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1、北外起航五年级春季班数学第二讲 质数和合数教学目标:1. 掌握质数、合数的定义和特征。2. 养成准确数学概念、区分概念和灵活运用概念的良好习惯。知识点拨:概念:一个大于 1 的整数,如果除了 1 和它本身以外,不再有别的因数,这个整数就叫做质数(又称为素数)。一个整数,如果除了 1 和它本身以外,还有其它的因数,这个整数就叫做合数。质数特征:质数只有 1 和它本身两个约数。质数只能表示成 1 和它本身的乘积,不能表示成任意其它两个整数的积。最小的质数是 2,2 也是唯一的偶数质数,其它所有质数都是奇数。合数特征:合数至少有 3 个约数,至少有 1 个大于 1 小于它本身的约数。合数可以写成两个
2、大于 1 的整数的乘积。最小的合数是 4,大于 2 的偶数都是合数。相关知识点:1 既不是质数也不是合数。奇数中有质数也有合数。在大于零的偶数中只有一个质数 2,其它都是合数。质数的判定:直接判断:熟记 20 以内的质数,熟悉 100 以内的质数;查看质数表;试除判断:假设有自然数 N、P,且 NP 2。可以用小于 P 的所有质数依次去除 N,如果其中某个质数能整除 N,则 N 是合数;如果小于 P 的所有质数都不能整除 N,则 N 是质数。附:100 以内质数表: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83
3、,89,97, 共 25个.例题精讲:例题 1:判断 437、541 是质数还是合数?【解析】:先简单估算一下试除质数的范围。43721 2、54124 2,小于 24 的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23。依次用上面这些质数试除 437 和 541,得:43719=23,所以 437 是合数;这些质数都不能整除 541,所以 541 是质数。例题 2:已知 A 是质数,而且 A4,A6,A10 都是质数,求符合条件的最小质数 A。【解析】:要求出符合条件的最小质数,可以将所有质数按从小到大的顺序依次尝试,A 等于 2、3、5 时题中三个算式的得数中都有合数出现,只有 A 等
4、于 7 时,题中三个算式的得数依次为:11、13、17,都是质数。所以符合条件的最小质数 A 是 7。例题 3:将 1999 表示为两个质数之和,1999,在中填入质数,共有多少种表示法?【解析】:1999 是个奇数,拆成两个整数的和,奇数偶数奇数,这两个整数必然是一个奇数和一个偶数,要使这两个数都是质数,这个偶数只能是 2,奇数为(1999-2=)1997。经检验 1997 是质数。则所求表示法有两种:199921997;199919972。巩固练习:1.连续 9 个自然数中最多有几个质数?为什么?【解析】:连续 9 个自然数中最多有 4 个质数。理由:连续 9 个自然数中,最小的自然数小于
5、或等于 5 时,9 个连续自然数中都是有 4 个质数(可以一一列举验证)。连续 9 个自然数中,最小的自然数大于 5 时,这 9 个自然数中至少有 4 个偶数,都是合数,最多有 5个奇数,这 5 个奇数中至少有一个数是 5 的倍数是合数,因此最多只有 4 个质数。综上所述,连续 9 个自然数中最多有 4 个质数。2.判断 119 和 227 两个数是质数和合数?3.两个质数的和为 50,求这两个数的乘积最大是多少?4.有这样一个质数,它分别加上 2、8、14、26 后,得到的仍是质数,这个质数最小是多少?5 “哥德巴赫猜想”是说每个大于 2 的偶数都可以表示成两个质数的和,问 168 是哪两个
6、两位数质数的和,并且其中一位的个位数是 1?6.请给出 5 个质数,把它们按从小到大的顺序排列起来,使每相邻的两数的差都是 12。【解析】 我们知道 12 是 2、3 的倍数,如果开始的质数是 2 或 3,那么 即 与 12 的和一后 一 个 数 23或定也是 2 或 3 的倍数,将是合数,所以从 5 开始尝试有 5、17、29、41、53 是满足条件的 5 个质数7. 用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字组成质数,如果每个数字都要用到并且只能用一次,那么这 9 个数字最多能组成多少个质数?【解析】要使质数个数最多,我们尽量组成一位的质数,有 2、3、5、7 均为一位质数,这样还剩下1、4、6、8、9 这 5 个不是质数的数字未用有 1、4、8、9 可以组成质数 41、89,而 6 可以与 7 组合成质数 67所以这 9 个数字最多组成了 2、3、5、41、67、89 这 6 个质数