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1、项目类别 学科代码 编号A 110.2115江苏省高校自然科学研究计划项目申请书学 科 门 类： 数学项 目 名 称： 准素子群对有限群构造的影响申 请 者： 缪龙所 在 学 校： 扬州大学申 请 日 期： 2006 年 3 月江苏省教育厅制计划项目013 C 2 A 一般项目基础研究填 表 说 明1.填写申请书前，请认真查阅江苏省普通高校自然科学研究计划项目管理办法 ，申请书各项内容应实事求是，认真填写，表达要明确、严谨。外来语要同时用原文和中文表达。第一次出现的缩写词，须注出全称。2 “学科代码” ，请使用国家技术监督局于 1992 年 11 月 1 日发布的学科分类与代码 （GB/T13
2、745-92） 。3. 封面上的学科门类填该项目所属的一级学科， 简表上所属学科填该项目所属的学科领域，即三级学科，没有三级学科的填到二级学科。封面右上角的项目类别和学科代码与简表相同。4封面右上角的项目类别和学科代码由申请者填写。5 “项目名称”应简洁明了，字数不超过 25 个字。6申请书一律用 A 4 纸打印，左侧装订，一式三份。简表：项目名称 准素子群对有限群构造的影响项目类别 A A.一般项目 B.重点项目研究类别 AA.基础研究B.应用基础申请类型 AA.计划项目B.指导项目申请经费 5 万元2006 年 12 月项 目 概 况学科代码 110.2115 学科名称 群论 起止年限 2
3、008 年 12 月姓 名 缪龙 性别 男 出生年月 1976-07 身份证号 32082919760714301X专业技术职务 讲师 级别 中级 学历 研究 生 学位 博 士 民族 汉族申 请 人联系电话 0514-7951265 传真 0514-7975423 电子信箱 第一承担单位 扬州大学 所在院系 数学科学学院申请单位第二承担单位 第三承担单位总人数 高级 中级 初级 博士生 硕士生 总单位数2 1 1 0 0 0 1姓 名 职 称 身份证号 工作单位 项目分工 签名朱路进 副高 321002600121094 扬州大学 参与课题 2 的研究项 目 组 成 员主要参加人员（限 200
4、 字）在群论的诸多分支中，有限群论无论从理论本身还是从与其它数学分支的交叉来说都占据着更为突出的地位，而准素子群在有限群的研究中有着广泛的应用。本项目主要是结合群类群系理论，研究准素子群具有给定性质的有限群。首先，将利用准素子群的 F-s-可补性质研究某些局部群系的结构；其次，借助 M-可补子群对 Skiba 问题进行探讨，从而对有限群的结构作进一步的深入研究。主要研究内容及技术指标 主题词（不超过 3 个） 有限群 准素子群 补一、 立项依据（包括项目研究意义，国内外研究现状、水平和发展趋势，并附主要参考文献及出处）群论是代数学中的一个重要分支。它的丰富理论不仅在许多数学分支中起着重要作用,
5、而且在结晶学、理论物理、量子化学、代数编码学、计算机、自动控制等方面都有重要应用。群论研究的一个主要任务就是研究各种群的结构，每给出一种群的结构无论对于丰富群的理论还是对于相关学科的发展都是十分有益的工作。在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说都占据着更为突出的地位。同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支。在代数中与素数有关的对象扮演着非常重要的角色。例如,人们十分熟知的, 特征为p 的域上的线性空间本身是一个幂指数为 p 的交换 p-群, 这里 p 是一个素数。而由经典的Sylow 定理, 对于群阶的任一素因子 p, 每一个有限群都有一个任意可能阶的 p-子群
6、。130多年前发表的这一 Sylow 定理, 是长期以来有限群论的中心发展方向之一。 准素子群（阶为素数方幂的群）, 准素子群的正规化子和中心化子在有关寻找有限群的正规子群的Frobenius 定理, Burnside 定理, Glauberman 定理中被广泛应用。借助于 Sylow 2-子群, Brauer, Uolter, Gorenstein, Gilman, Janko,Mazurov, Seiskin 等许多数学家用它来刻画单群。同样, 准素子群和它的正规化子导致了群分析的局部理论, 该理论成为有限单群分类理论的基础。为了研究群的可解性, Sylow 对象同样起着十分重要的作用,
7、譬如, Feit 和 J.G.Thompson 在文献1中证明了如果群 G 的阶不被 2 整除,则 G 为可解群。一个子群 H 称为在 G 中可补的,如果存在一个子群 K,使得 G=HK 且 HK=1。作为可补的更一般性概念,群 G 的子群 H 称为在 G 中可补充,如果存在 G 的子群 K 满足 G=HK,此时 K称为 H 在 G 中的补充。众所周知,子群的可补性质对有限群的结构有着重要的影响。P.Hall 在文献2中证明了群 G 可解的充要条件是 G 的任意 Sylow 子群在 G 中可补。Kegel 在文献3-4中证明了如果群 G 的任意极大子群在群 G 中有循环补充或者群 G 的某个幂
8、零子群在 G 中有幂零补充,则 G 可解。对于超可解群类,Johnson 在文献5中得到如果群G 的任意本原子群在 G 中有准素补充,那么群 G 超可解。 Arad 和 Ward 在文献6中证明了群 G 可解当且仅当 G 的任意 Sylow 2-子群和 Sylow 3-子群在 G 中可补。近来,通过考察某些准素子群和极大子群的特殊的补,王燕鸣在文献7中定义了 c-正规子群,实质上是附加了嵌入条件的正规补,不妨称其为正规 c-补,得到了可解群的一些新的刻画; 随后,王燕鸣在文献8-9中又引进了子群 c-补的概念,并利用准素子群的 c-可补性研究了超可解群和 p-幂零群的结构; 郭秀云等人在文献1
