定积分思想的理论延拓及应用

《定积分思想的理论延拓及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分思想的理论延拓及应用（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、本科毕业论文(设计)题目： 定积分思想的理论延拓及应用学 院 专 业 班 级 学 号 姓 名 指导教师 山东财政学院教务处制二一一年 五月统计与数理学院本科毕业论文1定积分思想的理论延拓及应用xxx内容摘要： 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学、物理学、经济学等学科的应用做了重点研究。幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。关键词： 定积分 柯西 微分 方程 物理 几何 经济 变量一、定积分的概念1.1 定积分的定义一般地，设函数 在区间 上连续，用分点()fx,ab0121iinaxL将区间 等分成

2、 个小区间，每个小区间长度为 （ ） ，在每个小区间,ab xban上取一点 ，作和式：1,iix1,2inL11()()ni ii iSff如果 无限接近于 （亦即 ）时，上述和式 无限趋近于常数 ，那么称该0nS常数 为函数 在区间 上的定积分记为： S()fx,ab()baSfxd其中 成为被积函数， 叫做积分变量， 为积分区间， 积分上限， 积分下x, a限说明：（1）定积分 是一个常数，即 无限趋近的常数 （ 时）称为()bafdnSSn，而不是 ()bafxdnS（2）用定义求定积分的一般方法是：分割： 等分区间 ；,ab近似代替：取点 ；1iiix求和： ；1()niif统计与数

3、理学院本科毕业论文2取极限： 1()limnbia bafxdf（3）曲边图形面积： ；变速运动路程 ；baSfxd 21()tSvd变力做功 ()baWFrd1.2 定积分的几何意义 如果在区间 上函数连续且恒有 ，那么定积分,b()0fx表示由直线 （ ） ， 和曲线()bafxd,xaby所围成的曲边梯形的面积y说明：一般情况下，定积分 的几何意义是介于 轴、函数 的图形以及直()bafxdx()fx线 之间各部分面积的代数和，在 轴上方的面积取正号，在 轴下方的面积去,xab负号 分析：一般的，设被积函数 ，若 在 上可取负值()yfx()yfx,ab考察和式 12i nfxfL不妨设

4、 (),()0iinx于是和式即为 121()()i i nfffxfxfxL阴影 的面积阴影 的面积（即 轴上方面积减 轴下方的面积）()bafxdAB1.3 定积分的性质性质 1 abxa性质 2 （其中 k 是不为 0 的常数） （定积分的线性性质）adxfkdf)()(性质 3 （定积分的线性性质）1212()bbba axfxd性质 4 （其中 a 0,b 0)2. 二次需求函数 Q = a bP (a 0,b 0,c 0)2cP3. 指数需求函数 (a 0,b 0)be有时也把 Q = f (P)的反函数 P = f 1 (Q)也称为需求函数.3.1.2供给函数供给量是指在特定时间

5、内，厂商愿意并能够出售的某种商品的数量，用S 表示，假设除了商品的价格P 外影响供给的其它因素均不变，则S 是P 的函数S = g(P)它通常是一个单调增函数.常见的供给函数有以下几种类型：1. 线性供给函数 S = a + bP (a 0,b 0)2. 指数供给函数 S = (a 0,b 0)bP当 Q=S 时，市场的供需处于平衡状态，此时的价格称为均衡价格，需求（或供给）量称为均衡数量.当商品由某厂商独家生产时，厂商是价格的制定者，它自然会考虑消费者对价格的反应并依需求规律组织生产，其产量即需求量，价格与产量（需求量）的关系由需求函数确定，称该商品市场为完全垄断市场；当商品由众多互不占优势

6、的厂商共同生产时，各厂商之间、消费者之间展开竞争并最终使市场处于均衡状态，此时商品价格即为均衡价格,单一厂商或消费者的行为（改变产量或需求量）不再影响市场均衡，称该商品市场为完全竞争市场.3.1.3总成本函数、收入函数和利润函数在生产和经营活动中，如果投入的各要素价格不变，则成本C 是产量开销售量Q 的函数 C = C(Q)，称为总成本函数.一般地总成本函数由两部分组成C(Q)= 01()统计与数理学院本科毕业论文10其中 为固定成本，它与产量无关，如厂房、设备的折旧费、企业管理费等; 0C 1()CQ为可变成本，它随产量的增加而增加，如原材料、动力、工人的工资等.常见的成本函数是线性函数.C

7、(Q)= +aQ (a.0)0以总成本除以产量，得平均成本函数 01()()CQ其中 与 分别称为平均固定成本与平均可变成本.0()1()厂商销售Q 单位的商品所提收入为 R = R(Q)，称为总收入（益）函数.设商品的价格为P，则总收入函数为R(Q)=PQ总利润L 等于总收入与总成本的差，于是总利润函数为L(Q) = R(Q) C(Q)3.1.4生产函数生产函数是指指产量Q 与各种投入要素之间的函数关系其中 为n 种要素的投入量 .12(,.)nfx12,.x如果只考虑两种投入要素：资本K 和劳动L,则生产函数为Q = f (K, L)常见的生产函数有1. 线性生产函数Q = aK + bL

