微积分的发展史论文-论文

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1、微积分的发展史论文-论文微积分的发展史论文摘要：本篇论文主要介绍微积分的发展史，主要是萌芽创建及微积分学的一些基本概念。关键字：微积分 萌芽 牛顿 流数术 莱布尼茨 建立一、引言：微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。微积分学在科学、 经济学和工程学领域被广泛的应用，来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来，并包括微分学、积分学两大分支。毫无疑问，微积分的发现是世界近代科学的开端。二、主要内容：一）微积分学的萌芽微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关

2、系。最后一步是由牛顿、莱布尼 兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。古希腊时期就有求特殊图形面积的研究；用的是穷尽的方法。阿基米德（Archimedes）用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积；这些都是穷尽法的古典例子。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微 积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前 7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪墨经中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无 穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘

3、徽公元 263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。1、中国古代对微积分的贡献微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的梦溪笔谈独创了“ 隙积术”、“会圆术”和“棋局都数 术” 开创了对 高阶等差级数求和的研究。 南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著数书九章十八卷，创举世闻名的“大衍求一 术”? 增乘

4、开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。特别是13世纪40年代 乘开方法、“ 正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术” （一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶 等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、 “天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割 圆术、 组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统

5、治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。之前，公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪墨经中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无 穷大（最大无外）的定 义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。2、世界近代微积分的酝酿到了十七世纪，有许多科学问题需要解决， 这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二 类问题是求曲线的切线

6、的问题。第三 类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡 尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个

7、是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。以下介绍笛卡尔和费马的两种不同思想方法。 （1）笛卡儿求切线的“ 圆法”。 法国数学家笛卡儿用代数方法（即圆法）求出了曲线在其上某一点处的切线方程。笛卡儿求曲线y=f（x）过点P（x，f（x）的切线斜率的“圆法”是：（如图）过C点（曲线在点P处的法 线与x轴的交点）作半径 为r=CP 的圆C ： 。因CP是曲线y=f（x）在P 点的法 线，则P应是曲线与圆C的“ 重交点”。若 是多项式函数，有重交点就相当于方程 有重根x=e，从而 ，比较系数得v与e的关系，代入e=x，便得过P 点的切线斜率 。以 为例。点 。设，经特定系数法

8、得知： 。故切线斜率 。笛卡尔的代数方法正是后来求切线方法的雏形，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分道路的。（2）费马求极值的代数方法。1300微积分的发展史论文法国数学家费马求函数y=f（x）在点a 处极值（如果存在的话）的代数方法是：用a+e代替a，并使f（a+e）与f（a ）“逼近”，即 f（a+e）f （a）。消去公共项后，用e除两边，再令 e消失，即 ，由此方程求出的a 就是f（x ）的极值点。以 为例， ，。-1是f（x）的极值点。费马的方法几乎相当于后来微分学中的方法，只是以符号e 代替了增量x。可以说费马已经走到了微积分的边缘了，再往前迈一步，微积分的发明人也许要改弦

9、易辙了。17世纪上半叶一系列前驱性工作沿不同方向朝着微积分的大门踏近，但它们还不足以标示微积分作为一门独立科学的诞生，这是因为它们在方法上还缺乏一般性。微分与积分的基本问题，在当 时被看作不同的类型来处理。 虽然也有人注意到了某些联系，但并没有人能将这些联系作为一般规律明确提出。因此，站在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家们面临的艰巨任务。二）微积分的建立在创建微积分的过程中究竟还有多少事情要做呢1)需要以一般形式建立新计算法的基本概念及其相互联系,创立一套一般的符号体系,建立计算的正确程序或算法.2)为这门 学科重建逻辑上的一致的,严格的基础.第1

10、)项 由牛顿和莱布尼兹各自独立完成.第2)项 由法国伟大的分析学家A.L柯西(Cauchy,1789_1857)及其他19世纪数学家完成。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。1、牛顿的“ 流数术”牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他正在剑桥大学学习。他因对笛卡尔圆法发生兴趣而开始寻找更好的切线求法。1665年11月，牛顿发明“ 正流数术”（微分法），