9、0中通过对焦子群的极小子群的可补性质的研究,得到了 p-幂零群的一些结果。近来,王燕鸣等人在文献11中通过对可解正规子群的Fitting 子群的 Sylow 子群的极大子群和极小子群 c-可补性质的研究,得到了群的群系结构的一些结果;进一步,韦华全等人在文献12中取消了子群可解性的假设,考察广义Fitting 子群中准素子群的 c-可补性,推广了文献11中的结果。最近, 申请者在文献13中结合群系理论，给出了子群 F-s-补的概念，并利用这一新概念得到了超可解群和 p-幂零群的一些新结果。近来,国际著名的群论专家 A.N.Skiba 教授在The Kourovka Notebook 中提出如下
10、有关 Sylow 子群的极大子群是否有补的公开问题(参见文献14问题 15.81)：Let G be a finite nonsupersolvable group. Is it true that G has a noncyclic Sylow subgroup P such that some maximal subgroup of P has no proper supplement in G ?（若 G 是有限非超可解群，那么在群 G 中是否存在非循环的 Sylow 子群 P 满足 P 的某些极大子群在 G 中无真补？） 围绕这一问题， 韦华全等人在文献15中主要考察了 Sylow子群
11、的极大子群 c-可补的情形，同时研究了广义 Fittig 子群的极小子群的 c-可补性对有限群构造的影响。本项目主要是发展和利用准素子群的局部性质进一步深入和系统地研究具有给定补的有限群的结构和群的群系结构,并通过定义 M-可补子群等一系列补性质对 Skiba 问题作广泛而深入的研究，部分解决了 Skiba 问题。本项目所研究的课题均处于该领域的研究前沿，我们计划得到的一系列重要成果和进展对于群论以及相关理论学科的发展具有一定的意义。参考文献1 W.Feit and J.Thompson, Solvability of groups of odd order, Pacific J.Math,
12、13(1963),775-1029.2 P.Hall, A characteristic property of soluble groups, J. London Math. Soc., 12(2)(1937),188-200. 3 O.H.Kegel, On Hupperts characterization of finite supersoluble groups, Proc.Internat.Conf.Theory Groups, Canberra, 1965, New York, 1967, 209-215.4 O.H.Kegel, Produkte nilpotenter gru
13、ppen, Arch.Math.(Basel), 1961, 12, 90-93.5 D.L.Johnson , A note on supersoluble groups, Canad.J.Math. 1971, 23(3), 562-564.6 Z.Arad and M.B. Ward , New criteria for the solvability of finite groups, J.Algebra, 1982, 77, 234-246.7 Y. Wang , C-normality of groups and its properties, J.Algebra, 180(199
14、6), 954-965. 8 Y. Wang , Finite groups with some subgroups of Sylow subgroups c-supplemented, J.Algebra, 2000, 224, 467-478. 9 Y. Wang , C-supplemented subgroups of finite groups, Glasgow Math.J., 42(2000), 383-393.10 X. Guo and K. Shum , The influence of minimal subgroups of focal subgroups on the
15、structure of finite groups, J.Pure.Appl.Algebra, 169(1)(2002), 43-50.11 Y.Wang , H.Wei and Y.Li , A generalization of Kramers theorem and its applications, Bull . Austral . Math .Soc., 65 , 2002 , 467-475 . 12 Wei, Huaquan; Wang, Yanming; Li, Yangming On c-supplemented maximal and minimal subgroups
16、of Sylow subgroups of finite groups. Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004), no. 8, 2197-220413 L.Miao and W.Guo, Finite groups with some primary subgroups F-s-supplemented, Comm.Algebra, 33(8) (2005),2789-2800.14 Mazurov V D, Khukhro E I. Unsolved Problem in Group Theory. The Kourovka Notebook, No 15. Novosibirsk, 2002.15 韦华全，王燕鸣. Skiba 的一个未解决问题,中国科学 A 数
