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1、问题思考论文的要求:论文基本内容和格式大致分三大部分：一、标题、摘要部分1题目：应写出较确切的题目；(不能只写 A 题、B 题等，后面附的 9 道题目任选其一)2姓名、班级、学号、联系方式；3摘要(含关键词)200-300 字，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果；二、正文正文要求把求解的思路与过程描述清除,注意排版格式的整齐美观。大致可包括以下部分:1问题分析2模型假设即补充一些假设条件，使问题简化，但需合理(是此次比赛论文好坏的关键)3符号说明4模型建立与求解(必要时包括计算方法设计或计算机实现)5结果分析与检验(简述)6讨论模型的优缺点，改进方向，推广新思想(简述)7参考文献三、附录部
2、分(如果有下列内容的话)1计算程序，框图；2各种求解演算过程，计算中间结果。问题 1 思考：4 万亿投资与劳动力就业（宏观问题）2008 以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从 2008 年底，相继有 2000 万人被裁员，其中有 1000 万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但 2009 年的 600 多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。
3、为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在 2009 年两代会上，我国正式通过了 4 万亿的投资计划，目的就是保 GDP 增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下：1、GDP 增长 8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的 GDP 到底要增长多少？2、要实现 GDP 增长 8%，4 万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4 万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？4、
4、请你给出相关的政策与建议。问题 2 思考：人民币的汇率问题（宏观问题）人民币汇率对经济的影响近年来成为人们议论的热点，有不少经济学家在探讨人民币汇率对我国及世界经济发展的影响。一些学者希望提高人民币对一些主要货币的汇率，另一些学者则希望稳定人民币的汇率。试建立数学模型解决下列问题：1、以英镑汇率或日元汇率为例研究其变化对该国经济的影响；2、人民币汇率与主要货币(如英镑、日元、欧元等)的汇率关系；3、人民币汇率变化对我国及世界经济的影响。问题 3 思考:（微观问题）多阶段复合实物期权（即期权的期权）定价的蒙特卡罗模拟研究Keeley,Punjabi,Turki（1996）指出：适当的创业风险资本
5、的投资决策模型必须反映其所具有的高风险和多阶段特性，摒弃创业投资的着眼点是目标公司未来的成长潜能，其中高风险的产生是由于难以对未来预期现金流量做预期，并且不易得出适当的折现率。而多阶段指的是每阶段投资支出前创业投资公司都会面临继续投资或放弃的抉择。因此本章研究基于创业投资的高风险和多阶段特性，构建一个多阶段复合实物期权的定价模型。一、模型的假设与变量说明假设 1 创业投资项目带来的潜在价值 V 的随机过程服从几何布朗运动：（1）dztV其中： 投资项目带来的潜在价值瞬间增长率的期望值瞬间增长率的波动率时间增量dt标准维纳过程增量z式中 为满足维纳过程的一个与时间有关的变量， 的变化 表示瞬间变
6、化量，可以zd表示为 ，其中 为一个标准正态分布的变量，服从标准正态分布 ，即t )1,0(N所以)1,0(Ndtz再进一步考虑 在较长时间段（0，T）的变化量，将区间长度分为 N 小段，即zT=Ndt，利用上述 的性质可得Nidtz1)(此外，假设 ，即 的变化过程由原点开始可得0zz),0()TNz由 ， （1）式可写成dt（2）V即创业企业价值由两部分构成，确定的 （预期增长率）及不确定的 ，它受dtdt随机变量 的影响。几何布朗运动描述下的企业未来价值是不确定的，并服从对数正态分布。假设 2 创业投资公司价值的运动路径是一个跳跃扩散过程。在真实世界中，无论是上市公司的股价或者是任何企业
7、的价值，其运动的路径可能并非是一个连续而平滑的变动过程。因为企业的演进并不单单决定于产品成熟实现商业化生产销售后所带来的现金流量，而且受到发展过程中竞争对手带来的威胁、突发突变事件所带来的损害以及关键技术突破带来的巨大收益，甚至除了最初预想产品外的衍生增加产品市场获利机会的影响。因此，当考虑到研发完成后，创业企业由新产品所带来的潜在价值具有偶发性跳跃的可能时，我们进一步加入 Cox 和 Ross（ 1976）提出的替代随机过程来刻画创业风险资本投资项目所带来的潜在价值 V 的随机过程。在一个简单的跳跃过程中，我们得到以下方程：（3）dtdtV)sgn(其中， 跳跃发生的规模幅度单位时间内跳跃发
8、生的概率是一个随机变量，在-1,1区间服从均匀分布符号函数： （4）01)sgn(xx当我们使用跳跃过程描绘创业企业技术创新的本质后，投资项目所带来的潜在价值 V的随机过程，则成为一个建立在几何布朗运动上的跳跃-扩散过程，定义如下：（5）dtdztV)sgn(因此，我们允许资本投资潜在价值以连续的微小随机运动（扩散过程）为主，同时间杂有频率及程度不同的未预期跳动（泊松过程） 。此外，我们假设维纳过程与泊松过程相互独立。二、创业投资成本的不确定性根据创业企业在创建阶段的特征和技术创新的本质，创业投资项目所必须耗用的成本不易估计，因为成本投入经常随着研究发展的突破或瓶颈停滞而有着许多不同的情况。创
