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1、频率与概率教学探讨“用频率估计概率”教学的设计、实施与反思广州市教育局教学研究室许世红广州大学张崇岐广州市番禺区星海中学罗朝红“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第五次课题会议于 2009 年 11 月 9-10 日在湖北省荆州实验中学召开，广州课题组承担了主讲“用频率估计概率”研讨课的任务在经历了多次的研讨、设计、试讲、再设计、再实施、再反思的活动后，课题组教师对如何把握初中概率教学的重点、如何理解概率的统计意义的核心、如何揭示随机现象的统计规律等问题有了较为清晰的认识，对总课题组倡导的“加强教学设计的预见性，落实课堂教学的有效性” 也有了更深刻的体会下面主要从
2、如何理解用频率估计概率、理解教科书编写意图、提高设计质量等方面反思本课题的研讨活动1. 随机性与规律性是随机事件对立统一的特性，本节重点是揭示随机事件的统计规律在现实世界中，有一些现象在相同的条件下，重复同样的试验，该现象却有时发生有时不发生，这些现象就其个别来看发生与否是没有规则、不可预测的，但是通过大量的试验和观察以后，就其整体来看却表现出一种非偶然的规律性，这些现象我们称之为随机现象规律是指事物发展过程中的本质联系和必然趋势随机事件的发生与否是有规律可循的，其规律性就表现在个别试验中的不确定性和大量重复试验中的统计规律性，频率的稳定性就是这种规律性的体现，而频率的稳定性是由大量统计得来的
3、，所以我们称其为统计规律性，在这个基础上给出的概率定义，顾名思义就称其为统计定义在现实生活经验的基础上，学生仅靠平时一些零散的生活经验，往往难以理解不确定性背后会有规律可循，难以想象为何重复试验有利于发现规律，且重复大数次比重复小数次获得的规律更可靠因此，在学习概率统计定义的过程中，如何揭示随机事件发生的统计规律，使概率意义的学习能够顺畅而有效地进行，成为本节课的教学重点2. 深刻理解教科书的编写意图，在解析教学内容的过程中构思教学设计人教社新版教科书在概率部分的编写做了较大的调整，主要是根据初中生的知识基础和认知规律，改变概率的呈现顺序以突出试验方法的合理性，帮助学生更好地理解用频率估计概率
4、的科学性教材先设计第一节随机事件与概率，运用不完全归纳法总结出概率的古典定义，即“一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率 P (A) = m/n”；第二节则介绍计算古典概率的两种具体方法：列表法与树状图法，为学习概率的统计定义打下基础；接着学习另一种求随机事件概率的方法：用频率估计概率，拓展概率研究的范围；然后设计了“课题学习键盘上字母的排列规律”，引导学生综合运用概率与统计知识进行决策在学习概率的统计定义时，教科书先设计抛掷一枚硬币试验，引导学生动手操作，收集整理抛掷一枚硬币 n 次时出现正面向上
5、的频率，结合前面对古典概率的已有认识，体会频率与概率的联系，从“偶然中蕴涵必然”的角度，认识频率的稳定性，并与历史上科学家的研究结果对比，感受用频率估计概率的合理性，从而归纳出概率的统计定义接着，教科书进一步分析了抛掷硬币和天气预报两个实例，引导学生认识频率与概率的区别和联系，加深对概率的统计定义的认识，体会它比古典概率更具一般性教科书仍旧选择抛掷硬币试验引入概率的统计定义，主要源于以下三个因素：（1）抛掷硬币实验所需要的条件容易实现，可操作性强；（2）硬币试验历史上积累了大量数据，更有利于问题的说明；（3）用频率估计概率可以和前两节学习的古典概率相统一，两种不同的方法求出的是同一个概率，且概
