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1、解直角三角形经典习题一、选择题1.（2014 孝感，第 8 题 3 分）如图，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交成的锐角为，若 AC=a，BD= b，则ABCD 的面积是（）A absin B absin C abcos D abcos2. （2014 泰州，第 6 题，3 分）如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A 1， 2，3 B 1， 1， C 1， 1， D 1， 2，3. （2014 扬州，第 8 题，3 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD
2、=60，点 M、N 分别在 AB、 AD 边上，若 AM：MB=AN：ND=1：2，则tanMCN=（）A B C D 24.（2014滨州，第 11 题 3 分）在 RtACB 中，C=90，AB=10，sinA = ，cosA= ，tanA= ，则 BC 的长为（ ）A6 B 7.5 C 8 D12.55.（2014 德州，第 7 题 3 分）如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为 12 米，斜面坡度为 1：2，则斜坡 AB 的长为（）A 4 米 B 6 米 C 12 米 D 24 米二.填空题1 （ 2014新疆，第 13 题 5 分）如图，在 RtABC 中，C=90 ，B =
3、37，BC=32，则 AC= （参考数据：sin 370.60，cos 370.80，tan370.75）2 （ 2014舟山，第 12 题 4 分）如图，在地面上的点 A 处测得树顶 B 的仰角为 度，AC=7 米，则树高 BC 为 米（用含 的代数式表示） 3 （ 2014浙江宁波，第 17 题 4 分）为解决停车难的问题，在如图一段长 56 米的路段开辟停车位，每个车位是长 5米宽 2.2 米的矩形，矩形的边与路的边缘成 45角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位 （1.4）4. （2014 株洲，第 13 题，3 分） 孔明同学在距某电视塔塔底水平距离 500 米处，看塔顶的仰角
4、为 20（不考虑身高因素） ，则此塔高约为 米（结果保留整数，参考数据：sin200.3420，sin 700.9397，tan200.3640，tan 702.7475） 5. （2014 泰州，第 16 题，3 分）如图，正方向 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点，DAE =30，M 为 AE 的中点，过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q 若PQ=AE，则 AP 等于1 或 2cm6.（2014 济宁，第 12 题 3 分）如图，在ABC 中，A=30 ，B =45，AC= ，则 AB 的长为 三.解答题1. （ 2014安徽省,第 18 题 8 分）如图，
5、在同一平面内，两条平行高速公路 l1 和 l2 间有一条“Z”型道路连通，其中 AB 段与高速公路 l1 成 30角，长为 20km；BC 段与AB、 CD 段都垂直，长为 10km，CD 段长为 30km，求两高速公路间的距离_（结果保留根号） 2. （ 2014广东，第 20 题 7 分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30，然后沿 AD 方向前行 10m，到达 B 点，在B 处测得树顶 C 的仰角高度为 60（A 、B、D 三点在同一直线上） 请你根据他们测量数据计算这棵树 CD 的高度（结果精确到 0.1m） （参考数据：1.4
6、14， 1.732）3. （ 2014珠海，第 17 题 7 分）如图，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东 45方向、距离小岛 180 海里的 A 处，渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东 60方向的 B 处 （1）求渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离（结果用根号表示） ；（2）若渔船以 20 海里/小时的速度从 B 沿 BM 方向行驶，求渔船从 B 到达小岛 M 的航行时间（结果精确到 0.1 小时） （参考数据：1.41， 1.73， 2.45）4. （ 2014广西贺州，第 24 题 8 分）如图，一艘海轮在 A 点时测得灯塔 C 在它的北偏东
7、42方向上，它沿正东方向航行 80 海里后到达 B 处，此时灯塔 C 在它的北偏西55方向上 （1）求海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离（结果精确到 0.1） ；（2）求海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离（结果保留整数） （参考数据：sin 550.819，cos55 0.574，tan 551.428，tan42 0.900，tan 350.700，tan48 1.111）5 (2014 年四川资阳，第 19 题 8 分) 如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为 A，某人在岸边的 B 处测得 A 在 B 的北偏东 30的方向上，然后沿岸边直行 4 公里到达 C 处，再次测得 A在
