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1、数学与信息科学学院数学建模实训论文实训题目：降落伞的选购模型学生姓名、学号、专业班级指导教师：2014 年 12 月数学与信息科学学院数学建模实训论文2降落伞的选购模型摘要 近几年自然灾害频繁发生，因此得进行大规模的抢险救灾活动，例如汶川大地震。所以降落伞的选购是一个最大问题。选择合理的降落伞并使投资费用最少是值得我们考虑的问题。本题目就是关于降落伞的选购方案的最优化问题，目的是在满足空投要求的条件下，使费用最少，从而达到节约支出的目的。为了方便研究我们先进行受受力分析: 把降落伞和物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作
2、用，而由题可知空气阻力又与阻力系数(k)、加速度(a)、伞的受力面积(s)有关。运动速度(v)和受力面积(s)是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数(k)。为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体。可知物体 A只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。又由题可知空气阻力与降落速度v 和伞的受力面积 S 的乘积成正比。则物体 A 在竖直方向上受到的合外力为： kSvmgF合通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，然后以高度与时间的方程作为拟合曲线与题中给出的时间与高度的数据进行拟合，得出阻力系数 k 的值 k=2.9377
3、。我们建立了速度与质量的方程，并证明其为严格增函数（证明过程见建模与求解） 。由于题中已限制降落伞的最大落地速度为 20m/s，所以当速度为 20m/s 时，伞的承载量最大。建立高度与时间，速度与时间的方程组，代入最大速度 20m/s，高度 500m,伞的半径（题中已给出可能选购的每种伞的半径） 。伞面费用 C1、绳索费用 C2、固定费用C3。伞面费用由伞的半径 r 决定；绳索费用 C2由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的长度又由降落伞的半径决定即 ，则绳索费用为 ；固rL24*16r定费用为定值 ，总费用 最后运用 LINGO 软件进行线性规划求320321解得一共需要四个 n2=0，n
4、 2.5=0 ，n 3=1， n 3.5=1，n 4=2 最少总费用为 3682.34 元。关键字：最大承载量、线性规划、Matlab、数据拟合 数学与信息科学学院数学建模实训论文3一、问题的重述向灾区空投救灾物资共 2000 公斤，需选购一批降落伞。已知空投高度为 500 米，要求降落伞落地时的速度不能超过 20 米/秒。降落伞面是半径为 的半球面，用 16 根r每根长为 L 的绳索连接的载重 位于球心正下方球面处。每个降落伞的价格由三部分m组成。伞面费用 由伞的半径 决定，见表 1-1；绳索费用 由绳索总长度及单价 41Cr 2C元/米决定；固定费用 为 200 元。降落伞在降落过程中受到
5、的空气阻力，可以认为与3降落速度和伞面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径为 米、载重3r公斤的降落伞从 500 米高度做降落试验，测得各时刻 的高度 ，见表 1-2。试30m tx确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表 1-1 中选择） ，在满足空投要求的条件下，使得费用最低。表 1-1 降落伞的伞面费用半径 r（米） 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0伞面费用 （元）1C75 140 220 350 500表 1-2 降落试验测得的数据时刻 （秒）t0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30高度 （米）x500 470 425 372 317 26
6、4 215 160 108 55 1二、模型的假设1、空投物资的总数 2000kg 可以任意分割；2、假设空投物资的瞬时伞已打开；3、降落伞和绳的质量可以忽略不计；4、降落伞的落地速度不会超过 20m/s；5、空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关；6、假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用；7、每个降落伞载的物重都不会超过降落过程中的最大载重。三、符号说明空气阻力f阻力系数k半径为 的降落伞的最大载重)(rMr半径为 的降落伞的伞面面积rs数学与信息科学学院数学建模实训论文4时刻降落伞的下降高度tH时刻降落伞的下降速度v购买半径为 的降落伞数目rnr伞面费1C绳索费2固定费用3L 降落伞每
7、根绳索的长度降落伞的加速度a重力加速度 ,g2/8.9smg四、问题的分析由题意可知每个伞的价格由三部分组成：伞面费用 C1、绳索费用 C2、固定费用C3。伞面费用由伞的半径 r 决定；绳索费用 C2由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的长度又由降落伞的半径决定即 ，则绳索费用为 ；rL24*16r固定费用为定值 。因为题中已给出每种伞面的半径，所以每种伞的价格为320C定值。要想确定选购方案，即共需半径（在题中给出的半径中选择）为多大的伞的数量，在满足空投物资要求的条件下使总费用最少。因此，我们需要确定每种伞的最大承载量。然后进行线性规划，确定总费用最少和每种伞的个数。要确定最大载重量，我
