《例题与探究(3.2.1直线的点斜式方程3.2.2直线的两点式…》由会员分享，可在线阅读，更多相关《例题与探究(3.2.1直线的点斜式方程3.2.2直线的两点式…（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司典题精讲例 1 方程 y-ax- =0 表示的直线可能是图 3-2-1 中的( )a图 3-2-1思路解析:注意题设中的隐含条件 :斜率为 a、截距为 中都含同一个字母 a,且 a0.抓住这一1点,通过等价转化将方程化为我们熟悉的一元一次函数,再运用分类讨论思想使问题获得解决.将方程变形为 y=ax+ ,则 a 为直线的斜率, 为直线在 y 轴上的截距.因为 a0,所以 a0 或1a0 时,四个图形都不可能是方程的直线;当 a0 时,图形 B 是方程的直线 .答案:B绿色通道:根据直线的方程判断直线的形状 ,通常把直线转化成斜截式的形式,
2、利用斜率和截距的几何意义作出判断.变式训练 1两条直线 =1 与 =1 的图像是图 3-2-2 中的( )nymxyx图 3-2-2思路解析:两直线的方程分别化为 y= x-n,y= -m,易知两直线的斜率符号相同.mn答案:B例 2 经过点 A(-2,2)并且和两坐标轴围成的三角形面积是 1 的直线方程是( )A.x+2y-2=0 或 x+2y+2=0 http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司B.x+2y-2=0 或 2x+y+2=0C.2x+y-2=0 或 x+2y+2=0D.2x+y+2=0 或 x+2y-2=0思路分析:求直线方程以及与坐标轴围成图形面积有关的问题,常用直
3、线的截距式方程.解:设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别是 a、b,则有 S= |ab|=1.21ab=2.设直线的方程是 =1.byax直线过点(-2,2),代入直线方程得 =1,即 b= .22ab= =2,2a解得 直线方程是 =1 或 =1,.1,2,b或 21yx1yx即 2x+y+2=0 或 x+2y-2=0.答案:D绿色通道:在直角坐标系中涉及图形的面积时 ,要注意多与点的坐标相联系,特别是将三角形的底边放在坐标轴上,将高视为点的坐标的绝对值,与坐标轴上的点相关的直线方程是它的截距式,应当注意截距并非是非负的,它是直线和坐标轴交点的横坐标或纵坐标.变式训练 2求过点 A(3,4)
4、,且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程 .解:(1)当直线 l 在坐标轴上截距互为相反数且不为 0 时,可设直线 l 的方程为 =1.ayx又 l 过点 A(3,4),所以 =1,解得 a=-1.43所以直线 l 的方程为 =1,即 x-y+1=0.1yx(2)当直线 l 在坐标轴上截距互为相反数且为 0 时,直线的方程为 y= x,即 4x-3y=0.34例 3 一条直线 l 被两条直线 4x+y+6=0 和 3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰好是坐标原点,求直线 l 的方程.思路分析:设直线 l 的方程为 y=kx,与已知的两直线的交点设为 P1(x1,y1)、P 2(x2,y
5、2),把 x1、x 2用 k 表示,由 x1+x2=0,解出 k 的值即可.解法一:当直线 l 的斜率 k 存在时,设 l 的方程为 y=kx,且 l 与已知两直线的交点分别为P1(x1,y1)、P 2(x2,y2), http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司则 .536,4.0653,4, 2121 kxyxk由 此 解 得因为 O 是 P1P2 的中点,所以 x1+x2=0,即 =0,解得 k= .k46当斜率 k 不存在时,直线 l 是 y 轴,它和两条已知直线的交点分别是(0,-6) 和(0, ),显然不满56足中点是原点的条件.所以所求的直线方程为 y= x.61解法二
6、:设过原点的直线 l 交已知两直线分别于点 P1、P 2,且 O 为 P1、P 2 的中点,所以 P1 与 P2 关于原点对称.若设 P1(x0,y0),则 P2(-x0,-y0),所以 .96531,40yx+得 x0+6y0=0.所以点 P1(x0,y0)、P 2(-x0,-y0)都满足方程 x+6y=0.因为过两点的直线有且只有一条,且该直线过原点,所以所求直线 l 的方程即为 y= x.61绿色通道:与两直线交点有关的直线方程问题 ,用一般式较其他形式方便,另外注意解析几何中与交点有关的问题,常采用设点而不求点的方法,设而不求是解析几何中常用的方法.变式训练 3直线 l 和两条直线 l
7、1:x-3y+10=0 及 l2:2x+y-8=0 都相交,且这两个交点所成的线段的中点是P(0,1),则直线 l 的方程是_.思路解析:设两交点坐标为 A(3y1-10,y1)、B(x 2,-2x2+8),AB 的中点是 P(0,1),得 .82,031yx解得 y1=2,x2=4.A、B 两点坐标分别为 A(-4,2)、B(4,0).过 A、B 两点的直线方程是 x+4y-4=0.答案:x+4y-4=0例 4 求与直线 3x+4y+1=0 平行,且在两坐标轴上截距之和为 的直线 l 的方程.37思路分析:由 l 与直线 3x+4y+1=0 平行联想,可设直线 l 的方程为 3x+4y+m=
8、0.也可由两截距之和为 ,设直线 l 的方程为 =1.37byax解法一:设直线 l 的方程为 3x+4y+m=0, http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司令 x=0,得 y 轴上截距 b= ,4m令 y=0,得 x 轴上截距 a= ,3所以 +( )= ,37解得 m=-4.所以所求直线 l 的方程为 3x+4y-4=0.解法二:设直线 l 的方程为 =1,byax所以 .1,34,7ab解 得所以所求直线方程为 3x+4y-4=0.绿色通道:(1) 一般地,直线 Ax+By+C=0 中系数 A、B 确定直线的斜率,因此,与直线Ax+By+C=0 平行的直线方程可设为 Ax+