6、率的统计定义比古典定义更具有一般性为了更好地体现教科书的编写意图，本课时，我们依次设计三个试验“抛掷硬币”、“抛掷骰子”与“抛掷图钉” ，分组组织学生开展研究，引导学生经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，在对比中理解用频率估计概率的合理性，逐步感受用频率估计概率应用的广泛性，认识概率估算与概率计算的意义3. 精心设计观察与试验，引导学生在试验中逐步理解用频率估计概率的本质（1）抛掷硬币试验，猜想归纳求随机事件概率的新方法用频率估计概率课堂中我们直接问学生“除了列举法以外，你还有没有其他的方法获得随机事件 A抛掷一枚质地均匀的硬币一次，正面向上的概率?”由于学生在小学学习中多次做过类似抛掷硬
7、币的试验，部分学生也经常玩类似飞行跳棋等的游戏，对做试验有经验，因此，在试讲的时候该环节都顺利地得以过渡，在荆州讲课的时候，由于学生比较紧张，这时，由教师引导后直接点明可以尝试用试验的方法进行探索抛掷硬币的试验主要用于引导学生猜想归纳求随机事件概率的新方法“用频率估计概率”，因此，在教学时，首先应引导学生思考：只做一次试验行不行？2 次行不行？3 次呢？到底要做多少次呢？这时，教师当着全班的面做试验：抛掷硬币一次时，出现正面向上一次，因此出现正面向上的频率为 1，这时，用 1 去估计正面向上的概率误差太大；抛掷硬币两次时，出现正面向上恰好 2 次，因此出现正面向上的频率还是为 1，用 1 去估
8、计正面向上的概率误差还是太大（当然也可能出现一正一反，这样出现正面向上的频率就是 0.5，与概率值相等；但是不同学生做试验，得出的频率值波动很大，去估计概率时误差也就很大）通过这样一系列问题，激发学生思考：用频率去估计概率这种方法是否可靠？是否合理？到底要做多少次试验，频率值才呈现出稳定性，用于估计概率时误差才比较小？接下来，把全班学生分成 10 个 4 人小组，每组两枚硬币，共抛掷硬币 50 次，统计“正面向上”的情况，并把结果汇总后填在下表中，同时用 Excel 软件呈现出各组频率值的波动情况然后，引导学生观察随机事件“抛掷一枚硬币一次，正面向上”的频率值，发现这些频率值波动很大，最小的频
9、率才 0.38，而最大的有 0.6，从而又一次地感受到随机事件发生的随机性如何研究随机事件发生的规律性呢？教师再引导全班学生一起，把第 1 组的试验数据记录在表格的第一列，第 1、2 组的数据之和记录在第二列，第 1、2、3 组的数据之和记录在第三列完成下列统计表；教师填写完表格后，电脑软件 Excel 自动绘出频率折线图然后，引导学生观察随机事件“抛掷一枚硬币一次，正面向上”的频率值，发现：随着试验次数的增加，频率的波动幅度越来越小，这时用频率去估计概率时，误差也越来越小根据抛掷硬币试验，可以通过做大量重复试验来估计随机事件的概率，当随机事件发生的频率呈现出一定的稳定性时，猜想用这个稳定频率
10、估计概率是比较合理的在这个试验中，由于用频率估计出的概率 0.48 与用列举法计算出的概率 0.5 在精确到 0.1 时是同一个数值，而且历史上有很多统计学家做的上万次试验结果也验证了抛硬币出现正面向上的频率与概率 0.5 的差值非常接近于 0，因此，可以猜想这种方法可靠但是仅仅通过一个试验得出的方法就用于所有随机事件概率的求解，可能会出错可以再做一次试验，进行验证（2）抛掷骰子试验，验证用频率估计概率的正确性，提炼得出新方法试验 2 同样把全班学生分成 10 个 4 人小组，每组 2 个骰子，共抛掷骰子 50 次，统计“向上点数为 1”的情况，并把结果汇总后填在表中，同时用 Excel 软件
11、自动计算出随着试验次数增加得出相应的频率值然后，引导学生观察随机事件“抛掷一枚骰子一次，向上点数为 1”的频率值，同样发现：随着试验次数的增加，频率的波动幅度越来越小，这时把频率的稳定值 0.168 与用理论方法计算得出的概率 加以比较，可以看到误差在可以接受的范围内该试验进一步验证了用频率估计概率的方法是合理的，也是可行的并由此提炼出求概率的新方法“一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 会稳定在某一个常数 p 附近，那么事件 A 发生的概率P(A)= p”至此，学生学习完两种求随机事件概率的方法，教师及时对两种方法进行了归纳与对比由于前面接触的都是古典概型，学生用古典定义计算概