8、们需对降落伞进行受力分析（如图 4.2） 。降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数(k)、运动速度(a)、伞的受力面积(s)有关。运动速度(v)和受力面积(s)是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数(k)。数学与信息科学学院数学建模实训论文5图 4.1 图 4.2对图 4.2 的分析可知降落伞的运动状态是做加速度趋近于 0 的加速运动。因此，我们可以建立一个位移与时间的函数关系式，在根据题中所给的数据拟合出阻力系数k 的值。然后再建立一个速度与时间的函数关系式，两个关系式联立求解出最大载重量（其
9、中高度和速度由题目已经给出） 。最后用 LINGO 软件进行线性规划算出问题要的结果。五、建模与求解（1）首先确定阻力系数 k为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体如图二。由假设 5 可知物体 A 只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。又由题可知空气阻力与降落速度 v 和伞的受力面积 S 的乘积成正比。则物体 A 在竖直方向上受到的合外力为： kSvmgF合由运动学方程 a合得 mkSvgF合由物体位移 H 和时间(t)的二次微分等于加速度建立方程得 kvtdH2用 MATLAB 解微分方程得(程序见附录 1) 22)( SkgmteSkgmtHtk则 220)(
10、ktekthtmkS题目已经给 t-h 数据为数学与信息科学学院数学建模实训论文6时刻 t（s） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30高度 h（m） 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1对给定的数据以 为拟合函数进行拟合， r=3m,m=300kg,g=9.8, ,得出)(t 2rSk=2.9377 。 （程序见附录 2）（2）求解最大承载量用速度对时间的微分等于加速度，且 v0=0 建立方程组得： mkSvgdt0用 MATLAB 解得(程序见附录 3) kSgmetvt)(数学与信息科学学院数学建模实训论文7由前面的 和 函数
11、建立方程组得)(tHvhHrSskgmeskgttvtkst502)( 22k=2.9377,g=9.8,r=2 2.5 3 3.5 4因为降落伞在下落过程中其质量是不变的，所以我们把 关系式中 t 看做一个定值，)(tv则关于 m 的方程为 kSgmevt)(从上式我们可以知道 是关于 m 的单调递增函数)(v证明过程如下由数学知识可知：函数的一阶导数大于零，则原函数是单调递增的。一阶导数小于零，则原函数是单调递减的。 kSgmevt)(对 求一阶导数得)(mv SkgmtekSgvtt)(由上式分析可知无法确定其是否大于零，在对其求二阶导数为 0)(32 mkStegtv则一阶导数为单调递
12、减函数，当 m 趋近于无穷大时对一阶导数求极限可知数学与信息科学学院数学建模实训论文80)(limkSgSgtekSmktt由此可得 0)(v则原函数是单调递增函数，即速度 v 和 m 是成正比关系的。又如果存在平衡状态则必须满足 ，那么 而又通过对ksgksgv分析，只有在 ，这与实际矛盾，故降mkstegstv)( mtt)(时 ， 才 有落伞是一直做加速度减小的加速运动，不存在平衡状态。因此，求最大载重量取伞在下降到地面的瞬间达到最大速度 ,此时 m，由方程组调用 MATLABsmtv/20)(50)(tH分别解得半径为 r 的降落伞在满足空投条件下的最大载重量 如下表（程序见附录)(r
13、M5）数学与信息科学学院数学建模实训论文9改变 r 的大小用 matlab 计算数学与信息科学学院数学建模实训论文10最后整理得表 5-1 不同半径降落伞的最大载重量r（m） 2 2.5 3 3.5 4最大承载（ kg）)(M151.0942 236.0847 339.9620 462.7260 604.3768（3）线性规划求解数量和费用由分析可知每种伞的单价 321C由题可知 为1C表 1-1 降落伞的伞面费用r（m） 2 2.5 3 3.5 4C1（元） 75 140 220 350 500为2 42162rC为固定值即330由以上数据求得每种伞的单价见下表表 5-2 购买不同半径的降落
14、伞的各需总费用mr2 2.5 3 3.5 4元2C181.12 22656271.36 316.80 36224456.12 566.56 691.36 866.80 1062.24我们设每种伞分别取 n2,n2.5,n3,n3.5,n4个,则其目标函数为22.533.54mi456.1691.680162.Cnnnns.t2.53.525,5415.09.0870.724780,.Zr 数学与信息科学学院数学建模实训论文11对其进行优化求解 C 的最小值，就是所需的最小费用。用LINGO求解得（程序见附件6）n2=0n2.5=0 n3=1 n3.5=1n4=2最少总费用为3682.34元。六
15、、模型的评价与推广优点：本模型的求解过程大量的运用了电脑软件，使得计算更加精确。缺点：1、本模型未考虑降落伞打开的时间，将其假设成在下降时伞就已经打开。2、由于在实际生活中降落伞还受到风向的影响，本模型假设的是理想的状态下（无风）推广：1、当降落伞的半径仍为 2m,2.5m,3m,3.5m,4m 五种时,其它条件不变,现在救灾物资很多,超过 3000kg 要求确定选购方案,则只需将其相应数据改为其它数据,如5000kg,9000kg 等,就可求出相应的选购方案及总费用.2、由于本模型假设的是在物资抛落的瞬时伞已打开，而在实际情况中物资抛落后应有一段自由落体运动。在模型的改进时应考虑到这一点，以便让模型更切合实际。七、参考文献1、郭高鹏.降落伞的选购问题 http:/ 2015-1-62、萧树铁主编.数学实验M.,北京：高等教育出版社，1999 7 13、许 波MATLAB 工程数学应用M 北京：清华大学出版社4、全国大学生数学建模竞赛组委会，全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编，北京：中国物价出版社，20025、谢金星，薛毅，优化建模与LINDO/LINGO 软件，北京：清华大学出版社，2005数学与信息科学学院数学建模实训论文12八、附录附