9、业企业的成本不确定模型如下：（6）dzKIftd),(实际成本K预期成本)(KEI投资率Z(t)维纳过程由于 Pindyck（1993）所探讨的是成本不确定下的投资项目的机会价值，其模型设定K 为投资项目完成所需要的预期成本，所以 dK 为一个递减的概念。而在多阶段复合期权定价模型中，对于投资项目的成本，除了修改 Pindyck（ 1993）的控制扩散模型成为一个完成投资项目预期总成本的随机过程外还要考虑到实际创业企业的发展过程与实物期权中对于复合实物期权的执行价格及标的期权执行价格的不同含义，涉及区分研发阶段的资本投入和经营阶段的资本投入，表示如下： RKRdzIdtK2/1)(（7）WWm
10、其中， 创业企业研发阶段的资本投资RI研发阶段资本投资率技术不确定因子创业企业经营阶段预期资本投资现值WKm经营阶段资本投资增加率经营成本不确定因子创业企业在研发阶段的资本投资为早期必要的新技术开发的费用、试验费用、人力资本支出和前期资本设备支出等。创业企业扩张阶段前的资本投入，其来源有种子阶段的自由储蓄或家庭、朋友的资助以及创业资本家资本的注入。由于研发项目具有相当的不确定性，以至于研发成本的投入亦伴随着研究发展的突破创新或瓶颈停滞等许多状况而起伏变化。因此，可以运用 Pindyck（1993）成本不确定模型中的技术不确定因子 来刻画其变化，并将投资项目完成所需要的预期成本 K，调整为随着时
11、间推移投入的费用，使其确定项 I 为单位时间内研发阶段资本投入总额。此外，当创业企业完成关键技术开发并掌握大规模生产技术时，企业将致力于扩大产量、增加市场占有率以及分享投资项目带来的获利，则进入经营阶段的资本支出，包括大规模生产设备、新建厂房、原材料成本支出和营销推广费用等将陆续产生。由于这一阶段成本支出与经济环境有关，可以运用 Pindyck（1993）成本不确定模型中的成本不确定因子来刻画其未来的变化。对于 和 ，假设它们为相互独立的维纳过程增量且所有RdKW与 dz 有关的风险都已经被分散，即 dz 与经济形势和股票市场无关。三、创业投资决策优化模型的构建1 风险中性定价风险中性定价即在
12、市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的标的证券，那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。这个思想在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含受投资者风险态度影响的变量，尤其是期望收益率。风险中性定价原理是 Cox 和 Ross（1976）在推导期权定价公式时建立的。由于这种定价原理与投资者的风险态度无关，从而推广到任何衍生证券都适用，所以在以后的衍生证券的定价推导中，都接受了这样的前提条件，就是所有投资者都是风险中性的。或者是在一个风险中性的经济环境中决定价格，并且这个价格的决定，又是适用于任何一种风险态度的投资者。在风险中性定价下，衍生产品价格等于
13、到期日的期望值损益的折现值，在标的资产价格分配经过鞅变换后，不同投资的不同风险偏好被转换为风险中性的环境，因此无风险利率可作为定价折现因子。即在风险中性定价中，投资者对于风险无特定偏好，并不要求风险贴水来补偿投资风险，而仅要求无风险报酬作为其任何资产的平均投资报酬率，故在此环境下，我们可以简化期权的定价过程，利用无风险利率作为贴现因子，假设 为第 i 种期权到期日标的资产的价格， 为 的随机密度函数，共有)(iTS )(iTSf)(iN 种可能的价格，则未来到期时期权价值的预期现金流量可以表示为：（8）)|()()(1) XSfXiTiiiT那么根据风险中性的定义，期权价值为未来预期现金流量的
14、折现值： )|()()( )(1)SfrCiTiNiiTt（9）|)()()( (11) XfXfSiTi NiiiTiT 其中，r 为无风险利率，若改为连续状态，则可以再写成如下积分形式：（10）tCTXTrTXTr dSfedfe )()(根据 Baxter 和 Rennie（1996）在风险中性定价中，欧式看涨期权的定价公式如下：（11）)0,max()(SETQtrt其中， 标的资产到期价格TS期权执行价格X风险中性的期望值运算因子Q鞅测度2 多阶段复合实物期权创新及应用创业投资基金公司投资于创业企业的第四期融资，即公开上市前的投资，可以视为一个简单的期权。假设第五阶段创业投资基金公司
15、在创业企业上市时卖出创业企业第四阶段融资时基金公司持有的股份，则实现的这部分价值就是这些股份的市场价值，这个简单期权可以表示为 。当企业的价值超过初次公开上市的市值时，则创业投资基)0,max(5ttIV金公司执行这个期权，此时这个期权的价值可以表示为 ，其中第一个下标表示期权到45,tC期日，第二个下标表示期权作定价的时点。创业投资基金公司在企业公开上市的前一个阶段会依据 的价值去判断是否应当继45,tC续给予创业企业的融资。当 ，表示创业企业未来上市的期权价值会高于现045,ttIC在的资金投入，因此创业投资基金公司会继续进行融资，而当 时，则放弃045,ttI投资。这个期权形式可以表示为
16、 。该标的期权的期末价值以无风险利率),max(45,ttIV折现到扩张阶段起始点 可以表示为4t（12）0,a()(exp5455, ttt IErC然而创业企业在进入经营阶段之前，创业基金公司必要的投资不止一次，即实际上的投资支出为序列性投资，由此产生在某一投资阶段可违约期权。这样在每个投资阶段将有一个期权，其标的价值为后续阶段投资所产生的价值，从而形成一个复合期权。创业企业在第三阶段期末将会根据该期权的价值 与预期的融资额度相比，决定是否应融资。该34,tC阶段期权的数学形式为 。当 时，表示创业企业未来实现)0max(34,ttI034,ttI潜在价值的期权价值大于预计的资本投入，所以创业投资基金公司执行这个
