伴随矩阵新求法1

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1、漳州师范学院毕业论文浅谈伴随矩阵的求法Some calculation methods of adjoint matrix姓 名： 徐平坤 学 号： 080402124 系 别： 数学与信息科学系 专 业： 信息与计算科学 年 级： 08 级 指导教师： 宋子婷 2012 年 1 月 4 日I摘要本文介绍了伴随矩阵的一些性质和伴随矩阵的两种求法，并给出了一些特殊矩阵的伴随矩阵。关键词：伴随矩阵；可逆矩阵；特殊矩阵AbstractThis paper introduces some properties of the adjoint matrix and two kinds of calcula

2、tion mathods of adjoint matrix here, and gives some special matrixess adjiont matrix.Key words: adjiont matrix；invetrible matrix；special matrix目 录中英文摘要（I） 1引言(1)2 伴随矩阵的定义及其性质（1）2.1 伴随矩阵的定义（1）2.2 伴随矩阵的性质（1）3 伴随矩阵的求法（2）3.1 随矩阵的定义求法（2）3.2 可逆矩阵的伴随矩阵的另一种求法（2）4 一些特殊矩阵的伴随矩阵（4）4.1 对角矩阵的伴随矩阵（4）4.2 上三角矩阵的伴随矩阵

3、（4）4.3 对角分块矩阵的伴随矩阵（5）5 参考文献（7）6 致谢（8）11引言伴随矩阵作为矩阵知识的一部分，怎样求得伴随矩阵的方法才是最简单正确的求法一直是人们研究伴随矩阵的内容之一。本文讲述了伴随矩阵的一些性质以及伴随矩阵的求法。我们经常用定义的方法来求矩阵的伴随矩阵，但是这种伴随矩阵求法要计算出 个 阶行列式。当 取值比较大时，计算将是非常繁琐的。在这里给出了求2n1n可逆矩阵的伴随矩阵的方法，这种方法运用到了矩阵的一些性质以及初等变换。这种方法针对的都是可逆矩阵，具有一定的限制性。但是这种方法与用定义求伴随矩阵来说计算量相对比较小。所以当我们遇到可逆矩阵时可以用这种方法来求其伴随矩阵

4、。2.伴随矩阵的定义及其性质2.1伴随矩阵的定义定 义 1 在 行 列 式 中 划 去 元 素 的 第 行 和 第 列 ， 剩 下 的 个 元 素 按 原detijaijaj21n来 的 排 法 构 成 一 个 级 的 行 列 式 成 为 元 素 的 余 子 式 ， 记 为 ，1nij ijM称 为 元 素 的 代 数 余 子 式 .ijijiAMij定义 2 设 为 阶方阵，设 是行列式 中元素 a 的代数余子式，则矩ijAdetijij阵 称为 的伴随矩阵。11*.:.nnA2.2 伴随矩阵的性质性质 1 *E性质 2 可逆当且仅当 可逆*A性质 3 若 可逆时， 12性质 4 1*nA性

5、质 5 若 可逆时，则 *11A性质 6 ，*,0,1nR若若若性质 7 2*,nA若若3伴随矩阵的求法3.1伴随矩阵的定义求法为 阶方阵 的每个元素 a 的代数余子式，例子如下：ijAnijnaij例 1 矩阵 求矩阵 的 ,求矩阵 的伴随矩阵 ,A142805A*解：由矩阵 可得,， ，11285A1212， ,13130 212145A, ,2245A3230, ,313108232148A,33A因为 ,于是可得 的伴随矩阵1231*3=AA*2105433.2伴随矩阵的另一种求法由矩阵的初等变换理论可知，若 阶方阵 可逆，则可通过对其初等行变换求 ,nA1A即 ,据此可有下面定理。1

6、AEA 初 等 变 换定理 1 设 为 阶可逆方阵，作 的矩阵 ，用初等行变换将它的左边n21E一半化成 ，则右边一半就是 .*证明 由初等行变换理论可知，若 可逆，则有A11EA 初 等 变 换又 11*A因此 *EA 初 等 变 换结论成立。现在用此定理计算例 1：解： ,故 可逆。428005AA211410005rE 32 124014100r r 324205401r 4由定理 1 可知 *21054A得出的结果与用定义求得结果相同，进一步的证明了定理 1 的正确性。通过两种方法的对比，我们可以看出定理 1 方法比定义求法来的简便。4一些特殊矩阵的伴随矩阵4.1对角矩阵的伴随矩阵性质

7、：对角矩阵的伴随矩阵也是对角矩阵即设 ， ，, , 为 的伴随矩阵（ ）则1=ijnAa2ijmbkijlAd*iiA1,2.ik，其*231*2 32*1210.0.00.:.:.:.kk kAA 中 是 的行列式，下面举例验证这一性质.iA(1,)i例 2 求对角矩阵 的伴随矩阵025*A解: ，故 可逆。105A1230,50010121 52rrE 由定理 1 可知对角矩阵 的伴随矩阵 ，由此可知对角矩阵的伴随矩阵A*052还是对角矩阵4.2上三角矩阵的伴随矩阵性质:上三角矩阵的伴随矩阵也是上三角矩阵即设 ， ， ， ， ， ，则ijmAaijmnBb=ijmkCcijnDdijnkE

8、eijklFf5*00ABCDFABAFDEFCE .下面举例验证这一性质.例 3 上三角矩阵 的伴随矩阵 .1230A*A解： ，故 可逆12013 2301102120r r 则由定理 1 可知 ，由此可知上三角可逆矩阵的伴随矩阵也是上三角*120A矩阵4.3对角分块矩阵的伴随矩阵性质：对角分块矩阵的伴随矩阵也是对角分块矩阵即设 , 为 阶方阵， ， 分别为 , 的伴随矩阵，分块矩阵 ，则ABn*AB 0ACB的伴随矩阵 ,C*0下面举例验证这一性质.例 4 对角分块矩阵 的伴随矩阵1203A1230012012rAE 6解： ,故 可逆。12013AA21432000101133rEA

9、21234 4100012013 31rr 由定理 1 可知下三角矩阵 的伴随矩阵 ，由此可知分块可逆矩A*0131阵还是分块矩阵7参考文献 ：1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版） M，高等教育出版社，2003.7.2同济大学数学教研室.高等数学（第三版）M 上册.北京. 高等教育出版社， 1992.3复旦大学数学系.数学分析（第二版）M 上册.北京.高等教育出版社 ,1986.4东师范大学数学系.数学分析（第二版）M 上册.北京.高等教育出版社，1992.5林磊 方阵的伴随矩阵J.高等数学研究，2004（11）:23-25.6京大学数学系.高等代数M. 北京.人民教

10、育出版社.1978.7许永平.一些特殊分块矩阵的伴随矩阵J.2005(18)058 周仲旺.关于伴随矩阵的一个注记J. 昌潍师专学报.1998.17 （5）.9 左连翠.伴随矩阵的新求法J. 山东轻工业学院学报。 199711（4）.11 褚利忠、蒋理.伴随矩阵的一个性质J.高师理科学刊 .2011.31(1).12 王金林.伴随矩阵的秩J. 南昌航空工业学院学报.1999.13(3).13 贾云峰.矩阵与其伴随矩阵的特征值J. 陕西师范大学 继续教育学报.2007.24(1).8致谢在我论文的选题、开题到成文全过程，得到导师宋子婷老师的的悉心指导，特此感谢，同时也非常感谢漳州师范学院的全体任课教师给予我的支持和帮助。