几何公理法简介

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1、1第 6 章 几何公理法简介6.3 第五公设问题6.3.1 普雷菲定理1795 年普雷菲提出一条跟欧氏第五公设等价的命题，它的直观明显性比第五公设好些，通称欧几里得几何平行公理：通过直线外一点有唯一直线与该线平行先证第五公设蕴涵平行公理设 为平面上一已知直线， 是不在 上的任一已知点，求证有唯一直线通过 而uMuM与 不相交作 于点 ，用 表示在 与 垂直的直线，则 不可能与 相交，否则MN Nu将构成一三角形，与外角定理矛盾平行线的存在性证明了再设 是通过u, 与 相异的任一直线，那么 必然在直线 的某一侧跟 组成锐角应用眼前的 u假设第五公设于两直线 及截线 ，可知 必与 在这一侧相交,M

2、Nu再证平行公理蕴涵第五公设设直线 被直线 所截，在 一侧的内角之和ba,c（ 表直角） ，d212从而另一侧内角和21通过 跟 的交点引直线 ，使其与 所成的角 满足acac21,dd2,112于是 ，所以 ，因为若 跟 相交，要得出与外角定理相矛盾的结1b ab果由假设通过 的交点只有一直线与 平行，所以与 相异的直线 必与 相交还ca, ab要证明 和 相交于 和 所在的一侧，这可从 以及外角定理立即得b21121d出6.3.2 萨开里的试证21733 年意大利数学家萨开里出版了名为免除一切污点的欧几里得 ，这里“欧几里得”指原本 在这里他对第五公设的试证工作发展得相当远，得到一系列结果

3、如果在关键的时刻他再推进一步，高斯、波里埃和罗巴切夫斯基的发现就可提前一世纪他的后继人也没做这样的工作似乎他的工作被人遗忘了后来意大利有名的数学家倍尔脱拉米（18351900 年）才指出，一般归之于勒戎得、罗巴切夫斯基、波里埃的一些定理，萨开里已发现过了他讨论一种四角形被称为“萨开里四角形” ，两下底角是直角，两侧边相等：.,dBADC定理 1 在四边形 中，若且 ，则.证明 我们只需取下底 的中垂线 为对称轴折叠即得KL由此推出 DCdKL,即是说：萨开里四角形两底中点的联线是两底的中垂线定理 2 设四边形 中 ，且 ，则 ABBADC证明 延长 至 使 ，则按定理 1 有C又在 应用外角定

4、理得 所以DCD萨开里关于他的四角形 曾做过三种假设： 锐角假设： ，于是推出 ，并且三角形的内角和小于二直dAB角 直角假设： ，于是推出 ，并且三角形的内角和等于二直角。 钝角假设： ，于是推出 ，并且三角形的内角和大于二直DCCD角由于推理步骤相似，我们只就锐角假设讨论定理 3 在锐角假设下有 AB证明 既然假设 ，d又由定理 1 LK于是鉴于定理 1 和蔼从四角形 得C.C故有 ，即 D2D定理 4 在锐角假设下，三角形的内角和小于两直角证明 由于一个三角形可分解成两个直角三角形，我们只须就直角三角形加以证明设在中， 如图作 并取 ，则 为萨开里四角形于是AB.dABCABD由锐角假设

5、和定理 3， 现在就 和 看，有两边相等而第三边不等，.所以 ，从而有(作图)d所以 A23萨开里证明过，只要在一个萨开里四角形中，上底角是直角，那么第五公设就成立他象所有数学家一样相信直角假设成立面另外两个假设必须抛弃他首先把钝角假设导致矛盾，所以只要将锐角假设也导致矛盾，那么第五公设就证明了他从锐角假设出发得出一系列属于罗巴切夫斯基几何的命题，尽管这些命题与我们的直观不相符，却找不到一个逻辑矛盾。但在一连串正确推理以后，他发现倘若锐角假设成立，那么无限地接近的两直线在无穷远点应有共同的垂线，他认为这是“与直线的本质抵触的 ”于是他认为第五证明了明白地，他本人也感到锐角假设的逻辑矛盾并未找到

6、，他重新回到证明它“自相矛盾”的问题为此，他用两种方法计算一条线段的长度，得到两个结果，他认为找到矛盾了实际是他计算中有错误6.3.3 勒戎得的试证勒戎得不仅在分析和力学方面有出名的工作，在几何方面也很有成就1794 年他的著作几何原理对后来的教科书有很大的影响他试证第五公设时讨论了三种互相排斥的假定：I三角形的内角和大于两直角，II三角形的内角和等于两直角，III三角形的内角和小于两直角他用正确的推理把第一个假定推向矛盾，若能把第三个假定也引向矛盾，那就证明了三角形内角和等于两直角同时也就证明了第五公设可惜在把第三个假定引向矛盾时，他自己不觉察用上一个与第五公设等价的命题定理 I 如果每个三

7、角形的内角和等于二直角，则第五公设成立证明 设每个三角形的内角和为二直角，又设 为一直线， 为其外一点。求证通过 只aAA有一直线与 不相交a作 于 ，并过 作直线 ，我们知道 与 不相交ABABa设 是通过 的任意直线，而 是 与线段 所成的锐角我们来证明直线 与直bb b线 相交在锐角所在的一侧为此，在直线 上锐角所在的一侧作点 使 再aa1BA在同一侧作 使 一般，作点 使 我们来观察三角形2B11AnB.1nA因为假设每个三角形的内角和为 ，所以在等腰 中，.,1nAL1顶点为 和 的内角都等于 由此推出 中顶点为 的内角等于 一般，在4212B.8中顶点为 的内角等于 因之nB1n.

