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1、数 列 和 不 等 式数列是一种特殊的函数，在众多的高考试题中数列试题题型新颖,综合性强，特别是数列与不等式的结合是近几年高考试题的热点，而涉及数列和不等式的问题往往需要综合运用函数、数列性质和不等式证明等诸多方法,从而考察学生的数学意识、数学思维。下面谈谈常涉及到的几种特殊解决方法。一、函数的性质A. 函数的值域例 1已知公差大于零的等差数列 的前 n 项和是 ，且满足：nans=117， ，43a 252a求（1）通项 ；（2）若数列 是等差数列，且 ，求非零常nnbcnsb数 C。（3）若 的前 n 项和为 ，求证nbnT11)9(643nnbb解：（1）略 （2）略34a2c(3) ,
2、nbn212)2(3)(321Tn 4)1(2n4609064)1(9(64)9(6421 nnbn上面两式等号不可能同时取到， 原命题得证。QB. 函数的单调性a. 构造函数应用定义法例 2。已知数列 的前 n 项和为 ，它满足nans21nnas（1） 试求出 之间的递推关系。21,与（2） 设 当 时，求证,21aa10.2432 an （3） 若设 当 时，求证,21 .1632432 na 解:（1） （略解）利用 - = 可得数列 是一等差数列。snana（2） ， （ ） 数列 是单调递增数列。Q012adkkk12 kad12令 得 n-1 个不等式相减得： ,.43,n da
3、n1.2232a+ + =d132ad1nad1na.1132= .n1 n2 32(3)由(2)知 =)1(22432 aan )(3设 ,当 时,设 ,则有)(af)1)0(21- , 0 恒成立, （ ） （ ） 01211nn21a13n对一切正自然数 恒成立,即 恒成立. N2311a恒成立, 021a1a故所求的 的范围是12(2)证明 :由(1)知 （ ） +2,下面分情况讨论.n113na.若 时 . 数列 是严格单调递增数列 ,当 时, ,21aan13n,这与 矛盾. 不成立.nMn21b.当 时, （ ） （ ） = （ ） 4 结论成立时 Nn,2 424468112
4、nnn aa当且仅当 时取等号.1na4n3,2(2) )4(1nn.,14682naa 441682 nnaaQnn122n由(1)知 成立,故命题等证.n三、数列的性质A应用数列性质（例 6） （2）解： nf)(nan212aan.1253（逆用等比数列求和公式）， naaannn 21.1123 由均值不等式，上式成立B.极限思想例 8设 ,21a1a（1）证明： 介于 之间。2,（2） 中哪一个更接近于21,a（3）根据以上事实，设计一种求 的近似值的方案，并说明理由。2解：（1） = 则 介于 之间212a0121a21,a（2） = =1122Q1a1比 更接近于 。1a2a（3
5、）依次令 ，nn1N则 2na21na12na ，.12n 1即 2na1n .2na2a1故 依次更接近于 ，且当 时， 无限趋近于 ，21,a.32nna2即 。2limn评注：此题是根据教材数列章节中第一节的例 3 改编而来的，让学生接触“数列逼近”这个新颖题材，对培养学生的创造能力很有帮助，这种极限的思想在其他的章节中也有广泛的运用，例如球的体积和球的表面积的推导等。当然对于数列中不等式的证明也可使用数列中的数学归纳法来证明，这里就不说明了。四、二项式定理例 5（2） （二项式定理） 231210nCnn评注：一般地，当指数不等式（指数为正整数）那么一般情况都可以利用二项式定理来证明。当然对于数列和不等式还可以采用数形结合、绝对值性质等等，这里就不一一赘述。
