管理运筹学课后答案——谢家平

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1、管理运筹学 管理科学方法 谢家平 第一章 第一章 1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2.（1）设立决策变量； （2）确定极值化的单一线性目标函数； （3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量；

2、（4）非负约束。 3.（1）唯一最优解：只有一个最优点 （2）多重最优解：无穷多个最优解 （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大 （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集 无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项 bi0 , 决策变量满足非负性。如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“” 型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 5. 可行解：满足约束条件 AX =b,X0 的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性

3、约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 6. 计算步骤：第一步，确定初始基可行解。 第二步，最优性检验与解的判别。 第三步，进行基变换。 第四步，进行函数迭代。 判断方式： 唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即 j 0 ，但其对应的系数列向量 Pk 中，每一个元素 aik (i=1,2,3,m)均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。 无可行解：当引入人工变量，最末单纯型发表中的基变量含有非零的人工变量，即人工变量不能全出基，则无可行解。 7. 单纯形法需要有一个单位矩阵

4、作为初始基。当约束条件都是“”时，加入松弛变量就形成了初始基，但实际问题中往往出现“”或“”型的约束，这就没有现成的单位矩阵。需要采用人造基的办法，无单位列向量的等式中加入人工变量，从而得到一个初始基。人工变量只有取 0 时，原来的约束条件才是它本来的意义。为保证人工变量取值为 0，令其价值系数为-M（M 为无限大的正数，这是一个惩罚项） 。如果人工变量不为零，则目标函数就不能实现最优，因此必须将其逐步从基变量中替换出。对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取 M。 8. 9.10. （1）C10（3）C1 0，d0，a20，d/43/a 2 （4）C20，a1 0 （5）x1 为人工变量，

5、且 C1 为包含 M 的大于 0 数，d/43/a2；或者 x数，a10，d0。11.2 为人工变量，且 C 2 为包含 M 的大于 0 12. 设 xij 为电站向某城市分配的电量，建立模型如下： 13. 设 x1 为产品 A 的产量， x2 为产品 B 的产量，x3 为副产品 C 的销售量， x4 为副产品 C 的销毁量，问题模型如下： 第二章 1. （2）甲生产 20 件，乙生产 60 件，材料和设备 C 充分利用，设备 D 剩余 600 单位（3）甲上升到 13800 需要调整，乙下降 60 不用调整。（4）非紧缺资源设备 D 最多可以减少到 300，而紧缺资源材料最多可以增加到 30

6、0，紧缺资源设备 C 最多可以增加到 360。 2.设第一次投资项目 i 为 xi，第二次投资项目 i 设为 xi ，第三次投资项目 i 设为 xi 。3.设每种家具的产量为4.设每种产品生产 xi 5 （1）设 xi 为三种产品生产量 通过 Lindo 计算得 x1= 33, x2= 67, x3= 0, Z = 733 （2）产品丙每件的利润增加到大于 6.67 时才值得安排生产；如产品丙每件的利润增加到 50/6，通过 Lindo 计算最优生产计划为：x1=29 ， x2= 46 ， x3= 25 ， Z = 774.9 。（3）产品甲的利润在6,15范围内变化时，原最优计划保持不变。

7、（4）确定保持原最优基不变的 q 的变化范围为-4,5。 （5）通过 Lindo 计算，得到 x1= 32, x2= 58, x3= 10, Z = 707 第三章 1.原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同时又是资源消耗带来的。 对偶变量的值 yi 表示第 i 种资源的边际价值，称为影子价值。可以把对偶问题的解 Y 定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。 2.若以产值为目标，则 yi 是增加单位资源 i 对产值的贡献，称为资源的影子价格（Shadow Price

8、） 。即有“影子价格=资源成本+影子利润”。因为它并不是资源的实际价格，而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定，所以叫影子价格。可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂不购进资源，减少不必要的损失。3.（1）最优性定理：设 ， 分别为原问题和对偶问题的可行解，且 C = b ，则 ，a 分别为各自的最优解。 （2）对偶性定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值相等。 （3）互补松弛性：原问题和对偶问题的可行解 X 、

9、Y 为最优解的充分必要条件是, 。 （4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形法表中，初始基变量的检验数的负值。若YS 对应原问题决策变量 x 的检验数； Y 则对应原问题松弛变量 xS 的检验数。4. 表示三种资源的影子利润分别为 0.89、4.89 和 0，应优先增加设备 C 台时以及增加材料可获利更多；14.8912，所以设备 C 可以进行外协加工，200.89E(S2) ,所以应该选择建大厂。 （2）将收益 720 万元的效用值定为 1，记 U(720) =1，最低收益值-480 万元的效用值定为 0，记 U(480) =0. U(-120)=0.5U(720)+0.5U(-480)

10、=0.51+0.50=0.5 U(180)=0.5U(720)+0.5U(-120)=0.51+0.50.5=0.75 U(-340)=0.5U( 480)+0.5U(-120)=0.50+0.50.5=0.25 根据已知的几个收益值点的效用值，画出效用曲线： 从该效用曲线可以看出，该经理是风险厌恶者。如果采用建大厂的方案，一旦出现市场需求量低的状况，会亏损 20 万元，风险太大；而采用建小厂的方案，不会出现亏损。因此，经理决定建小厂。 第十章 11）建立层次模型 2）构造判断矩阵 3）一致性检验 4）层次单排序 5）层次总排序 2.一个因素被分解为若干个与之相关的下层因素，通过各下层因素对该

11、因素的重要程度两两相比较，构成一个判断矩阵。 通常我们很难马上说出所有 A 1，A 2，An 之间相对重要程度，但可以对 Ak 与 Aj 间两两比较确定，取一些相对数值为标度来量化判断语言，如表所示。 3.一致性是指判断矩阵中各要素的重要性判断是否一致，不能出现逻辑矛盾。当判断矩阵中的元素都符合一致性特性时，则说明该判断矩阵具有完全一致性。 引入判断矩阵的一致性指标 C.I.，来检验人们思维判断的一致程度。C.I.值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大；C.I.值越小（越接近于 0） ，表明判断矩阵的一致性越好。 对于不同阶的判断矩阵，其 C.I.值的要求也不同。为度量不同阶判断矩阵是否

12、具有满意的一致性，再引入平均随机一致性系数指标 R.I。 C.I.与 R.I.之比称为随机一致性比值记作 C.R。当 C.R. S = 76.7 ，应舍去，所以取 s = 69.147 。 因此，这个问题的足有策略应是：商店的电子产品需订购 S x = 76.7 0 77 台。 第十二章 1.（1）在 t=30 时系统内有 20 个顾客的概率等于在 t=3015=15 时间内到达 n=2010=10 个顾客的概率。 在 t=15 至 t=30 这段时间内到达的平均数为 t=2015=300 个。 在 t=30 时系统中有 20 个顾客的概率： （2）系统中顾客的平均数为 t，因此，当 t=10 时，t=2010=200 个，当 t=20 时，t=2020=400 个。 2. 3. 4. 这是 M/M/1 与 M/M/2 ，队长无限系统的混合情况，=30 人/小时，=40 人 /小时；=60 人 /小时。 5. 6. 这里 为正在服务台接受被服务顾客的平均数，则平均被服务顾客数为。所以，在多服务台情况下， 7.（1）服务时间服从负指数分布： 服 务 时 间 服 从 定 长 分 布 ： ，根 据 PK 公式，当服务时间服从负指数分布情况下每个顾客在队伍中的期望等待时间大于服务时间服从定长分布情况。 （2）服务时间服从负指数分布： 服务时间服从定长分布：