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1、- 1 -图 2图 1函数的最大(小)值与导数及生活中的优化问题举例设计：高二数学组 时间：201312 学案编号：2012G2025班级 姓名 小组 【学习目标】理解函数的最大值和最小值的概念； 掌 握 用 导 数 求 函 数 最 值 的 方 法 和步骤.3.通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；4.培养学生数学知识的应用意识，应用导数, 解决生活中的优化问题。【重难点预测】重点：用 导 数 求 函 数 最 值 的 方 法 和步骤难点：应用导数解决生活中的优化问题。【使用说明】1.认真阅读教材，把重要的知识点画出来做好标记。2.先独立完成知识链接部分，合
2、作探究部分由小组讨论共同完成。3.展示学完后认真整理保存导学案。【知识链接】求可导函数 f(x)的极值的步骤: （1）确定函数的定义域；(2)求导数 f(x)； （3）求方程 f(x)=0 的根；（4）用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值.【合作探究】1.函数的最大（小）值 问题：观察在闭区间 上的函数 的图ba,)(xf象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢
3、？在图 1 中，在闭区间 上 的 最 大 值,是 ， 最 小 值 是 ； 在图 2 中，在闭区间 上的极大值是 ，极小值ba,是 ；最大值是 ，最小值是 .新知：一般地，在闭区间 上连续的函数ba,在 上必有最大值与最小值. )(xf,2.试试： 右图的极大值点为 ，极小值点为 ；最大值为 ，最小值为 .反思：（1）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的（2）函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的 )(xfba,)(xfba,- 2 -解决数学模型作答优化问题的答案优化问题建立数学模型条件（3）函 数 在 其 定 义 区 间 上
4、的 最 大 值 、 最 小 值 最 多 各 有 一 个 ， 而 函 数 的 极 值 可 能 不 止 一 个 ，可 能 一 个 没 有 .3.导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面（1）与几何有关的最值问题；2）与物理学有关的最值问题； （3）与经济中利润及其成本有关的最值问题；（4）效率最值问题。4.利用导数解决优化问题的基本思路：【范例讲解】例 1 求函数 的最大值与最小值.3()1,2,fxx小结：求最值的步骤（1）求 的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小()fx的值为最小值.例 2 函数 ，当 时， 恒成立，求实数
5、的取321()5fxx1,2()fxm值范围。变式：已知函数 在 上有最小值 .32()6fxxa,37（1）求实数 的值； （2）求 在 上的最大值a()f,- 3 -例 3 海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2，上、下两边各空 2dm，左、右两边各空 1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？例 4 用料最省优化问题圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为 h，底半径为 R例 5 利润优化问题已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数
6、关系式为 C=100+4q，价格 p 与产量 q 的函数关系式为 求产量 q 为何值时，利润 L 最大？p812【归纳整理，整体认识】- 4 -1.设函数 在 上连续，在 内可导，则求 在 上的最大值与最小)(xfba,(,)ab)(xfba,值的步骤2.利用导数解决优化问题的基本思路【达标测评】1. 若函数 在区间 上的最大值、最小值分别为 M、N，则 的3()fxa0,3 值为（ ）A2 B4 C18 D202. 函数 （ ）32()(1)fxxA有最大值但无最小值 B有最大值也有最小值C无最大值也无最小值 D无最大值但有最小值3. 已知函数 在区间 上的最大值为 ，则 等于（ ）23yx
7、,2a154aA B C D 或311234. 已知函数 ， （1）求 的单调区间；（2）若 在区间32()9fxxa()fx()fx上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值.2,5.在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？6.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 yx(单位：元 /千克)满足关系式 ，其中 ， 为常数，已知销26103xay63xa售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克求 的值；a 若该商品的成品为 3 元/千克, 试确定销售价格 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大x xxx6060- 5 -【学习反思】
