可靠性试验分析与设计4

试验设计与分析1ji 第四章 (44) 可靠性试验与设计四、最小二乘法用图估法在概率纸上描出 点后,凭目视作分布检验判别所作的回归直线往往因人,()iitF而异，因此最好再通过数值计算求出精确的分布检验结论和求出数学拟合的回归直线通常用相关系数作分布检验，用最小二乘法求回归直线相关系数由下式求得： 122()(niiiiiiXY其中 X,Y 是回归直线的横坐标和纵坐标，它随分布的不同而不同下表是不同分布的坐标转换不同分布的坐标转换分布类型 iXiYm B指数分布 it1ln()Ft0威布尔分布 liiXtl1()tm 0lnt正态分布 it1()Ft对数正态分布 logiiXt1()t一般， 的取值在 0～1 之间，越接近 1，说明变量的线性关系越密切只有相关系数大于临界值 时，才能判定所假设的分布成立 临界系数可查相应的临界相关系数表，0 0如给定显著水平 ，n=10,可查表得 若计算的 ，则假设的分布.5.5760f成立如果回归的线性方程为YmXB则由最小二乘法得到系数为试验设计与分析2111122ˆˆˆ()nniiinniiiiiiiiiYmXBNYX代入上表中的不同的分布，就可以得到相应分布的参数估计值。

五、最好线性无偏估计与简单线性无偏估计1、无偏估计不同子样有不同的参数估计值 ，希望 在真值 附近徘徊若 ，则 为ˆˆ()Eq=ˆ的无偏估计如平均寿命的估计为 ，是否为无偏估计？qitn=åQ1[]ˆ()[]ii itEtEnq=为 的无偏估计\q2、最好无偏估计定义若 的方差比其它无偏估计量的方差都小，即 ，则 为最好无偏ˆk ˆ()min()kkDq=ˆkq估计3、线性估计定义若估计量 是子样的一个线性函数，即 ，则称 为线性估计ˆq1ˆnia=Cåˆ4、最好线性无偏估计当子样数 时，通过变换具有 形式的寿命分布函数，其 的最好线25n£()Fms- ,ms性无偏估计为： 1ˆ(,)rjiDXm=å,jCnrs其中 分别为 的无偏估计，有了 后，可有专门表格查无偏系(,)()nrjj,s,nrj数 D试验设计与分析3常用的寿命分布均可通过下表转换为 ()FmsC-分布转换表()XF分布类型 X 指数分布 t 0 1/极值分布 t 正态分布 t威布尔分布 lnt ln,/xngm对数正态分布 lnt 表中 为 m 的修偏系数，可根据子样数 n 和截尾数 r 查《可靠性试验用表》得到。

xng5、简单线性无偏估计当 时，简单线性无偏估计的方法具有计算简单，估计精度高的特点，适用于大2>子样，对具有 形式的分布参数 的简单线性无偏估计值为：()FsC-,s.11ˆ[ ]()srjjsrnjsrXXk=+=- ×å式中： ，0.892n 表示整数部分， 是 的无偏系数[0.892]snìïí+î 0.9rn.srnk、 可按子样数 n 与截尾数 r 从《可靠性试验用表》中查出n.srk..ˆˆ()ssXEzm=-是定数截尾时的次序统计量 是标准极小值分布容量为 n 的子样中第 s 个次序.sn 2.()nz量的数学期望值，同样可查《简单线性无偏估计表》得出§4.3.2 分布参数的区间估计简介点估计中给出的是参数的一个估计值，不同样本的点估计值一般是不同的同一样本不同点估计量估计出的点估计值也不同，因此点估计是一个随机变量，它有一定的变动范围，因此应该将 与 间的误差大小考虑进去，所用的方法就是给出参数的估计区间在ˆq这个区间中包含有真值 是有一定概率的因此给出的区间是在一定的置信水平要求下的曲线，称其为置信区间，即：（*）()1LuPa£=-试验设计与分析4分别为置信下限和置信上限， 为置信水平或置信系数。

