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1、1DVD 在线租赁的数学研究摘要：本文主要研究在线 DVD 的租赁问题。通过分析会员订单和网站的 DVD 拥有量，对现实问题进行简化。历史数据显示，60%的会员每月租赁 2 次，另外 40%的会员每月租赁1 次,考虑极限，得出一定时限内至少满足部分会员 DVD 需求量的模型：（1）40%()/*xjjPabQn问题（二）为了合理分配网站现有 DVD，使会员获得最大满意度。 我们根据每个会员对 的偏爱程度量化出每个会员对 的满意度。然后，根据 0-1 规划建立一jDVjDV个求最大满意度的线性规划模型：目标函数： max102ijiZkx约束条件： =(1,2,100), =(1,2,20) （
2、2）2013ijk j01ijjd或 ijk问题（三） 首先考虑，让所有会员都得到其满意度最高的 3 张 DVD，由此可以得到一种 的购买方案。 因题意要求 95%的会员得到他想看的 DVD，故合理预测需要 285jDV张 DVD，假设会员对各种 DVD 的满意度之比与 DVD 需购数量之比一致，可得到 的jDV预测购买量；对这两组数据进行比较，排除对满意度影响最小的 5 人，以满足题目对95%的要求；，根据数据的统计结果得到：编号为C0007，C0021，C0032，C0048，C0066 的会员排除后对满意度影响最小。然后根据预测的每种 DVD 的数量和余下的 95 名会员对 的满意度，由
3、模型（2）得到满意度最大jDV时 的分配方案。jDV我们在分析问题建立模型时，采用极限值的方法把实际问题给予简化，使得解题思路比较清晰，能够更好的考虑 DVD 的实际分配问题。采用线性规划的方法得出 01规划的优化模型，使得实际问题简单化，程序化，便于得到最优方案。本文模型是用来解决 DVD 的现实租赁问题，适合大部分的网上在线交易，还可推广应用到婚介所结婚对象的搭配上，工业企业的产销平衡上等方面。2问题重述顾客缴纳一定数量的月费成为网站会员，可以订购 DVD 租赁服务。会员对哪些 DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张基于其偏爱程度排序的
4、 DVD。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD。会员看完 3张 DVD 之后，只需要将 DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担） ，就可以继续下次租赁。考虑回答下面问题：1）网站准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。假设网站现有 10 万个会员，对表 1 中的每种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该D
5、VD？如果要求保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD 呢？2）表 2 中列出了网站手上 20 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 100 位会员的在线订单，如何对这些 DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前 30 位会员（即 C0001C0030）分别获得哪些 DVD。3）继续考虑表 2，并假设表 2 中 DVD 的现有数量全部为 0。如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配，才能使一个月内 95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大符号说明:愿意观看 的人数j=1,2,3,4,5;jajDV:每月内能够看到 的人数占希望看到该
6、总人数的百分比;xpj jDV:网站应准备 的数量；jQj:会员总数与接受调查的会员人数的比例；jb:会员能够看到 的时限，单位（月） ；njDV:会员 i 对 的偏爱程度；ijxj：网站现有 DVD 数量；jd：网站对 DVD 的购买总量jB模型假设1租赁周期为一个月，每月租两次的会员可以在月中再租赁一次；2一张 DVD 每人只租赁一次；3DVD 在租赁过程中无损坏；34. 会员 每月至少交一次订单；5会员每张订单只能租赁一次；6月底 DVD 全部收回，继续下个周期的租赁； 7不愿意观看 的会员不会租赁 ；jDVjDV8. 假设会员对各种 DVD 的满意度之比与 DVD 需购数量之比一致。模
7、型建立与求解问题（一）：对每种 DVD，要做到既保证希望看到 的会员中至少有 的会员在一月内能jDVxp够看到该 ，又使网站的 准备量最少。由于每张 DVD 每月被租赁 2 次的概率jDVj是 60%，每张 DVD 每月被租赁 1 次的概率是 40%，而月初无法确定哪些会员会租赁 1 次或 2 次。于是会出现下面两种极端方案和界于二者之间的情况；方案（一） ，全部满足每月租赁 2 次的会员，部分满足每月租赁 1 次的会员；方案（二） ，全部满足每月租赁 1 次的会员，部分满足每月租赁 2 次的会员。如果用方案（一）确定 的准备量，可能会出现每月租赁 1 次的会员同时租赁jDV同一种 DVD。那
8、麽，网站的 DVD 就会供不应求。而方案（二）则综合考虑了会员的最低需求量和网站的最低成本。如果按网站租赁情况出现界于二者之间的情况来考虑，则会出现网站成本降低而满足不了会员的需求量而导致会员的满意度降低，或者满足会员的 DVD 需求量却使得网站的成本过高，造成资源浪费。 因此根据方案（二）建立模型为： （1）40%()/2*xjjPabQn模型求解由模型（1）和题中所给数据计算可以得到： 当保证希望看到 的会员中至少有 50%在一个月内能能够看到该 时：jDV jDV1234590,450,2,1,40QQQ当保证在三个月内至少 95%的会员能看到 时：jDV12345450,125,63,
