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1、数学（建模）在科技发展中的作用自古以来，数学的发展始终与科学技术的发展紧密相连，反之亦然. 首先, 我们来看一下导致我们现在这个飞速发展的信息社会的 19、20 世纪几乎所有重大科学理论的发展和完善过程中数学(数学建模)所起到的不可勿缺的作用.*数学研究的成果往往是重大科学发明的催生素 (仅就 19、20 世纪而言, 流体力学、电磁理论、相对论、量子力学、计算机、信息论、控制论、现代经济学、万维网和互联网搜索引擎、生物学、CT 、甚至社会政治学领域等). 但是 20 世纪上半世纪, 数学虽然也直接为工程技术提供一些工具, 但基本方式是间接的: 先促进其他科学的发展, 再由这些科学提供工程原理和
2、设计的基础. 数学是幕后的无名英雄. 现在, 数学无处不在, 数学和工程技术之间, 在更广阔的范围内和更深刻的程度上, 直接地相互作用着, 极大地推动了科学和工程科学的发展, 也极大地推动了技术的发展. 数学不仅是幕后的无名英雄, 很多方面开始走向“前台”. 但是对数学的极端重要性迄今尚未有共识, 取得共识对加强一个国家的竞争力来说是至关重要的. *高技术本质上是数学技术.戴维(E. David, 曾任尼克松总统的科学顾问)在 1984 年说的一段话：“对数学研究的低水平的资助只能来自对于数学研究带来的好处的完全不妥的评价, 显然, 很少有人认识到当今被如此称颂的高技术本质上是数学技术.”钱学
3、森教授 1989 年在中国数学会数学教育与科研座谈会上的讲话中说: “但是他(指美国Brown 大学教授、应用数学家谢定裕)的题目叫“数学科技”, 我想不叫“数学科技”, 这是数学技术, 即怎样给一个方法, 能使科学的理论通过电子计算机解答具体的科学技术问题. 这包括两个方面, 第一就是要会用电子计算机, 会指挥它去算. 第二是电子计算机给出的解答, 在荧光屏上显示出来, 能够理解它, 别让它给唬住了. 我觉得后一个关于理解的问题, 就是要从宏观的整体角度去认识, 这也是数学问题.”*21 世纪是科学和工程数学化(Mathematization)的世纪.美国科学基金会数学部主任 Eisenst
4、ein 在评述该基金会把数学科学列为 2002-2006 该基金会五大创新项目(其他四个分别为: 环境中的生物复杂性,信息技术研究,纳米科学和工程,以及21 世纪的劳动力)之首时所说的,“该重大创新项目背后的推动力就是一切科学和工程领域的数学化(Mathematization ).”Eisenstein 说.“还有，数学带给其他科学的 附加值现在是比过去更加看得见了. 其他科学认识到的这种附加值是该创新项目的主要推动力量.”*“鉴于数学研究的范围无限广阔，这门科学，即使是现代数学，也还处于婴儿时期。在今后两千年内，在人类思想领域里具有压倒性的新情况，将是数学地理解问题占统治地位。 ”*下面先来
5、了解一下什么是数学建模. 数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述.数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型并对之求解、验证并得到结论的全过程. 数学建模不仅是了解基本规律, 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模的系统的行为的强有力的工具.观察、分析实际问题抽象、简化，确定变量和参数 利用某种“定律”建立变量和参数 间的确定的关系(数学问题, 这个层次上的一个数学模型) 解析或“近似”地求解该数学问题（数学模型） 解释、验证、预测和发现新的现象 通不过通过 可应用该数学模型来预测或模拟(仿真
6、)定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程 * 数学建模的难点 观察、分析实际问题, 作出合理的假设, 明确变量和参数, 形成明确的数学问题. 不仅仅是翻译的问题; 涉及的数学问题可能是复杂、困难的, 求解也许涉及深刻的数学方法. 如何作出正确的判断, 寻找合适、简洁的(解析或近似)解法; 如何验证模型. 简言之: 合理假设、数学问题、解释验证. 记住这 12 个字, 将会终生受用. 自古以来公平、公正的竞赛都是培养、选拔人才的重要手段, 科学和数学也不例外. 数学建模方面的重要比赛Mathematical Contest in Modeling(MCM, 1985) 美国大学生数学建模竞赛I
7、nterdisciplinary Contest in Modeling (ICM, 1999)美国大学生跨学科建模竞赛China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling(CUMCM, 1992)中国大学生数学建模竞赛中国大学生参加美国大学生数学建模竞赛情况参赛队数(中国队数)MCM - 85 90( 0)MCM - 89 211( 4, 占 1.9%)MCM - 2009 1675(1282, 占 77%)ICM - 2009 374(341, 占 91%)MCM - 2010 2254(1844, 占 82%)ICM - 2010 35