9、By+m=0.这是常采用的解题技巧.(2)一般地,经过点 A(x0,y0),且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程为 A(x-x0)+B(y-y0)=0.变式训练 4求直线 2x+(3k-1)y+k-1=0 在 x 轴、y 轴上的截距.解:令 y=0,则 x= ,21k于是直线在 x 轴上的截距为 .令 x=0,则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在 y 轴的截距为 y= .13k当 k= 时,直线在 y 轴上的截距不存在;31当 k 时,直线在 y 轴上的截距为 .k例 5 已知方程(m+2)x+(m-3)y+4=0(mR)所表示的直线恒过定点,试求该定点的坐标.思路解析:可以从两个
10、角度考虑 :(1)因为直线恒过定点,故该定点坐标与 m 的取值无关,于是我们可令 m 取一些特定值,进而求出两不同直线的公共点.(2)将方程变形为 m(x+y)+2x-3y+4=0.依题意,定点的坐标与 m 的取值无关,于是 m 的系数x+y 必为 0,进而 2x-3y+4=0.解法一:令 m=-2,则方程变为-5y+4=0,故 y= .54令 m=3,则方程变为 5x+4=0,故 x= .54 http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司依题意可知,直线恒过定点( , ).54解法二:将方程变形为 m(x+y)+2x-3y+4=0.依题意,定点的坐标与 m 的取值无关 ,于是此定点
11、的坐标必然满足 x+y=0 且 2x-3y+4=0.解方程组 .540432,yxyx定点的坐标为( , ).5绿色通道:求含参数的直线方程恒过定点时 ,可赋予参数两个具体的值,通过解方程组求交点;也可整理成 f1(x,y)+f2(x,y)=0 的形式,再求交点.变式训练 5已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点为 P(2,3),求过两点 A(a1,b1)、B(a 2,b2)的直线方程.解法一:因为 P(2,3)是两直线的交点,所以 .013221ba两式相减得 2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即 .21故所求直线方程为 y-b1= (x-a1).32a
12、b所以 2x+3y-(2a1+3b1)=0.又 .032,2ba故过两点 A(a1,b1)、B(a 2,b2)的直线方程为 2x+3y+1=0.解法二:因为 P(2,3)是两直线的交点,所以 2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.可见 A(a1,b1)、B(a 2,b2)都满足方程 2x+3y+1=0.故过两点 A(a1,b1)、B(a 2,b2)的直线方程为 2x+3y+1=0.问题探究问题 1 请想一想常见的对称问题有那些？具体的处理方法如何？导思:对称问题包括以下四类 :点关于点的对称;点关于直线的对称;直线关于点的对称;直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类,而这
13、两类问题最终都可归结为点的对称问题.若点 P1 与 P2 关于点 M 对称 ,则点 M 是 P1,P2 的中点.若已知其中任何两个点的坐标 ,都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标.若点 P1 与 P2 关于直线 l 对称,则直线 l 是线段 P1P2 的中垂线,它应同时满足两个条件,即 http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司P1、P 2 的中点在直线 l 上,且 P1P2 的连线与 l 垂直,也就是说,P 1P2 的中点坐标满足直线 l 的方程,且 P1P2 连线的斜率与直线 l 的斜率互为倒数.曲线是由点组成的,曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称.探究
14、:常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线)关于点、曲线(含直线) 关于直线的对称问题.具体的处理方法如下:(1)点 P(x0,y0)关于点 M(a,b)的对称点为 P(2a-x0,2b-y0);(2)点 P(a,b)不在直线 l:Ax+By+C=0 上,P 关于直线 l 的对称点为 P(x,y)的求法:因为 PP中点M( )在 l 上,PPl, 所以由方程组2,0ybxa.1)(,02000BAaxbyCy可解出 P(x0,y0).(3)几种特殊对称: 点(a,b)关于 x 轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于 y 轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于 y=
15、x 的对称点为(b,a);点(a,b)关于 y=-x 的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于 x+y=t 的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于 x-y=m 的对称点为(m+b,a-m).(4)“曲线关于点对称” 问题可用“点关于点对称”的方法解决;“曲线关于直线对称”问题可转化为“点关于直线对称” 问题来解决.问题 2 一般地,具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系,它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量 x、y 以外,还可以根据具体条件取不同值的变量,称为参变量,简称参数.由于参数取向不同,就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗?导思:应用直线系解题,是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素,再利用其他条件确定参数的值,是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算,提高解题效率.直线系 y=kx+b 中,若 b 为常数,它表示过定点(0,b)的直线系;若 k 为常数,它表示平行线系.平行线系关注的是斜率相等,垂直关
