《[高考数学总复习]第五章第三节向量的数量积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[高考数学总复习]第五章第三节向量的数量积（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、平面向量数量积的意义1.a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab . 规定0a0. 当ab时，90，这时ab .,|a|b|cos 0,2.ab的几何意义 ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的 .,投影|b|cos的乘积,提示：不是，b在a上的投影是一个数量|b|cos，它可以为正，可以为负，也可以为0.,1.b在a上的投影是向量吗？,2ab 且ab0 .,5|ab| |a|b|.,3aa ，|a|,二、向量数量积的性质1如果e是单位向量，则aeea ,|a|cosa，e,ab,|a|2,4cosa，b .,ab0,2.分配律(ab
2、)c .,三、数量积的运算律1.交换律ab .,ba,acbc,(a)b a(b),3.对R，(ab) .,提示：数量积的运算不满足结合律，即(ab)ca(bc)不成立.这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，因此(ab)c与a(bc)一般是不相等的.,2.数量积的运算满足结合律吗？,3.|a| .,四、数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则1.ab .,a1b1a2b2,2.ab .,a1b1a2b20,4.cosa，b .,1.已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5 ，则|b| .,解析：|ab|2a22abb2520b250，b
3、225，|b|5.,答案：5,2.已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角是 .,解析：a(ba)aba22，ab2a23.cosab a与b的夹角为 .,答案：,3.已知向量a(1,2)，b(2，3).若向量c满足(ca)b， c(ab)，则c .,解析：设c(x，y)，则ca(x1，y2)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0. 又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0. 解得x=- ,y=- .,答案：,4.已知a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，则实数 .,解析：(ab)b，(ab) babb2150，,答案：-,5.已知向量a、b的夹角为45，且|a|4，( a
4、b)(2a3b) 12，则|b|；b在a方向上的投影等于.,解析：ab|a|b|cosa，b4|b|cos452 |b|，又( ab)(2a3b)|a|2 ab3|b|216 |b|3|b|212，解得|b| 或|b| (舍去).b在a上的投影为|b|cosa，b cos451.,1.当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及 |a|，|b|或得出它们的关系.2.若已知a与b的坐标，则可直接利用公式,【注意】平面向量a、b的夹角0，.,cos,已知|a|1，ab ，(ab)(ab) ，求：(1)a与b的夹角；(2)ab与ab的夹角的余弦值.,(1)由(ab)和(ab)的数量积可得出|
5、a|、|b|的关系.(2)计算ab和ab的模.,设a与b的夹角为，则,(2)(ab)2a22abb2 (ab)2a22abb212|ab| ，设ab与ab的夹角为，,1.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2). (1)若|c|2 ，且ca，求c的坐标； (2)若|b| ，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.,解：(1)设c(x，y)，由ca和|c|2 可得c(2,4)或c(2，4).(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20.2|a|23ab2|b|20，253ab2 0，ab ，cos 1，0，.,利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要
6、掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2a22abb2；(3)若a(x，y)，则|a|,已知向量a ，b(cos ，sin )，且(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值.,利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|ab|时注意x的取值范围.,【解】(1)abcos xcos sin xsin cos2x，|ab| 2|cosx|，x ，cosx0，|ab|2cosx.,(2)f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx12(cosx )2 .x ， cosx1，当cosx 时，f(x)取得最小值 ；当cosx1时，f(x)
7、取得最大值1.,2.(2009湖北高考)已知向量a(cos，sin)，b(cos， sin)，c(1,0). (1)求向量bc的长度的最大值； (2)设 且a(bc)，求cos的值.,解：(1)法一：由已知得bc(cos1，sin)，则|bc|2(cos1)2sin22(1cos).1cos1，0|bc|24，即0|bc|2.当cos1时，有|bc|max2，所以向量bc的长度的最大值为2.法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.当cos1时，有bc(2,0)，即|bc|2，所以向量bc的长度的最大值为2.,(2)法一：由已知可得bc(cos1，sin)，a(bc)coscossinsi
8、ncoscos()cos.a(bc)，a(bc)0，即cos()cos.由 ，得cos( )cos ，即 2k (kZ)，2k 或2k，kZ，于是cos0或cos1.,法二：若 ，则a( )又由b(cos，sin)，c(1,0)，得a(bc)( )(cos1，sin) cos sin .a(bc)，a(bc)0，即cossin1.sin1cos，平方后化简得cos(cos1)0，解得cos0或cos1.经检验，cos0或cos1即为所求.,1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线) 的充要条件： ababx1y2x2y10(b0).2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： ab
9、ab0x1x2y1y20.,已知向量a(cos()，sin()，b(cos( )，Sin( )(1)求证：ab；(2)若存在不等于0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，满足xy，试求此时 的最小值.,(1)可通过求ab0证明ab.(2)由xy得xy0，即求出关于k，t的一个方程， 从而求出 的代数表达式，消去一个量k， 得出关于t的函数，从而求出最小值.,【解】(1)abcos()cos( )sin( )sin( )sincossincos0.ab.(2)由xy得：xy0，即a(t23)b(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.又
10、|a|21，|b|21，,故当 时， 有最小值,-k+t3+3t=0，k+t3+3t.,t2+t+3=,3.已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，O为原点. (1)若 ，求tan的值； (2)若 ，求sin2的值； (3)若 且(0，)，求 的夹角.,与,解：(1)OC(cos，sin)，AB(0,3)(3,0)(3,3)OCAB，3cos3sin0，即sincos0，tan1.(2)AC(cos3，sin)，BC(cos，sin3)，ACBC，ACBC0，即(cos3)cossin(sin3)0，13(cossin)0，sincos ，两边平方得1sin2 ，sin2 .,(3)OAOC(3cos，sin)，(3cos)2sin213，cos .又(0，)， ，sin ，C( )，OBOC(0,3)( ) ，设OB与OC的夹角为，则cos ，又0， .,
