数列求和及综合应用 3

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1、1第二讲 数列求和及综合应用【基础回扣 步步为营】【主干构建】【题检回扣】1.（2010天津高考）设a n是等比数列，公比 2q，Sn为a n的前 n 项和。记 *217,.nSTNa设0T为数列 的最大项，则 0= 。【解析】 127nnaSnnq12176672 nn q,当且仅当 ，即 n=4 时取等号，所416nq4n以 Tn的最大项为 T4，所以 0=4.2.（2010浙江高考）设 为等比数列 的前 n 项和，nsna则2580a52S(A)-11 (B)-8(C)5 (D)11【解析】由 得 所以 ，2580a,0841qa2所以 .故选 A.5S1q3. （2010华南师大附中模

2、拟）等差数列 的前 项和为na， ， ；等比数列 中，nS189523Sb， ，则 的值为 （ ）5ab71bA64 B-64 C128 D-128【解析】选 B.由 ，得 ，95a由 ，得 .213S47所以 ， ，5ab7b所以 ，2q所以 ，325105b所以 .644. （2010山东德州模拟）公差不为零的等差数列 na的前 n项和为 nS.若 4a是 37与 的等比中项, 832S,则10等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 【解析】答案：C由 2437a得 2111()()6dad得10d,再由 8532S得 则 1,所以10962Sa,故选 C5.（2010聊

3、城模拟）设等比数列 na的前 n 项和为 nS ，若 63=3 ，则 69S = （A） 2 （B） 73 （ C） 8 （D ）3【解析】设公比为 q ,则36(1)Sq1q 33 q32于是 63691247S. 【答案】B6.（2010济南模拟）数列 na的通项22(cosi)3na，其前 项和为 nS，则30S为A 47 B 4902C 495 D 510答案：A【解析】由于 22cosin3以 3 为周期,故222223014589(3)(6)(30)SL101 19547k kk 故选 A.【考向突破 典例精析】热点考向一 可转化为等差或等比数列的求和问题【考情分析】1.可转化为等

4、差或等比数列的求和问题，已经成为高考考查的重点内容之一。2.该类问题出题背景选择面广，易与函数方程、递推数列等知识综合，在知识交汇点处命题。3.多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。【例 1】 （2010重庆高考）已知 是首项为 19，公差na为-2 的等差数列， 为 的前 项和.nS（）求通项 及 ；（）设 是首项为 1，公比为 3的等比数nb列，求数列 的通项公式及其前 项和 .nT【审题指导】1.第一问利用等差数列的通项公式和前 项和公式直接求解即可；2.第二问利用分组求和转化为等差与等比数列的求和问题，就等到解决.【自主解答】 【规律方法】某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转

5、化途径有：1.凑配、消项变换如将递推公式通过凑配变成).1,0,(1 qdqan且或消常数项转化为);1n(12n2.倒数变换如将递推公式取倒数得且dcan,1;13.对数变换如将递推公式取对数得)1,0,(pcnpn；alglg14.换元变换如将递推公式变换成),(dqdqnn且则转化为,1nbd的形式。BAbn【变式训练】已知定义在 R上的函数 f（x）的图像关于点对称，对任意的实数 x，都有 ，0,43 3)(xf且 f（-1）=1，f（0）=-2，则 f（1）+f（2）+f（3）+.+f（2011）的值为（ ）A.-2 B.-1 C.0 D.1热点考向二 错位相减法求和【考情分析】1.

6、错位相减法求和，是高中数学中重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。2.该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题。3.多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。【例 2】 （2010.全国新课标）设数列 满足na21112,3nnag（1） 求数列 的通项公式；a（2） 令 ，求数列的前 n 项和 .nbnS【审题指导】1.利用叠加法和等比数列的求和公式即可求解；2.利用错位相减法求和.【自主解答】 【规律方法】1.几种求通项及求和方法（1）已知 求 可用叠加法，即),(1nfana2.2)()()1123ff aan 已知 求 可用叠乘法，,

7、1gbnnb.)2(). 11232 bgng L3.设 为等差数列， 为等比数列，求数列nan的前 项和可用错位相减法。b【变式训练】 （2010 山东模拟）等比数列 na的前 n 项和为nS， 已知对任意的 N ，点 (,)S，均在函数(0xyr且 1,br均为常数) 的图像上. （1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 ()4na ， 求数列nb的前 项和 T.热点考向三 裂项相消法求和【考情分析】1.裂项相消法求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。2.该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、3不等式等知识综合，在知识交汇点处命题。3.多以

8、解答题的形式出现，属于中、高档题目。【例 3】 （2010 湖南高考）给出下面的数表序列：其中表 n（n=1,2,3 L）有 n 行，第 1 行的 n 个数是1,3,5， 2n-1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。（I）写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 n（n3） （不要求证明） ；（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1,4,12L，记此数列为 nb，求和： 324121nb 【审题指导】1.由表 1、2、3 推出表 4，然后归纳得表 n；2.由通项 拆分为裂项相消求和。nb【自主解答】 【规律方法】