11、次年5月又建立了“反流数术”（积分法）。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以流数简论著称，它是历史上第一篇系统的微积分文献。流数简论反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“ 流数” （即微商）概念，虽然没有使用“流数” 这一术语。牛顿在简论中提出微积分的基本问题如下：（a）设有两个或更多个物体A，B， C，在同一时刻内描画线段 。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度 的关系。（b）已知表示线段 和运动速度 、 之比 的关系方程式，求另一线段 。牛顿对多项式情形给出（a）的解法。以下 举例说明牛 顿的解法。已知方程 ，牛顿分别以 和 代换方

12、程中的 和 ，然后利用二项式定理，展开得，消去和为零的项，得 ，以 除之，得，这时牛顿指出“ 其中含 的那些 项为无限小” ，略去 这些无限小，得 ，即所求的速度 与 的关系。牛顿对所有的多项式给出了标准的算法，即对多项式 ，问题（a ）的解为 。对于问题（b），牛顿的解法实际上是问题（a）的解的逆运算，并且也是逐步列出了标准算法。特别重要的是，简论中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“ 微积分基本定理 ”。牛 顿在简论中是这样推导微积分基本定理的：设 为已知曲线 下的面 积，作 。当垂线 以单位速度向右移动时， 扫出面积矩形 ，变化率 ； 扫出面积 ，变化率 。由此得 这就是

13、说，面积 在点 处的变化率是曲线在该处的 值。这就是微积分基本定理。在牛顿以前，面积总被看成是无限小不可分量之和，而牛顿则从确定面积的变化率入手，通过反微分计算面积。面 积计算与求切线问题的互逆关系，在牛 顿这里被明确地作为一般规律揭示出来，并成了建立微积分普遍算法的基础。牛顿的正、反流数术亦即微分与积分，通过揭示它们互逆关系的所谓“ 微积分基本定理”统一为一个整体。正是在这样的意义下，我 们说牛顿发明了微积分。在流数简论中，牛顿还将他建立的统一算法应用于求曲线的切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等 问题中，展示了其算法极大的普遍性与系统性。流数简论标志着微积分的诞生，但它在许

14、多方面是不成熟的。所以，牛 顿对于自己的发现并未作太多宣扬。他在这一年10月当选为剑桥大学三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因为他在微积分方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的贡献。但从那时起直到1693大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微 积分论文：分析学（1669）、 流数法（1671）、求积术（1691）。它 们真实再现了牛顿创建微积分学说的思想历程。分析学借用无穷级数来计算流数、积分以及解方程，它体现了牛顿微积分与无穷级数紧密结合的特点。该文以无限小增量“瞬”为基本概念，尽管回避了流数简论中的运动学背景，但却将瞬看成是静止的无限小量

15、，有时直截了当令其为零，从而带上了浓厚的不可分量色彩。在流数法中，牛顿又恢复了其运动学观点，但 对以物体速度为原型的流数概微积分的发展史论文念作了进一步提炼。该文以清楚明白的流数语言，表述了微积分的基本问题。 求积术是牛顿最成熟的微积分著述。牛顿在其中检讨了自己以往随意忽略无限小瞬的做法，一改对无限小量的依赖，提出了 “首末比方法”，他举例说明自己的新方法如下：为了求 的流数，设 变为 ， 则变为 ，构成两变化的“ 最初比” ： ，然后“设增量 消逝，它们的最终比就是 ”，这也是 的流数与 的流数之比。这就是“首末比方法”，它相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，因而成为极限方法的先导。牛

16、顿对于发表自己的科学著作态度谨慎。上述三篇论文的发表都很晚，流数法甚至在他去世后才正式发表。牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著自然哲学的数学原理之中。因此该书也成为数学史上的划时代著作。自然哲学的数学原理被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就” 。全书从三条基本的力学定律出发，运用微积分工具， 严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律在内的一系列结论，并且 还将微积分应用于流体运动，声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一全新数学工具的威力。尽管牛顿发明微积分主要是依靠了高度归纳算法的能力，即“ 新分析法”，但自然哲学的数学原理中并没有明显的分析形式的微积分。相反，整部著作却以综合几何语言写成。就数学而言，这种披在微积分上的几何外衣，使牛顿的流数术显得僵硬呆板。18世纪的英国数学，正是由于固守牛顿的几何形式而未能得到应有的发展。2、莱布尼兹的微积分与牛