是不包含真值的概率，,Luq1a- 称为风险度（显著水平） (*)式为双侧置信区间，而()uPq£=-1La>分别表示单置信区间可靠性分析中，通常对单侧置信下限更感兴趣求未知参数的置信区间必须掌握样本函数的分布，其计算也较点估计复杂和困难一． 指数分布的区间估计可以证明，对指数分布，其统计量 是服从自由度 z 的 分布：2()stq2c2())StZ:S(t)是总的试验时间， 是平均寿命的真值，z 是 分布的自由度，由不同截尾寿命q2试验方法的故障数 r 确定在给定置信度 下，双侧置信区间有：1a-221()(){}ststPzzaac-£=其中： ，2()()LLtCstaq=21()()uustCstzaqc-单侧置信下限为：，2()()LLsttzac¢21()()uusttzac-¢=为双侧置信系数， 为单侧置信系数可见下表LuC,uC置信系数公式置信限 定数截尾 定时截尾双侧2()Lrac=2()Lrac=+12UC- 12UC-单侧 ()Lcra¢()Lcra¢21v-=21v-=+例有 20 件产品进行可靠性试验，试验在 100h 截尾，观测到故障次数为 7 次，试验设计与分析5试验的总时间为 3020h，试计算：(1) 单侧 90％置信系数； (2 )双侧 90％置信系数。

解：(1). 单侧 90％置信系数 20.10.84953.52(6)LCc¢==(2) .双侧 90％置信系数2 20.1 1.9.76, 0.346.57() ()L uCc=二．二项分布的区间估计二项分布常用于计算冗余元件相同、并行工作冗余系统的成功概率它也适用于计算可靠性依赖于时间的元件、一次性使用的设备（多级导弹分离器、闪光灯和一次使用的工作元件）的失效概率，也适用于计算那些只要求工作一段时间而不再使用诸如导弹发动机、短寿命的电池等一次使用的工作设备的可靠度其失效概率是个常数对于成败型产品在 n 次试验中故障 r 次数的概率可用二项分布描述，其可靠度置信下限由下式表示： 0(1)riniLiCRa-==ån－被试样本数，r－故障数， －产品可靠度的下限，可这样解释：L若产品可靠度太低，则试验中出现 r 个或比 r 个还少的事件的可能性是不高的，或者说 R 不会低于使“出现 r 次和 r 次还少的事件” 成为小概率事件因为当 为小概率时， 为置信度，上述公式限制了产品的可靠度应为下限，所a1a-以：()LP³=可查>，在 n 次试验中如果故障为零时，则lR 1nLRa=如：20 只产品试验，故障数 ，置信度 0.95 时的可靠度下限 为：0r1 11/220(.95)..86nLa=-=三、正态分布的区间估计若可靠性寿命试验得到 n 个部件的寿命数据，且利用点估计方法得到 ，由数理统ˆ,ms计理论，可知统计量 ～ 分布，这里 是自由度 n-1 个的 t 分布，ˆ()ˆms-(1)t-(1)tn-因此得到：2 2(){(1)()}ˆPtnnta a--2F123,sF4!=因此可以看出，有 6 种排法使 排为 3，有 24 种排法使 排为 2，于是可计算 的2F平均秩次： 2(342)()2.n=´+=同理可以排出 的秩次： 排第 3，有 6 种排法。