8、 (a,b 0)2. Cobb-Douglas 生产函数(A, , 0)KL上两个生产函数都满足f (K,L) = f (K, L) ,这称为规模报酬不变.3.2定积分在边际函数中的应用积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数.设总量函数 P(x)在区间I 上可导，其边际函数为 P( x)， a, x I ，则总有函数()()(xaPud当 x 从a 变到b 时， P(x)的改变量为统计与数理学院本科毕业论文11()()xaPxPud将 x 改为产量Q，且a=0 时，将P(x)代之以总成本C(Q)、总收入R(Q)、总利润L(Q)，可得 0()()(0)QCxdC其中即为

9、固定成本， 为可变成本(0)C0Qxd（ 因为 ）()()R()R00QLxdC例 7 已知某公司独家生产某产品，销售Q 单位商品时，边际收入函数为（元/单位）（a0,b0,c0）2()abRc求：(1)公司的总收入函数；(2)该产品的需求函数.解 ：(1)总收入函数为= = =0()()QRxd20Qabcdx0Qababc(2)设产品的价格为P，则 ，得需求函数为P()abacQQb例 8 某企业想购买一台设备，该设备成本为5000 元T 年后该设备的报废价值为S(t)=5000-400t 元，使用该设备在t 年时可使企业增加收入850-40t（元）若年利率为5%，计算连续复利，企业应在什

10、么时候报废这台设备？此时，总利润的现值是多少？解： T 年后总收入的现值为 0.50(84)tedT 年后总利润的现值为0.50.50()84)4Tt TLede.0.5 0.55 4TT Te 统计与数理学院本科毕业论文120.5(2)Te令 L( T) = 0，得T=10当T 0，当T10 时， L( T) 0，则T=10 是惟一的极大值点即T=10 时，总利润的现值最大，故应在使用10 年后报废这台机器此时企业所得的利润的现值为100.5()(2)TLed1.04(元)85.3.3定积分在消费者剩余或生产者剩余中的应用在市场经济中，生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给曲线与需求曲线

11、莱描述（下图）需求量与供给量都是价格的函数，用横坐标表示价格，纵坐标表示需求量或供给量在市场经济下，价格和数量在不断调整，最后趋向平衡价格和平衡数量，分别用和 表示，也即供给曲线与需求曲线的交点E0PQ在图中， 是供给曲线在价格坐标轴上的截距，也就是当价格为 时，供给量是零，0 0P中有价格高于 时，才有供给量而 是需求曲线的截距，当价格为 时，需求量是零，1P1只有价格低于 时，才有需求 则表示当商品免费赠送是的最大需求1Q在市场经济中，有时一些消费者愿意对某种商品付出比市场价格 P0 更高的价格，由此他们所得到的好处称为消费者剩余(CS).由图 7-16 可以看出：(1)10()PCSfp

12、d同理，对生产者来说，有时也有一些生产者愿意以比市场价格 P0 低的价格出售他们的商品，由此他们所得到的好处称为生产者剩余(PS)，如图 7-16 所示，有统计与数理学院本科毕业论文13(2)0()PSfpd例 9设需求函数 Q8- ，供给函数 Q ，求消费者剩余和生产者剩余.392p解:首先求出均衡价格与供需量.8392p得 15， 3.0p0Q令 8- 0，得 P124，令 0，得 9，代入(3)、(4)式得392p0pCS ，2415 47(8)()156dpPS .299()()243.4 定积分在实际问题中的应用3.4.1 定积分在国民收入中的应用现在，我们讨论国民收入分配不平等的问

13、题.观察如下图中的劳伦茨(MOLorenz)曲线.横轴 OH 表示人口(按收入由低到高分组)的累计百分比，纵轴 OM 表示收入的累计百分比.当收入完全平等时，人口累计百分比等于收入累计百分比，劳伦茨曲线为通过原点、倾角为 45的直线；当收入完全不平等时，极少部分(例如 1%)的人口却占有几乎全部(100%)的收入，劳伦茨曲线为折线 OHL.实际上，一般国家的收入分配，既不会是完全平等，也不会是完全不平等，而是在两者之间，即劳伦茨曲线是图中的凹曲线 ODL.易见劳伦茨曲线与完全平等线的偏离程度的大小(即图示阴影面积)，决定了该国国民收入分配不平等的程度.为方便计算，取横轴 OH 为 x 轴，纵轴

14、 OM 为 y 轴，再假定该国某一时期国民收入分配的劳伦茨曲线可近似表示为 yf(x)，则统计与数理学院本科毕业论文141 1120 00()()()2Axfdxfdxfxd即 不平等面积 A最大不平等面积(A+B)-B12- f(x)dx10系数 表示一个国家国民收入在国民之间分配的不平等程度，经济学上，B称为基尼(Gini)系数，记作 G. 10()/(22AGfxB 102()fx显然，G0 时，是完全平等情形；G1 时，是完全不平等情形.例 10 某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由yx2，x0，1表示，试求该国的基尼系数.解:如图 7-15 所示，有 11200()2Afxdx 31026x故所求基尼系数 /.31AB3.4.2 定积分在投资问题中的应用对于一个正常运营的企业而言，其资金的收入与支出往往是分散地在一定时期发生的，比如购买一批原料后支出费用，售出产品后得到货款等等.但这种资金的流转在企业经营过程中经常发生，特别对大型企业，其收入和支出更是频繁的进行着.在实际分析过程中为了计算的方便，我们将它近似地看做是连续地发生的，并称之为收入流(或支出流).若已知在 t 时刻收入流的变化率为 f(t)(单位：元/年、元/月等)，那么如何计算收入流的终值和现值呢?企业在0