8、n.21A既然设 为锐角，就有 ，其中 取 充分大，使0n12n于是有 BA4这样，直线 夹在 的边 和 中间，因此它与直线 应相交于点 与bnBAnBaB之间即是说，通过 只有直线 与 不相交证完nBa现在让我们回过来讨论三角形的内角和问题，并引进两符号设 为一三角形，则ACABCSDCBAS,)(分别称为这三角形的角和和角亏（亏值） 定理 II 在每个三角形 中， 0S因 之证明 设 的内角为 , , ,并设定理的反面成立：AB延长边 ，并在其上作 个三角形 ，使与1n 1221, nnCBCBL都合同以 表示角 ，则ABC.易见三角形 都合同，因之1221, nnCBLeC由于 和 有两

9、边分别相等而夹角不等，因之有 写出折线AB1 ec的长度大于封闭线段 ，得21nL1nABebacaeb或因 ,0c可见若定理 II 的反面成立，那么不论正整数 为何值总有neban与阿基米德公理抵触因此定理 II 得到反证注意：在此证法中用过阿基米德公理，曾无限延长一直线，因之在非阿基米德空间或空间不是无穷的，定理 II 就未必成立定理 III 只要有一个三角形的内角和等于二直角，那么每个三角形的内角和等于二直角先证几个引理引理 1 设 被截线 分为两个三角形，则它的角亏等于两个部分三角形的角亏之ABCP和事实上， ,1D5,2BPCD因之 2121A21ABCD引理 2 设 是 边 上的点

10、，则 的角亏不会超过 的角1,CBA, 1ABC亏事实上，由定理 II，三角形的角亏是大于或等于零的，于是由引理 1 得CBDD11,1A所以 1引理 3 设在两个直角三角形 和 中，直角边 和 分别大于直角边BCACB和 ，并设 的内角和为两直角，则 的内角和也等于两直角CAB移动 使 重合于 且 分别落在 上 处由引理 2，A,DD由假设 ，又由定理 II， 可见0ABC0CB.AS即引理 4 设有一个直角三角形内角和为二直角，则每个直角三角形的内角和都是二直角我们来讨论两个直角三角形 和 已知 的内角和为二直角，要证A内角和也是二直角如果前者两条直角边分别大于后者的直角边，则结论由引理C

11、BA3 立刻得到如果 至少有一条直角边短于 的直角边，则为了证明引理 4，ABCB我们可作出一个新的直角三角形使其内角和象 一样等于两直角，而它的直角边有充分大的长度这只要在 旁添加一个全等的 ，使斜边重合而所得的四边形对C边相等因 和 的内角和都等于两直角，显而易见四边形的内角都是直角于是移动就可用相等的矩形铺满平面容易知道图上用粗线表示的是矩形，用对角线分它成两个全等的直角三角形，它们的内角和都等于两直角这样的直角三角形的直角边，显然可以做到有适当的长度既然可以作出一个直角三角形，其内角和为二直角，而其直角边都大于 的直CBA角边，应用引理 3，可知随意取的直角三角形 的内角和等于两直角C

12、BA我们已可证明定理 III 了：只要有一个三角形它的内角和等于两直角，则每个三角形的内角和都是二直角6设有 和 ，已知 ，求证ABCABCS.CBAS作出两个三角形所有的高，其中至少各有一个顶点的高它的垂足落在对边上而不在边的延长线上分别取适当的记号，无妨设这样的顶点在 是 ，而在是 记所说的高为 和 按引理 2，P;ABCD由假设， 而定理 II， 所以得 ，即 ;0ABCD;0P0ABPDABPS既有了一个直角 其内角和为 ，按引理 4 有.,SS相加得 确立了定理 I-III，人们自然想方设法证明这样一个命题：有一个三角形存在，它的内角和等于二直角因为如果这样一个三角形找到了，按定理

13、III，每个三角形的内角和都是二直角，再应用定理 I，就证出第五公设了下面是这命题的一个错误的证明，请注意错在何处设有任一锐角 ，取其一边上一点 向另一边作垂线 由定理 II， 的内角OBBAOAB和不会超过二直角，即 我们要证明的是 0AD0D假如相反地 ，在边 上取点 使有 ，联 ，并在BO111作直线 的垂线此垂线与直线 的交点用 表示由引理 1，1AB.111 ADADO跟 合同，因此 ，而B OB.21再在已知角的边 上取点 使 ，在 引 的垂线，用 表示它与直OA211A22B线 的交点仿上得B42D继续如此，我们作出 满足nB.nnOA取充分大的 使 ，就得出 但三角形的角亏不可

14、能大于 所以2nOAD7反证了 由上所说，第五公设也就证明了OABSD,0这番议论的弱点在于：没有证明点 的存在而利用了它们！要证明这些 存在，不k kB利用第五公设是不行的6.3.4 第五公设的等价命题下面我们罗列一些命题，其中每一个都跟第五公设等价有一些是容易证明的，有的比较困难其中不少的命题就是历代数学家在试证第五公设时不知不觉引进来的，他们以为证明成功了，实质上只不过用了另一个命题替代了第五公设1、 通过直线外一点只能引唯一直线和它平行2、 两条平行线被第三线所截，同位角相等3、 在已知直线同侧与它有同样距离的点组成一直线4、 从两平行线中一条上的点到另一线的距离都相等5、 三角形的内角和等于两直角6、 相似三角形存在7、 一直线的垂线和斜线总相交8、 平面上存在一个内角和为的三角形