排第 4、5、6，有 8 种排法于是计F3F算 的秩次平均值：33(68458)(8).n=´+´+=于是我们就得出 的秩次相应为 1，2.2，4.6123,F利用中位秩方法得到故障试件的累积故障率 ：(1,23)if， 为试件数0.)(.6)iinf=-+n于是有：，1(.32)(.)0.17f-=，2063296=+3(4.)(.).f-有了三组数 ，可用图估法进行分布检验和对多种可靠性指标进行估计实践表明，,)in试验设计与分析9上述方法对 n 较大是相当麻烦的下面介绍一种直接求得试件秩次的公式： 11,[()](2)kkkAni--=+D-式中，n 为试件数， 第 k 次故障数据的总排秩次， 为秩次增量 为平均秩次i kDkA上例计算中， ， 1(60)1(2)+-D==-10A=+＝1.2， 232.2， 3(.).4(6)--34.6与前面排序完全一样这里注意的是取 时，均是取长寿命的排序，如 中 为 3，不是ki 2Dki2， 中取 如故障数据之间无截尾数据时，则有 ，这时， 3D6ki=1k1利用上式再做一个例子例：试汽车某种零件的寿命，有 7500 辆在外运行，已有 46 辆报告有零件故障，以及知道故障前行驶公里，对未故障零件的也知道行驶公里数，具体为：序号 行驶公里(km) 故障零件（件） 未故障零件（件）1 0－1000 19 25302 1000－2000 11 14803 2000－3000 7 7114 3000－4000 5 6055 4000－5000 4 9366 5000 以上 0 1192解：利用 ， 公式计算。

1kkA-=+D1[()](2)kknAni-+=-在第一段中，行驶 1000km，已有 19 个零件故障，2530 个未故障，2530 个可以看作截尾数，相当于出现 19 个故障零件的排序开始总车数 7500 辆对应的故障概率：， 11(750)0928.67(530)-=+×´=-(.32).628..()0.38%iFnf-=+同样计算可得： 2(7501.)8.6 52.1(75043)A-=+´ =-（4030＝2530＋1480＋19＋1）试验设计与分析102(5.3102)(750.36).9%f=-+=171.2(245)A-´-（2530＋1480＋711＋19＋11＋1＝4752）3(7.20.3)(750.36).9f=-+=4 28.65(4)-´-(8.6.)(.)1.%f-5750186.4*3.2213..Af-=+=-通过五组数据 (0,.78%),(20,.69),(30,.946%),(0,1.8),(50,1.%)可用图估计法对分布进行检验及对参数和可靠性指标进行估计二．夭折试验法试件全部故障的试验要花费很多时间，这些对于抢时间的任务是不合算的对于总体寿命是威布尔分布的产品，有一种称为夭折寿命试验的方法可以较大地缩短寿命试验时间。

从一批试样中，随机均分若干组（组的数量应大一些）进行试验，每组产品中当出现头一个故障即停止试验这样每组得到一个最短寿命，称为该组的“夭折”寿命，各组夭折寿命组成的集合是受试产品母体中的子总体两个总体之间存在一定关系：(1). 认为夭折寿命分布仍是威布尔分布，其形状参数与母体相同2).夭折寿命的特征寿命参数 与母体特征寿命 之间为 （证明略） 0hh0/mn=下面举一个例子说明具体的做法例：一批机械零件，随机抽取 40 个试件，再随机分五组进行夭折试验，各组所得夭折寿命依次为 70h、15h、120h、26h、60h，经秩次排列，并算出相应的故障概率如下表：秩次 夭折寿命 ()kth故障概率 kf1 15 12.70%2 26 31.40%3 60 50.00%4 70 68.70%5 120 87.30%试验设计与分析11上述故障概率 使用中位秩法计算得到k把上面 5 组数据 在威布尔概率纸上进行图估计，估计出夭折寿命分布参数(,)ktf，然后推算母体特征寿命：0ˆ1.2,64mh=)ˆ1.2836mnh´=倍，完全寿命试验是夭折寿命试验的 5.66 倍0ˆ35.64下面一例说明，如何用夭折寿命试验方法解决现场数据处理问题。

例：试验汽车的某个零件寿命在野外运行着 1000 辆汽车，假设已有 10 辆报告行使到一定距离后此零件坏了，具体数据为 ＝330km, =650km, =750km, =1040km, 1F23F4=1400km, =1800km, =1950km, =2100km, = 2700km, =4200km. 零件还未5F678910损坏的 990 辆的汽车究竟行使了多少公里是未知的试用夭折寿命试验方法估计寿命。