8、6(332, 占 93%)中国大学生数学建模竞赛情况参赛校数 参赛队数CUMCM - 92 79 314CUMCM - 2009 1137 15042*以下讲述中涉及物理方面的具体的数学模型(问题)的叙述和初步讨论可参考物理学与偏微分方程, 李大潜、秦铁虎编著,(上册, 1997; 下册, 2000), 高等教育出版社 . *相对论Albert Einstein(1879, 3, 14 1955, 4, 18) 20 世纪最大的科学成就莫过于 Einstein(爱因斯坦)的狭义和广义相对论了, 但是如果没有Riemann(黎曼)于 1854 年发明的 Riemann 几何, 以及 Cayley
9、(凯莱), Sylvester(西勒维斯特) 和Noether(诺特) 等数学家发展的不变量理论, Einstein 的广义相对论和引力理论就不可能有如此完善的数学表述. Einstein 自己也不止一次地说过. 早在 1905 年, 年仅 26 岁的爱因斯坦就已提出了狭义相对论. 狭义相对论推倒了牛顿力学的质量守恒、能量守恒、质量能量互不相关、时空永恒不变的基本命题. 这是一场真正的科学革命. 为了导出狭义相对论，爱因斯坦作出了两个假设：运动的相对性(所有匀速运动都是相对的)和光速为常数(光的运动例外, 它是绝对的). (1) 狭义相对性原理, 即在所有惯性系中, 物理学定律具有相同的数学表
10、达形式;(2) 光速不变原理, 真空中光沿各个方向传播的速率都相等，与光源和观察者的运动状态无关. 由此可以导出一些推论: 相对论坐标变换式和速度变换式, 同时的相对性, 钟慢尺缩效应和质能关系式等. 他的好友物理学家 P.Ehrenfest 指出实际上还蕴涵着第三个假设, 即这两个假设是不矛盾的. 物体运动的相对性和光速的绝对性, 两者之间的相互制约和作用乃是相对论里一切我们不熟悉的时空特征的根源. 1907 年德国数学家 H. Minkowski (1864 1909) 提出了 “Minkowski 空间”,即把时间和空间融合在一起的四维空间 . Minkowski 1,3R几何为 Ein
11、stein 狭义相对论提供了合适的数学模型. “没有任何客观合理的方法能够把四维连续统分离成三维空间连续统和一维时间连续统. 因此从逻辑上讲, 在四维时空连续统(space-time continuum)中表述自然定律会更令人满意. 相对论在方法上的巨大进步正是建立在这个基础之上的, 这种进步归功于闵可夫斯基(Minkowski).” 阿尔伯特爱因斯坦 有了 Minkowski 时空模型后 , Einstein 又进一步研究引力场理论以建立广义相对论. 1912 年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理, 但是为了实现广义相对论的目标, 还必须寻求理论的数学结构, Einstein 为此花了
12、 3 年的时间, 最后, 在数学家 M. Grossmann 的介绍下学习掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具 以 Riemann 几何和 Ricci, Levi-Civita 的绝对微分学, 也就是 Einstein 后来所称的张量分析. “根据前面的讨论, 很显然, 如果要表达广义相对论, 就需要对不变量理论以及张量理论加以推广. 这就产生了一个问题, 即要求方程的形式必须对于任意的点变换都是协变的. 在相对论产生以前很久, 数学家们就已经建立了推广的张量演算理论. 黎曼(Riemann)首先把高斯(Gauss)的思路推广到了任意维连续统, 他很有预见性地看到了进行这种推广的物理意义.
13、 随后, 这个理论以张量微积分的形式得到了发展, 对此里奇(Ricci)和莱维齐维塔(Tulio Levi-Civita, 18731941)做出了重要贡献. ”阿尔伯特爱因斯坦 著, 从数学建模的角度看, 广义相对论讨论的中心问题是引力理论, 其基础是以下两个假设: 等效原理和广义协变性。(1) 广义相对性原理, 即认为物理学定律不依赖于表示时间、空间的四维微分流形(时空流形)的局部坐标的选取方法. 这样 , 物理量用时空流形上的张量表示, 而物理学定律用张量方程写出;(2) 等效原理, 惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的. 由此借助关于弯曲空间的黎曼几何的数学工具可推导出广义相对
14、论引力场方程, 得到引力场中的时间和空间具有弯曲的性质, 物质的运动分布使时空弯曲, 引力会使光线偏转 , 以及引力场中的光谱红移, 行星近日点的精确进动, 雷达回波的延迟等推论. 在 1915 年 11 月 25 日发表的一篇论文中 Einstein 终于导出了广义协变的引力场方程 ),21(TgTR就是 Riemann 度规张量. Einstein 指出:“由于这组方程, 广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成!”广义相对论的数学表达第一次揭示了非欧几何的现实意义, 成为历史上数学应用最伟大的例子之一. Einstein 关于光线经过太阳引力场会弯曲的预言, 在 1919 年 5 月 29 日由英国皇家学会科学考察队的天文学家爱丁顿爵士(Sir Arthur Stanley Eddington, 1882, 12, 28 1944, 11, 22)等人在几内亚湾普林西比岛对日全食的观察结果、所摄