8、C 的北偏西 45的方向上（其中 A、B、C 在同一平面上） 求这个标志性建筑物底部 A 到岸边 BC 的最短距离6 (2014 年天津市，第 22 题 10 分)解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁（）如图，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度 AB 等于 47m，从 AB 的中点 C处开启，则 AC 开启至 AC的位置时，AC的长为 m；（）如图，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长 PQ，在观景平台 M 处测得PMQ=54 ，沿河岸 MQ 前行，在观景平台 N 处测得PNQ=73，已知PQMQ，MN=40 m，求解放桥的全长 PQ（tan54 1.4， tan733
9、.3，结果保留整数）7 （ 2014 年云南省，第 21 题 6 分）如图，小明在 M处用高 1 米（DM=1 米）的测角仪测得旗杆 AB 的顶端B 的仰角为 30，再向旗杆方向前进 10 米到 F 处，又测得旗杆顶端 B 的仰角为 60，请求出旗杆 AB 的高度（取 1.73，结果保留整数）8 （ 2014四川自贡，第 18 题 8 分）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑 2.7 米的 A 处自 B 点看雕塑头顶 D 的仰角为 45，看雕塑底部 C 的仰角为30，求塑像 CD 的高度 （最后结果精确到 0.1 米，参考数据： ）9 （ 2014云南昆明，第 20 题 6 分）
10、如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD 的高度，在地面 A 处放置高度为 1.5 米的测角仪 AB，测得旗杆顶端 D 的仰角为 32，AC为 22 米，求旗杆 CD 的高度.（结果精确到 0.1米.参考数据：sin 32= 0.53， cos32= 0.85， 图20图DCBA32tan32= 0.62）10 （ 2014浙江宁波，第 21 题 8 分）如图，从 A 地到 B 地的公路需经过 C 地，图中AC=10 千米，CAB=25，CBA=37，因城市规划的需要，将在 A、B 两地之间修建一条笔直的公路（1 ）求改直的公路 AB 的长；（2 ） 问公路改直后比原来缩短了多少千米？（
11、sin250.42，cos250.91，sin370.60，tan370.75）11. （2014益阳，第 18 题，8 分） “中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端位于A、B 两点，小张为了测量 A、B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据：BAD=76.1，BCA=68.2，CD=82 米求 AB 的长（精确到 0.1 米）参考数据：sin76.10.97， cos76.10.24，tan76.14.0 ；sin68.20.93， cos68.20.37，tan68.22.5 （第 1 题
12、图）12. （201 4益阳，第 21 题，12 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB CD，AD AB，B=60，AB=10，BC=4，点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设AP=x（1 ）求 AD 的长；（2 ）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由；（3 ）设ADP 与PCB 的外接圆的面积分别为 S1、S 2，若 S=S1+S2，求 S 的最小值（第 2 题图）13. （2014株洲，第 17 题，4 分）计算： +（ 3 ） 0tan4514. （2014株洲，第
13、22 题，8 分）如图，在 RtABC 中，C =90，A 的平分线交BC 于点 E，EFAB 于点 F，点 F 恰好是 AB 的一个三等分点（AFBF） （1 ）求证：ACE AFE；（2 ）求 tanCAE 的值15. （2014株洲，第 23 题，8 分）如图，PQ 为圆 O 的直径，点 B 在线段 PQ 的延长线上，OQ =QB=1，动点 A 在圆 O 的上半圆运动（含 P、Q 两点） ，以线段 AB 为边向上作等边三角形 ABC（1 ）当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，求ABC 的面积（图 1） ；（2 ）设AOB= ，当线段 AB、与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时，
14、求 的范围（图 2，直接写出答案） ；（3 ）当线段 AB 与圆 O 有两个公共点 A、M 时，如果 AOPM 于点 N，求 CM 的长度（图 3） （第 5 题图）16 （ 2014 年江苏南京，第 23 题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为 O）的墙上，当梯子位于 AB 位置时，它与地面所成的角ABO=60；当梯子底端向右滑动1m（即 BD=1m）到达 CD 位置时，它与地面所成的角 CDO=5118，求梯子的长（参考数据：sin 51180.780，cos51 180.625，tan 51181.248）考点：解直角三角形的应用17. （2014泰州，第 22 题，10 分）图、分别是
15、某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板 CD 长为 1.6m， CD 与地面 DE 的夹角CDE 为 12，支架 AC 长为0.8m，ACD 为 80，求跑步机手柄的一端 A 的高度 h（精确到 0.1m） （参考数据：sin 12=cos780.21，sin68= cos220.93，tan682.48）18 （ 2014呼和浩特，第 18 题 6 分）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东45方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）
