.69flxyz第 一 种 算 法 是 按 从 小 到 大 的 顺 序 计 算 的 ， 防 止 了 大 数 吃 小 数 ， 计 算 更 精 确 。5精 确 计 算 得 ： 42220.2371580.3678910.367810.94.60371850xyz显 然 ， 也 是 第 一 种 算 法 求 出 的 结 果 和 精 确 结 果 更 接 近 。7、 某 计 算 机 的 机 器 数 系 为 F(10,2,L,U)， 用 浮 点 运 算 分 别
11、 从 左 到 右 计 算 及 从 右 到 左 计 算10.43.204.3.试 比 较 所 得 结 果 。解 ： 从 左 到 右 计 算 得.20.10141030.1.0.10.9从 右 到 左 计 算 得11110.43.204.302.4.203.410.0.21从 右 到 左 计 算 避 免 了 大 数 吃 小 数 ， 比 从 左 到 右 计 算 精 确 。8、 对 于 有 效 数 ， 估 计 下 列 算 式 的 相 对 误 差 限1233.05,.1,0.xx1231233,yxy分 析 ： 求 和 差 的 相 对 误 差 限 采 取 先 求 出 和 差 的 绝 对 误 差 限 再
12、求 相 对 误 差 限 的 方 法 。 求 积 商 的相 对 误 差 限 采 取 先 求 每 一 个 数 的 相 对 误 差 限 再 求 和 的 方 法 。解 ： 因 为 都 是 有 效 数 ，1233.05,.1,0.xx所 以 ()()()x1 23. .50.6%, %,().5%305011xx6则 123123()()(0.5.0.50.1xxx43121.9.05%.3.4 1233()()(06%5056%xx2335.9、 试 改 变 下 列 表 达 式 ， 使 其 计 算 结 果 比 较 精 确 （ 其 中 表 示 x 充 分 接 近 0， 表 示 x1x=1x?充 分 大
13、） 。(1) ；21ln,xx(2) ；=(3) ；,1xx?(4) ;1cos,0=且(5) 。t1x且分 析 ： 根 据 算 法 设 计 的 原 则 进 行 变 形 即 可 。 当 没 有 简 单 有 效 的 方 法 时 就 采 用 泰 勒 展 开 的 方 法 。解 ： (1) ；12lnlnxx(2) ；22()11(3)()1xx(3) 2222221(1)xxxxx或722222211()()1()()11()(1)xxxxxxxx(4) 2422421321()cos!()!()2!4!nnnxxxxxLLLL(5) 231231n1cot( )45()!45()!BnnBxxxB
14、LLL（ 是 贝 努 利 数 ）10、 用 4 位 三 角 函 数 表 ， 怎 样 算 才 能 保 证 有 较 高 的 精 度 ？1cos2解 ： 根 据 ， 先 查 表 求 出 再 计 算 出 要 求 的 结 果 精 度 较 高 。21cosin1oin11、 利 用 求 方 程 的 两 个 根 ， 使 它 们 至 少 具 有 4 位 有 效 数 字 。783.9560x解 ：由 方 程 的 求 根 公 式 ， 本 方 程 的 根 为221,256481783x因为 ， 则783.917.5.98如 果 直 接 根 据 求 根 公 式 计 算 第 二 个 根 ， 则 因 为 两 个 相 近 的 数 相 减 会 造 成 有 效 数 字 的 减 少 ， 误差 增 大 。 因 此根据韦达定理 ，在求出 后这样计算 ：12x15.982x2x215.98x代076=.0这样就保证了求出的根有四位有效数字。12、试给出一种计算积分，10(,123.)nxnIed近似值的稳定算法。解：当 n0 时， 。10110()xIedee( )。1100xxed对 In运用分部积分法( )得bbaaudvdu1 1 11 100 0()()nxnxnx nxnIeeeded110nxndI由此得到带初值的递推关系式 10(,23.)nnI