9、裂项相消法求和的几种常见类型（1） )1()(knkn（2） （3） )12(1)2(nn（4） (（5）若 是公差为 的等差数列，则nad)1(1nn（6） )(baba（7） ,mnmncc1!1!n【变式训练】 （2010山东模拟）已知 ，点2在函数 的图象上，其中1(,)n2()fx23L（1）证明数列 是等比数列；lg1na（2）设 ，求 及数2()()n nTLnT列 的通项；na（3）记 ，求数列 的前 项 ，并证明12nbnbnSnST热点考向四 与不等式有关的数列问题【考情分析】1.数列综合问题，特别是数列与不等式的综合问题是高考中经常考查的重要内容。2.该类问题常与函数的单

10、调性、基本不等式、导函数等知识交汇，综合命题。3.多以解答题的形式出现，属于高档题目。【例 4】 （2010天津高考）在数列 中， ，且na10对任意 . ， ， 成等差数列，其公差*kN21kak21为 。d（）若 = ，证明 ， ， 成等比数列kk2k（ ）*（）若对任意 ， ， ， 成等比数*2ka1k列，其公比为 。kq(i)设 1，证明： 是等差数列；1(ii)若 证明 （ ）.,2a23nka【审题指导】1.利用等差数列的定义、叠加法，求 ， ，再用等比21k数列定义证明 即可 .12kka2.利用等比数列及等差数列的定义证明 是等差1qk数列；分奇偶性讨论和式 ，再放缩法证明目标

11、即nka2可.【自主解答】【规律方法】1.数列与函数的综合问题：常以基础知识的考查为立足点，以函数关系引入数列中的量 、 ，然后转化为naS方程，最终归结为等差或等比数列问题.2.数列是特殊的函数，要多利用函数思想解决数列问题.4数列的单调性、最值问题都可以利用把 、 看作是naSn 的函数求解.3.数列与不等式的综合问题：这是近几年高考的热点问题，通常是由等差、等比进行复合变形后得到的新数列的求和问题，解答时需要合理变形，常用到放缩法.常见的放缩技巧：，1212kk，.nn4.数列与数学归纳法的综合问题：通过归纳猜想得到结论，在用数学归纳法证明所得结论.5.数列与实际问题：建立有关等差、等比

12、数列或递推数列的模型，再利用数列的有关知识解决问题.常见的有利息、产量、降升价、繁殖与增长率或降低率，分期付款、期货贸易等等.6.数列与三角、解析几何、概率等都可以综合在一起考查，关键是构造数列，而后用数列知识解决即可.【变式训练】 （2010江苏高考）设各项均为正数的数列的前 n项和为 ，已知 ，数列anS312a是公差为 的等差数列。Sd求数列 的通项公式（用 表示） ；nd,设 为实数，对满足 的任意正整cnmk且数 ，不等式 都成立.km,nmcS求证： 的最大值为 。29【答案解析】【例 1】 【自主解答】（）因为 是首项为 19，公差为-2 的等差数列,所na以 ，nn 21)(1

13、9.02S（）由已知 ，13nnab所以 ，1nTL2110 n03naL.2312nS【例 1】 【变式训练】由函数的图像成中心对称，得 ，0)(xfx所以 ，fxf2所以 f（x）为偶函数，且以 3为周期.则 f（-1）=1=f（2）=f（-2）=f（1）=f(4)，f(0)=f(3)=-2,所以 f（1）+f（2）+.+f（2011）=f（1）+f(2)+f(3)+f(4)+.+f(2009)+f(2010)+f(2011)(上式中共有 670个中括号)=1.故选 D.【例 2】 【自主解答】 （）由已知，当 n1 时，1121()()nnnaaaL213(。)而 1,所以数列 的通项公

14、式为 。na21na（）由 知21nb3512nSL从而7213nn -得2352121(1)nnnSL即 1()9【例 2】 【变式训练】因为对任意的 nN,点 ()nS，均在函数 (0xybr且 ,br均为常数) 的图像上.所以得 nS,当 1时, 1a, 当 2时, 11()()nnnnbrb,又因为 为等比数列, 所以 1r,公比为 , 所以 1()nna.（2）当 b=2 时， 1()2nb, 142nnb则 31nTL53451212n nTL 相减,得 2345121n n= 2()n1234n所以 1132nnT.【例 3】 【自主解答】解：（1）表 4 为1 3 5 7 4 8 12 12 2032它的第 1、2、3、4 行中的数的平均数分别是4、8、16、32，它们构成首项为 4，公比为 2 的等比数列。将这一结论推广到表 ，即)3(n表 各行中的数的平均数按从上到下的顺序