邓超 与导群同构的群的某些性质

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1、与导群同构的群的某些性质邓超 （闽江学院数学系 福建，福州 350108）摘要：本文探讨了这样一类群：它同构与某一个群的导群。为了行文方便，文中将这类群称之为可积群，并称这类群具有可积性质，并应用初等群论的方法研究了有限群的这一性质，特别研究了有限循环群，交换群和幂零群的可积性，得到了一些初步的结果。关键字：导群；幂零群；可积性；1引言及预备知识设 为一抽象群，令 ，称 为 的换位子。又令G1,ab,ab,，称 为 的导出群，简称导群。对于任一群 来说，若存在群,|abGH使得 和 同构，则称群 可积，称 H 为可积群，称 为 的原扩群，简称原群，HG并记 。任意抽象群显然都有导群，但反过来，

2、每个群是否都可积呢？这就是一个很自然的问题。如果不是，那么当它满足什么条件时，它可积？本文尝试对这一问题进行研究，获得了初步的结果。需要指出的是若一个群可积，那么它的原扩群并不唯一（例如对于单位元群来说，任何交换群都是其原扩群） 。注 1：本文作者在考虑阶为 的群 G 的同构分类时，发现已有的方法比较烦琐，故考虑新4p的思路：考虑 G 导群列 ，先考虑(1)(2)(1)()rrGL等情况，而后再用群的扩张理论得到 ，以此类推，得到 G。采取这种()2|,rp ()r方法面临两个困难，第一个困难是什么样的群能在该导群列中出现，即什么样的群能够作为 p 群的导群，将这一问题推广就得到了群的可积性问

3、题。第二个困难是：由 如何得()i到 ，即对于可积群 G，如何得到其原扩群的问题。(1)iG如无特别的说明，本文中提到的群均为有限群，用记号 表示 为 的子群，HG表示 为 的正规子群， char 表示 为 的特征子群， 表示 的HH()ZG中心， 表示 的 sylow -群。 （其中 p 为素数）()psylp()|(),pOgopk特别提请注意的是若群 和群 同构，文中将视之为同一个群，即 。下面给出导G群的若干性质:性质 1 若 ，则 。性质 2 若 ，则 。N(/)/N性质 3 设 是群，则 。(iGn1212()nnG引理 1 (见文1，定理 III 3.11)设 为正整数， 是 阶

4、循环群 被 阶循环,2nmGnNm群 得扩张。则 有如下定义关系：FG(1)1,ntruvuv其中参数 满足关系式 ， 。 (2),nmtr(od)mrn(1)0(od)tn反之，对每组满足(2)式得参数 ，(1)式都确定一个 阶循环群被 阶阶循环群得,t m扩张。引理 2 (见文1，定理 IV 5.12)设 为有限 p 群，则若 循环， 亦循环。G()ZG引理 3 可积群的直积是可积群。证明：由性质 3 立得。引理 4 若群 可积， char ，则 可积。GK/K证明： 可积， 群 使得 ， char ，且 char ， char ,HQHK， ，则由性质 2 得 ，既 可积。H/(/)H/

5、G2 主要结果定理 1 任意阶循环群皆可积；特别的，循环 p 群可积。证明：设 为 阶循环群，我们用霍尔德定理，即引理 1 构造出 的原群。Gk由霍尔德定理的证明过程可知由(1)(2)所确定的群 的任何元素都可以表示成。先证这样的群的导群可由 生成。 则(,)ijvumjn ru,abH， 使 得 。 则121212,)ijijn12,ijijavuab112121121212()()()()jijiijijjijiijijuvvuuvv 122112 12()()ii iijjrjjjrjr ， 的每个换位子由 生成， 。rvHQr1rHu下面令 (3),(),(mod),0(od)tknr

6、tt则(3)的解必是(2)的解，则 显然是(3)的一组解。所以，此1,krnkr时群 的阶为 （因为 ） ，即为 阶循环群。所以此时群 就是 阶循环群k()k的原群。H注 2：上述定理说明任意阶循环群的原群都可以是一个亚循环群，同时也说明素数阶循环群这类单群是可积的；又由我们熟知的结果 ，知交错单群 可积；这样()nSA(5)n我们就得到这两大类单群可积。事实上，对于 p 阶循环群来说，非交换 阶群也可以作为3p其原群。略证如下：设 ，则 ,(否则若 则 循环，则3|Gp2|/|/|,G/交换与 非交换矛盾)，故 ，所以 是为阶为 p 的循环群。G|推论 1 有限交换群是可积群。证明：因为有限

7、交换群是循环 p 群的直积见 3，定理 1.8.17，由定理 1 和引理 3 立得。定理 2 群 是幂零群，则 可积的充要条件是其每个 sylow 子群可积。证明：1）充分性。因为群 是幂零群，故 的每个 sylow 子群正规，且能表示成其Gsylow 子群的直积（见3，定理 1.8.14）又由条件及引理 3 得 可积。G2）必要性。设 ，则又设 （其中 ）12| .npp ()iippSyl1in，则 ，且 char 。令12.npGSSi 12iS，则 char ，由引理 4 得 可积，又 和11ii nppi /i ipQ同构， 可积。/ii注 3：从定理 3 可以看出研究 p 群可积性

8、的重要性，类似于有限群的其它性质，我们再次看到了 p 群的重要性。引理 1.2 就是 W.Burnside 在研究什么群可以作为 p 群的导群时所得到的结论。我们将用它来证明一个结论。定理 3 若群 是有限非循环 p 群，并且满足 循环，则若 可积，其原群必定不是 pG()ZG幂零群。证明：用反证法。设 是 的原群，且为 p 幂零群。则 。首先， 循环，HH()ZHQ非循环，由引理 2 得 不是 p 群，考虑 的子群 ，显然 char 。则H()pOp， 是 p 群，(/)()/()pppOOI使 得 。 又 是 p幂 零 群 ， 。(,pPsylHPQ()1,()1ppPGHOI。 也可以看

9、成 的原群， 是 p 群/)GI/() /Q见 2，命题 VIII 1.2(1)，这与 的原群不是 p 群矛盾。由此得结论。G3 需进一步解决的问题1)任意群 ，是否都可积？若不是，找到群 可积的充要条件并给出反例；若是，给出证明。2)对于任意群 ，怎样求出其原群？以下问题均在问题 1)否定的情况下有意义。3)p 群都可积吗？若答案是否定的，那么可积 p 群的性质又如何？(若 p 群都可积，则幂零群都可积。 ）4)可解群可积性如何？(具体的说，可解群的 sylow 系与可积的关系如何？可解群的 sylow系都可积，该可解群可积吗？)5)是否所有单群都可积？6)群的半直积对群的可积性的影响如何？

10、( 设群 可积，那么他们的半直积是否可积？ ),NH将该问题推广可得到：群的构造方法对群的可积性的影响如何？参考文献：1 徐明曜 有限群导引（上册）M 北京：科学出版社，1999。2 徐明曜 有限群导引（下册）M 北京：科学出版社，1999。3 张勤海 抽象代数M 北京：科学出版社，2004。4 张远达 有限群构造（上册）M 北京：科学出版社，1984。Some Properties Of Group Which And Commutator Subgroup Of Another Group Are IsomorphicAbstract：In this paper, we discuss a

11、 class of group which and commutator of subgroup of another group are isomorphic. We claim this class of group is group of keji for convenient for style of writing, and claim the group have property of keji .And study this property of finite group with elementary group theory method, study especially this property of cyclic group, Abelian group and nilpotent group, obtain some preliminary results. Key words：commutator of subgroup；nilpotent group；property of keji;