12、率非常简便，并没有强烈感受到新方法有何用途因此，需要设计一个新的试验，让学生认识新方法的价值（3）抛掷图钉试验，初步感受用频率估计概率运用的广泛性试验 3 是抛掷一枚图钉，求钉帽着地的概率试验前，教师让学生根据生活经验，猜想钉帽着地可能性的大小，同时指出：虽然一次试验只有“钉尖与钉帽同时着地、钉帽着地”两种可能结果，但是两种结果不满足等可能性，因此，不能用列举法求钉帽着地的概率这时用频率求概率的估计值是可行的方法，然后再组织学生开展试验，并在给定精确度的条件下估计钉帽着地的概率这样，学生对频率估计概率方法的初步认识就水到渠成了4.正确处理预设与生成的关系由于从试验中获取的数据是课堂即时生成的，
13、如何根据实际情况引导学生认识这些数据中蕴含的规律与期望出现的结果之间可能出现的偏差，既反映执教者的概率专业素养，也体现出教师的教学机智（1）当数据呈现的规律明显偏离理论计算得出的概率时在荆州上课做抛掷骰子试验时，得到的数据不理想，频率明显地偏离了理论计算出的概率值 1/6一方面，教师需要从试验的条件（如：是不是从同一高度抛掷骰子，是不是用同样的手法抛掷骰子，是不是都把书放在一边以保证桌面是空出的）入手，引导学生反思用频率估计概率的使用要求（试验条件要相同）；另一方面，教师还需要说明出现这种情况是正常的，这正是随机事件随机性的体现，事实上，对试验结果的频率与理论概率的偏差的理解也是形成随机观念的
14、一个重要环节（2）当个别学生凭借经验做出的回答违背常理时在做抛掷图钉试验前，教师让学生猜想是钉帽着地的可能性大还是钉帽与顶尖同时着地的可能性大，一名男生大声地说钉帽与顶尖同时着地的可能性大，这时全班学生被该男生牵住了思路，个别有异议的学生因为胆怯只是小声在下面私语如何引导学生根据经验做出判断呢？教师如果能够让这名男生说说判断的依据，再征询有没有不同的意见，让学生进行适当的交流，然后再陈述自己依据经验做出猜想的过程，那么试验后得出钉帽着地概率大于 0.5 的结论，就会更好地促进学生对概率反映经验认知的认识（3）当学生问及大量重复试验是多少次时用频率估计概率的目的是为了解决具体问题，进行推断与决策
15、在解决实际问题时，由于需要考虑试验成本、人力、物力等多种因素，往往只做少量试验，只要满足精确度要求，就可以用得到的频率去估计概率，这些内容是下一课时需要重点说明的问题本课时，做大量重复试验的目的是为了揭示随着试验次数的增加，频率与概率之差的波动越来越小，从而让学生相信：用频率估计概率是合理的，估计结果是可靠的大量重复试验到底是多少次并没有一个标准，只要频率的波动在可以接受的误差范围内，这时所做的试验总次数都是可以看成足够大量的参考文献1 张德然、张栋栋，概率统计定义的内涵及其应用J， 阜阳师范学院学报(自然科学版)， 第 25 卷第 1 期，2008 年 3 月.2 林群主编，义务教育课程标准
16、实验教科书 数学M北京：人民教育出版社，2008 年版3 田载今、林立军，对初中生学习概率定义的思考J，数学教育学报，第 15 卷第 4 期,2006年 11 月.附：本课题的教学设计一、内容和内容解析【教学内容】“25.3 用频率估计概率” 是义务教育课程标准实验教科书人教版九年级上册第二十五章概率初步第三节本节的学习内容主要包括：（1）理解通过试验，可以获得事件发生的频率；知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值；理解频率与概率的区别和联系，（2）能运用频率估计概率的知识解决实际问题【教材解析】本节内容计划用 3 个课时完成，第 1 课时通过试验，让学生感悟可以通过大量的重复试验，用事件发生的频率去估计这一事件发生的概率；第 2 课时结合具体情景研究如何用频率估计概率；第 3 课时对简单问题提出一种切实可行的模拟试验方法，用频率估计概率本设计是第 1课时
