任意角的三角函数(一)

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1、4.3 任意角的三角函数（一）教学目的：1.理解并掌握任意角三角函数的定义.2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.教学重点：任意角三角函数的定义.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.内容分析：通过三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解. 通过对定义的剖析，使学生对正弦、余弦、正切函数的定义域有比较深刻的认识，达到突破难点之目的. 使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解.教

2、学过程：一、复习引入：1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数: cbsincaosat bt2.前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数.二、新课： 对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.1.设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点(,)Pxy则 P 与原点的距离 022yxyxr2比值 叫做 的正弦 记作：yrsin比值 叫做 的余弦 记作：rxxco比值 叫做 的正切 记作：yytan

3、比值 叫做 的余切 记作：xxcot比值 叫做 的正割 记作：r xrse比值 叫做 的余割 记作： yyc根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角 ，上述六个比值都不会随 点在 的终边上的位置的改变而改变.P当角 的终边在纵轴上时，即 时，终边上任意一点 的横坐标Z)(2kP都为 0，所以 tan 、sec 无意义；x当角 的终边在横轴上时，即 （ Z）时，终边上任意一点 的纵坐标都为 0，所以 cot 、csc 无意义，除此之外，对于确定的角 ，上面的六个比值都是y 惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上六种函数，

4、统称为三角函数.3.突出探究的几个问题： 角是“任意角” ，当=2k +(kZ)时，与 的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用三角函数是以“比值” 为函数值的函数0 xy240-510 而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.0r定义域：对于正弦函数 ，因为0，所以 恒有意义，即 取任意实数，rysinry恒有意义，也就是说 sin 恒有意义，所以正弦函数的定义域是 R；类似地可写出余弦ry函数的定义域；对于正切函数 ，因为 x0 时， 无意义，即 tan 无意义，又ytany当且仅当角 的终边

5、落在纵轴上时，才有 x0，所以当 的终边不在纵轴上时， 恒有xy意义，即 tan 恒有意义，所以正切函数的定义域是 .从而有)(2Zktancosiy)(2ZkRcseoty)(Zk4.注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与 x 轴的非负半轴重合.(2)OP 是角 的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角 是任意的.(3)sin 是个整体符号，不能认为是 “sin”与“ ”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样的比值叫做 的什么函数，并没有说 的终边在什么位置( 终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与 的终边位置无关

6、.(5)比值只与角的大小有关.(6)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. 即正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离， 正切函数值是纵坐标比横坐标，余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距离比横坐标，余割函数值是距离比纵坐标.(7)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一

7、象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与 x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.三、例题：例 1 已知角 的终边经过点 P(2，3)(如图) ，求 的六个三角函数值.解：x2， 3 1)(22r于是 3siny132cosrx23tax3ty1secr1csr例 2 求下列各角的六个三角函数值.(1)0 (2) (3) (4) 23解：(1)因为当 0 时，x ， 0，所以sin0=0 cos0=1 tan0=0 cot0 不存在sec0=1 csc0 不存在(2)因为当 时，x ， 0，所以sin0 cos1 tan0 cot 不存在sec1 csc 不存在(3)因为当

8、时，x0， ，所以23不存在 cos 1sin23tan023cot不存在 23sec123cs(4)当= 时 ,所以ryx0sin =1 cos =0 tan 不存在 cot =0 2222sec 不存在 csc =1例 3 填表： 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360弧度sincotgsec例 4 已知角的终边经过 P(4,3),求 2sin+cos的值已知角的终边经过 P(4a,3a),(a0)求 2sin+cos的值 解：由定义 ： sin= cos= 2sin+cos= 5r35452若 则 sin= cos= 2sin+cos= 0a若 则 s

9、in= cos= 2sin+cos=r535452例 5 求函数 的值域xytancos解： 定义域：cosx0 x 的终边不在 x 轴上 又tanx0 x 的终边不在 y 轴上当 x 是第象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=20,当 x 是第象限角时, |cosx|=cosx |tanx|=tanx y=2当 x 是第象限角时, |cosx|=cosx |tanx|=tanx y=0,yx当 x 是第象限角时, |cosx|=cosx |tanx|=-tanx y=00四、课堂练习：1.若点 P(3， )是角 终边上一点，且 ，则 的值是 .答案：32sin562

10、.角 的终边上一个点 P 的坐标为(5a,-12 a)(a0)，求 sin +2cos 的值. 解：依题意得：x=5a,y =-12a, |13)2()52r (1)当 a0 时，角 是第四象限角，则,5cos,13sinrxrysin +2cos =- ; 2(2)当 a0 时，角 是第二象限角，则 .135cos,132sinrxarycos +2cos = .132五、小结 本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类

11、比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到.六、课后作业：课本 P 习题已知角 的终边上一点 P 的坐标是（ x，2）( x0)，且 ，求 sin 和 tan 的值.3cosx分析： ，又 ，即 x3x42xrr3cos由于 x0， 3 x 2 49 x25，x .当 x 时，P 点的坐标是（ ，2）.55tan,3sinxyry当 x 时，P 点的坐标是（ ，2）5.5tan,32sinxyry答案：当 x= 时，52t,si当 x= 时， 5tan,32i七.课后记:4.3 任意角的三角函数（一）新课： 对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，

12、我们利用平面直角坐标系来进行研究.1.设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点(,)Pxy则 P 与原点的距离 022yxyxr2比值 叫做 的正弦 记作：yrsin比值 叫做 的余弦 记作：rxxco比值 叫做 的正切 记作：yytan比值 叫做 的余切 记作：xxcot比值 叫做 的正割 记作：rxrse比值 叫做 的余割 记作： yyc根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角 ，上述六个比值都不会随 点在 的终边上的位置的改变而改变.P当角 的终边在纵轴上时，即 时，终边上任意一点 的横坐标Z)(2kP都为 0，所以 tan 、sec 无意义；x当角 的终边在横轴上

13、时，即 （ Z）时，终边上任意一点 的纵坐标都为 0，所以 cot 、csc 无意义，除此之外，对于确定的角 ，上面的六个比值都是y惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上六种函数，统称为三角函数.3.突出探究的几个问题： 角是“任意角” ，当=2k +(kZ)时，与 的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用三角函数是以“比值” 为函数值的函数 而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.0r定义域：对于正弦函数 ，因为0，所以 恒有意义

14、，即 取任意实数，rysinry恒有意义，也就是说 sin 恒有意义，所以正弦函数的定义域是 R；类似地可写出余弦ry函数的定义域；对于正切函数 ，因为 x0 时， 无意义，即 tan 无意义，又ytany当且仅当角 的终边落在纵轴上时，才有 x0，所以当 的终边不在纵轴上时， 恒有xy意义，即 tan 恒有意义，所以正切函数的定义域是 .从而有)(2Zktancosiy)(2ZkRcseoty)(Zk4.注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与 x 轴的非负半轴重合.(2)OP 是角 的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角 是任意的.(3)sin 是个整体符号，不能认为是 “sin”与“ ”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样的比值叫做 的什么函数，并没有说 的终边在什么位置( 终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与 的终边位置无关.(5)比值只与角的大小有关.(6)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一