《历年浙江省高等数学(微积分)竞赛--工科类试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《历年浙江省高等数学(微积分)竞赛--工科类试题（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、104 年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）一 计算题（每小题 15 分，满分 60 分）1 计算： 。20coslimtan1xt xed解: 原式202cslitxtex02oslim2tanecxx x02slittxe0 233colitantxx x其中2 233330 00tttantalimlimlix xx22223 300001sectttn4lilililixxxx 原式 3 20 03ocosi1li li42xxe01csinsislim2xxe.0si1li42xx2 在课堂上作为一个典型的例子;30tansilimxx t()O2 计算： 。20cos
2、04xd解: 原式 20x22sin04dxt2222sin04xdtt2222104 4104tt 2221arctn0404t.2arct44其他想法: 原式 2 20oscos004xxdd3后者 2202cos()cos4()204xt tddtx , 看来做不下去了!20in04tt3 求函数 在2,415fxyy上的最大、小值。2,解: 在圆内(开集), , 解得驻点 , ,xfy,815yfx15(0)8但不在圆域内.在圆周上 , 求 的极242,4fyxy值, 是条件极值问题. 22,15(41)Fxy80x,y y241x解得: 驻点 (0,),(,1)9ff故最大值为 ,
3、最小值为 .()1(0,1)f4 计算： ，其中3maxDyd。,0y43max,Dyd1234DDxyd6这题不能用对称、奇偶性等性质来做！二 （本题满分 20 分） 设 ，求 .1tanxfxrc0nf解: , 则 ,21()fx2()(f则两边对 求 阶导数,由莱布尼茨公式得:n,2() (1)(2)(1 0nnfxffx令 ,得:0x,而 ,() (2)0nnff(),()ff则 .()12, ;()!,nf当 为 偶 数当 为 奇 数 2yx1D2xyo345三 （本题满分 20 分） 设椭圆 在 点的切线交2149xy3,2A轴于 点，设 为从 到 的直线段，试计算yBlAB。si
4、n3cosln131lydxyxdyx解: 方程 两边对 求导得:249, 0xy则 ,132x直线段 的方程为: l 23,01yxx令 ,sin(,)31Pxy,col23Qx则 , syxcos1Qyin3ln231l dxdyDBCA31203sin23 3dydxx.99lnsilnsi4224231,2ABlOxC6四 （本题满分 20 分） 设函数 连续， ，且 ，fab0bafxd试证明： ， 。0fx,ab证明: 01lim()nbiiadfx由于 , 故 , 无论 怎么分、 怎么取，ix,1,iix存在且相等， 即 ，01lim()niif01li()0niif由于 连续，
5、故 ， ；（理由说的不够充分）fx,ab假设存在 ，使得 ，不妨设 ，0,ab0fx0fx则 ，0,都 有由于函数 连续，故在 内存在最大、最小值分f0别为 ，显然 ，0,Mm0,而 与 矛盾，0 02bxafdfdm0bafxd故假设错误，即 ， 。fx,ab五 （本题满分 15 分） 判别级数 的敛散性。21!n解：斯特林公式： 2!2,0ne极限形式： .12limne72 2111!nnne 222211 1166!nnn nnneee故 收敛.21!n判别 的敛散性: 1!n证明: lim0n(1) 证明 , 即!3!n1) 当 , 显然成立;12) 假设 时也成立,即 ;n!n3)
6、 当 时, 1111333nnnn1!()!()nn1()3n而 是单调递增数列, 而且有界(证明两个重要极限里第 2 个).n(1)!8, 而 , 由夹逼定理得: .13!nlim0n1lim0!n,而 收敛, 由比较判别法得: 也收敛.29!n21n21!n六 （本题满分 15 分） 设函数 在 上连续，证明：fx0,， 。2211200fxddttt证明: 211122000f fxxttxt.112200arcnffddttt许瓦兹不等式:有限项情况: , 222111nnniiiabb0,12,iianL(乘积和的平方小于等于平方和的乘积)可推广到可数情况: ;222111iii均值
7、的形式: ;2()()E积分的形式: 2()()bbbaaafxgdfxdgx2005 年浙江省大学生高等数学( 微积分) 竞赛试题一、计算题（每小题 12 分满分散 60 分）1 计算 1|2|xd92 设 可导，求常数 的值ln(1),0()xfxab,ab3 计算 23limnn4 计算 sco4ixd5 求函数 的值。()|1|3|fx二、（本题满分 20 分）设 在 点二阶可导，且 ，()f00()lim1cosxf求 和 的值。(0),f0三、（本题满分 20 分）证明：当 时，2x3tan四、 （本题满分 20 分）设，2 22222(1sin)si10(sin), ,co4x
8、xAdBdCdx试比较 A， B， C 的大小。五、（本题满分 15 分）设 2221,3.kakkLL（1） 求 ；limk（2） 证明数列 单调减少。k六、（本题满分 15 分）对下列 分别说明是否存在一个区间 使(),fx,(0),ab，并说明理由。()|,|fxabab（1） （2） （3）2131()fx1()fx2005 年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题解答一1. 解12xd101122xdxd1122044.1522. 解： ，100limlinxxxf，ab因为 在 处连续，所以 ，f 1，0200lnlimixxffxf ，0011lilim2xxx由 在 处可导， ，fx
9、ff于是 .12a3. 解： .3lim26nn4. 解： ，sico4nxdsini34cos3inxABx，sxA11，430AB， ，25sin43cosin3co425ixxddx.lxC5. 解： 13fx当 时， ；04xx当 时， ；2f当 时， ；13x13当 时， .4fxx2解： ；00limlicos01sxxfx；00lilixxffff，002 21coslili1xxffx20ffff，210fxo所以 .3证明：令 ， ；31tanfxx0f12因为 ， ；221cosfxx0f， ；3inf f241sicoxfx224inisx， ，224sii0co,2所以
10、 ，进而 ， ，0fxfxf即得 ， .31tan24解： 22sinxAd221isx；0dx，220sinsincocoxBd由于 ，得 ，2i1sxBA，220in4Cdx2201sin4xd利用 ， ，si1,13得 ，2241010sin104xx于是 ，CA故 .B五、设 ， .201nkx,2L（1）求 ； （2）证明数列 单调减少.limnnx解：（1）显然221nx故有 .li0n（2）210kx，2222011nkknn21 2220 443nnkx2222114nnn，220于是数列 单调减少.nx6解：（1） ，在 上严格单调递增，213fx0,欲使 ，必有 ， .,f
11、abfafb考虑 ，23xx14，230x，21， ，1x2所以存在区间 ，使 .,1,2,f（3） 在 上严格单调减少，f0欲使 ，必有 ， .,abfabfa， ，1所以存在区间 ， ，使得 .1,a01,fa（4） 在 上严格递增，fx,欲使 ，,b必须 ， .fafb，1xx，2，此方程无实数解，134x故不存在区间 ， ，使得 .,ab0,fab2006 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题一、 计算题（每小题 12 分，满分 60 分）1、计算 .lim1nxne15解: xxnne1lim1limxnxne11li xnxnee xenxn1linxeexxnn1lim2 tetx1012lim1)l(li20120 ttext202)(lnlimttx202llitetxttx)1ln(li020。xe2、求 .481()d解: 4848242211()()()xxxdd24221()()dxx3112414ABCdx16131ln()lln()422xxC.lll8483、求 .210xyyedd解: 2 22111000x xy yy yededx221100xyeddx.222111000()xyed4、求过 且与曲面 的所有切平面皆垂直的平面方程.(,3)3()zxz解:令 ,Fxy则 , ,()1xz2(,)3()y