9、2问题（二）问题分析：题中列出了网站手上 20 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 100 位会员的在线订单，要得到使会员获得最大满意度的 DVD 分配方案，这可以通过建立线形规划模型来实现。由于每个会员对不同 DVD 的偏爱程度不同，且题中所给的列表中会员的在线订单中数字越小表示会员的偏爱程度越高。由于每个会员可以按偏爱程度在 20 种4DVD 中依次列出 9 种想要观看的 DVD。为方便求最大满意度，我们根据每个会员对的偏爱程度量化出每个会员对 的满意度：偏爱程度为 1 的满意度为 9，偏jDVjDV爱程度为 2 的满意度为 8，偏爱程度为 3 的满意度为 7，偏爱程度为 4 的满意度
10、为 6，偏爱程度为 5 的满意度为 5，偏爱程度为 6 的满意度为 4，偏爱程度为 7 的满意度为3，偏爱程度为 8 的满意度为 2，偏爱程度为 9 的满意度为 1，且规定偏爱程度为 0 的满意度为 0，由此得出 每个会员对 的满意度列表（见附表 1） 。由于每个队员在j一次订单中只能获得 3 张 DVD，而网站提供的各种 DVD 数量不同，由 0-1 规划建立模型：max102ijiZkx约束条件： = (1,2,100), =(1,2,20) 2013ij i j（2）10ijjkd或 1ij根据模型（2）和满意度列表，利用数学软件 LINGD 求解可得会员最大满意度是Z=2360（源程序
11、附后） ，前 30 位会员的 DVD 分配方案如下表会员号 C0001 C0002 C0003 C0004 C0005DVD 号 D003，D008，D016 D001 D013，D014，D017 D011，D012，D019 D013，D015，D019会员号 C0006 C0007 C0008 C0009 C0010DVD 号 D012，D015，D016 D004，D007，D008 D013 D002，D003，D015 D010，D012，D018会员号 COO11 C0012 C0013 C0014 C0015DVD 号 D008，D010，D013 D011，D014，D019
12、 D009，D013，D019 D016，D017 D007，D009，D017会员号 C0016 C0017 C0018 C0019 C0020DVD 号 D001，D008，D009 D001，D004，D017 D007，D011，D018 D008，D015，D017 D006，D009，D020会员号 C0021 C0022 C0023 C0024 C0025DVD 号 D009，D013，D015 D003，D007，D011 D002，D012，D013 D008，D011，D013 D015，D017，D019会员号 C0026 C0027 C0028 C0029 C0030D
13、VD 号 D003，D008，D016 D002，D006，D010 D005，D007，D009 D008，D013，D020 D003，D009，D0175问题（三）问题分析：问题三是在已知会员对 的满意度的基础上，制定 的购买量及分jDVjDV配方案，使得一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且使会员总的满意度最大。可以看做是对问题二的进一步推广，在问题二所建的模型的基础上进行改进。为使网站成本最低，既 DVD 的购买量最少，可以考虑一种临界状况。如果所有会员都能得到希望看的 DVD，则可考虑为每月只借 1 次的会员都借到希望看的 DVD，每月借 2次的会员上半月对 的需求情况与
14、下半月对 的需求情况相同。在这种情况下jDVjDV只须考虑当月一份订单的分配就可以了。首先考虑让所有会员都得到满意度最高的 3 张 DVD，由此可以得到一种 的购jDV买方案（三） 。由于每个会员 1 次可以获得 3 张 DVD。在此基础上，100 位会员至少需要 300 张 DVD，每种 DVD 的购买量即表（1） 。表（1）DVD 编号 D001 D002 D003 D004 D005购买量 18 10 17 15 11DVD 编号 D006 D007 D008 D009 D010购买量 19 15 17 20 16DVD 编号 D011 D012 D013 D014 D015购买量 16
15、 16 16 12 17DVD 编号 D016 D017 D018 D019 D020购买量 10 16 15 17 7但是，考虑到现实生活中不可能 100%满足，所以该网站要使 一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD 就可以了。因此可以简化为 5%的会员得不到想看的 DVD，在这种情况下可以得到一种临界状况即每月只借 1 次的 40%的会员中有 5%借不到，此时又可使网站少购买 15 张 DVD，即网站只须购买 95%*100*3=285 张 DVD 就能满足最低需求。jB下面考虑满足需求的 285 张 DVD 应分别属于哪种 DVD 才使得总的满意度最大。因为会员对 的满意度之比应与对
16、 的需求量之比相一致，所以可以根据问题二中jDVjDV的每个会员对 的满意度列表得出会员对 总的满意度，由此可以得出j j的满意度之比，依此比例为基准来合理分配 285 张 DVD。得出预测购买方案（三）j模型：（3）1021*ijjjijixBQ模型求解： 由模型（3）利用 MAPLE9 软件预测出每种 DVD 的购买量即表（2） 。表（2）6DVD 编号 D001 D002 D003 D004 D005购买量 17 12 16 12 12DVD 编号 D006 D007 D008 D009 D010购买量 16 14 16 15 16DVD 编号 D011 D012 D013 D014 D015购买量 15 14 14 14 16DVD 编号 D
