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1、 1二次函数动点问题典型例题等腰三角形问题1. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx 的对称轴为 x= ，且经过点A（2 ，1 ） ，点 P 是抛物线上的动点，P 的横坐标为 m（0m2） ，过点 P 作 PBx 轴，垂足为 B，PB 交 OA 于点 C，点 O 关于直线 PB 的对称点为 D，连接 CD，AD，过点 A 作AEx 轴，垂足为 E（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）填空：用含 m 的式子表示点 C，D 的坐标：C（ ， ） ，D（ ， ） ；当 m=时， ACD 的周长最小；（3 ）若ACD 为等腰三角形，求出所有符合条件的点 P 的坐标面积最大1. 如图，抛物
2、线 y= x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0） ，C（0 ，2） （1 ）求抛物线的表达式；（2 ）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3 ）点 E 时线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标 22已知：如图，直线 y=3x+3 与 x 轴交于 C 点，与 y 轴交于 A
3、点，B 点在 x 轴上，OAB 是等腰直角三角形（1 ）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2 ）若直线 CDAB 交抛物线于 D 点，求 D 点的坐标；（3 ）若 P 点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么 PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标和 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由 33. （2015黔西南州） （第 26 题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90得到平行四边形 ABOC抛物线 y=x 2+2x+3经过点 A、C、 A三点（1 ）求 A、A、C 三点的坐标；（2 ）求平行四边形 ABOC
4、和平行四边形 ABOC重叠部分COD 的面积；（3 ）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点 M 在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并写出此时 M 的坐标最短路径1.（2014 绵阳）如图，抛物线 yax 2bxc（a0 ）的图象过点 M（ 2， ） ，顶点坐标为 N（1， ） ，且与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点（1 ）求抛物线的解析式； 4（2 ）点 P 为抛物线对称轴上的动点，当 PBC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；（3 ）在直线 AC 上是否存在一点 Q，使QBM 的周长最小？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由2. （2014泸州）如
5、图，已知一次函数 y1= x+b 的图象 l 与二次函数 y2=x2+mx+b 的图象 C都经过点 B（0，1 ）和点 C，且图象 C过点 A（2 ，0 ） （1 ）求二次函数的最大值；（2 ）设使 y2 y1 成立的 x 取值的所有整数和为 s，若 s 是关于 x 的方程=0 的根，求 a 的值；（3 ）若点 F、 G 在图象 C上，长度为 的线段 DE 在线段 BC 上移动，EF 与 DG 始终平行于 y 轴，当四边形 DEFG 的面积最大时，在 x 轴上求点 P，使 PD+PE 最小，求出点 P 的坐标 5平行四边形1. （2015贵州省贵阳,第 24 题 9 分）如图，经过点 C（0，
6、4）的抛物线y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于 A（2 ，0） ，B 两点（1 ） a 0，b 24ac 0 （填“ ”或“”） ；（2 ）若该抛物线关于直线 x=2 对称，求抛物线的函数表达式；（3 ）在（2 ）的条件下，连接 AC，E 是抛物线上一动点，过点 E 作 AC 的平行线交 x 轴于点 F是否存在这样的点 E，使得以 A，C，E，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由2. （14 分） （2015葫芦岛） （第 26 题）如图，直线 y= x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax2+
7、x+c 经过 B、C 两点 6（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）如图，点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当BEC 面积最大时，请求出点 E 的坐标和BEC 面积的最大值？（3 ）在（2 ）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M，连接 AM，点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由3.（2015辽宁抚顺） （第 26 题，14 分） ）已知，ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 点坐标为（6 ，0） ，B 点坐标为（4，0） ，点
8、 D 为 BC 的中点，点 E 为线段 AB 上一动点，连接 DE 经过点 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+8（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）如图，将BDE 以 DE 为轴翻 折，点 B 的对称点为点 G，当点 G 恰好落在抛物线的对称轴上时，求 G 点的坐标；（3 ）如图，当点 E 在线段 AB 上运动时，抛物线 y=ax2+bx+8 的对称轴上是否存在点 F，使得以 C、D、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 74.（2015梧州,第 26 题 12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与坐标轴交于 A、B
9、、C 三点，其中 B（4，0） 、 C（2，0） ，连接 AB、AC ，在第一象限内的抛物线上有一动点 D，过 D 作DEx 轴，垂足为 E，交 AB 于点 F（1 ）求此抛物线的解析式；（2 ）在 DE 上作点 G，使 G 点与 D 点关于 F 点对称，以 G 为圆心，GD 为半径作圆，当G 与其中一条坐标轴相切时，求 G 点的横坐标；（3 ）过 D 点作直线 DHAC 交 AB 于 H，当DHF 的面积最大时，在抛物线和直线 AB 上分别取 M、N 两点，并使 D、H 、M 、N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、 N 两点的横坐标 85. （2015甘南州第 28 题 12
10、分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+bx+c，经过 A（0，4） ，B（x 1，0） ，C（x 2，0 ）三点，且|x 2x1|=5（1 ）求 b，c 的值；（2 ）在抛物线上求一点 D，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形；（3 ）在抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求出点 P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由角度问题1. （2015宁德 第 24 题 14 分）已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，O 是坐标原点，点 A 的坐标是（ 1，0 ）
11、，点 C 的坐标是（0，3 ） （ 1）求抛物线的函数表达式；（2 ）求直线 BC 的函数表达式和ABC 的度数；（3 ） P 为线段 BC 上一点，连接 AC，AP，若ACB=PAB，求点 P 的坐标 9函数应用1. （2015广东茂名 23，8 分）某公司生产的某种产品每件成本为 40 元，经市场调查整理出如下信息：该产品 90 天内日销售量（m 件）与时间（第 x 天）满足一次函数关系，部分数据如下表：时间（第 x 天） 1 3 6 10 日销售量（m 件） 198 194 188 180 该产品 90 天内每天的销售价格与时间（第 x 天）的关系如下表：时间（第 x 天） 1x50 5
12、0x90销售价格（元/件） x+60 100 10（1 ）求 m 关于 x 的一次函数表达式；（2 ）设销售该产品每天利润为 y 元，请写出 y 关于 x 的函数表达式，并求出在 90 天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量（每件销售价格每件成本） 】（3 ）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于 5400 元，请直接写出结果 11相似三角形1. （2015辽宁铁岭） （第 26 题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+ 与 x轴交于 A（3，0） ，B（1，0）两点与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴对称（1 ）求抛物线的解析式，并直接写出点 D 的坐标；（2 ）如图 1，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 匀速运动，到达点 B时停止运动以 AP 为边作等边APQ（点 Q 在 x 轴上方） ，设点 P 在运动过程中，APQ与四边形 AOCD 重叠部分的面积为 S，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式；（3 ）如图 2，连接 AC，在第二象限内存在点 M，使得以 M、O、A 为顶点的三角形与AOC
