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1、1中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：C=90 A+B=902、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a2b 2c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ABCabc弦 股 勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有下面关系：a 2b 2c 2，那么这个三角形是直角三角形。考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形
2、、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。 （经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为 c） ；（2）若 c2 a2b 2，则 ABC 是以C 为直角的三角形；若 a2b 2c 2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边） ；若 a2b 2c 2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）4. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。2（2）已知
3、直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为 的线段n考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在ABC 中，C=90 锐角 A的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记为 sinA，即 casin斜 边的 对 边A锐角 A的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记为 cosA，即 bco斜 边的 邻 边锐角 A的对边与邻边的比叫做A 的正切，记为 tanA，即 atan的 邻 边的 对 边A锐角 A的邻边与对边的比叫做A 的余切，记为 cotA，即 abcot的 对 边的 邻 边2、锐角三角函数的概念锐角 A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A 的锐角三角函数3、
4、一些特殊角的三角函数值三角函数 30 45 60sin 21223cos 31tan 1 3cot 314、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90A)，cosA=sin(90A) ；（2）平方关系： 1cossin22A（3）倒数关系：tanA tan(90A)=1（4）商（弦切）关系：tanA= cosin35、锐角三角函数的增减性当角度在 090之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（
5、或增大）考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在 RtABC 中，C=90，A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c（1）三边之间的关系： （勾股定理）22cba（2）锐角之间的关系：A+B=90（3）边角之间的关系：正弦 sin，余弦 cos，正切 tan(4) 面积公式： （hc 为 c 边上的高）考点五、解直角三角形 应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应
6、用举例：(1)仰角 ：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。4仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰:ihll(2)坡面的铅直高度 和水平宽度 的比叫做坡度(坡比)。用字母 表示，即 。坡度hl ihil一般写成 的形式，如 等。 把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角)，那么1:m1:5i 。tanhil3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是： 45、135、225。解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）1、解直角三角形的类型与解法已知、解法三角 类型已 知 条 件 解 法 步 骤两直角边（如 a，b）由 tan A
7、，求A；B90abA，c 2两边斜边，一直角边（如c，a） 由 Sin A ，求A；B90acA，b 2- RtABC Bca一边一一角边和锐角，邻边（如A，b）B90A，abSin A，c cosAbcosA5一锐角 锐角，对边（如A，a）B90A，b ，catanA asinAA b C角斜边，锐角（如c，A）B90A，acSin A， bccos A2、测量物体的高度的常见模型1）利用水平距离测量物体高度数学模型 所用工具应测数据 数量关系 根据原理tan ，tan1x2xatan tantan tan侧倾器皮尺、水平距离atan tanxxatan tantan tan直角三角形的边角
8、关系2)测量底部可以到达的物体的高度 ax1 x2 xa6数学模型 所用工具应测数据数量关系 根据原理皮尺镜子目高 a1水平距离 a2水平距离 a3 ，h321a231反射定律皮尺标杆标杆高a1标杆影长 a2物体影长 a3 ,h1ah23231a同一时刻物高与影长成正比侧倾器tan ,21ahha 1a 2tan矩形的性质和直角三角形的边角关系镜子1a23ahh 3a21 h1a217高 a1水平距离 a2倾斜角皮尺侧倾器仰角 俯角 水平距离 a1tan , tan1ah12ahhh 1h 2a 1（tantan）矩形的性质和直角三角形的边角关系3）测量底部不可到达的物体的高度（1）数学模型
9、所用工具应测数据数量关系 根据理论tan ，tanxh1xah21ah1x8仰角 俯角 高度 ahah 1a aa(tantan1 )tantan皮尺侧倾器俯角 俯角 高度tan , tana hx xax a htan atanhaatantan矩形的性质和直角三角形的边角关系测量底部不可到达的物体的高度（2）数字模型 所用工具应测距离数量关系 根据原理仰角，仰角 tan tanxah1xh1h 1 tntha 2h 1a 2 tat1hxa Ah12a1x 9水平距离 a1侧倾器高 a2仰角 仰角 高度 atan , tanhx h axhtantan tantan , tan 、hhx
10、h axtantan tan皮尺侧倾器仰角 仰角 高度 atan , tanhx a hxhtantab tan矩形的性质和直角三角形的边角关系hax h1a x10第三部分 真题分类汇编详解 2007-2012（2007）19 （本小题满分 6 分）一艘轮船自西向东航行，在 A 处测得东偏北 21.3方向有一座小岛 C，继续向东航行 60 海里到达 B 处，测得小岛 C 此时在轮船的东偏北63.5方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛 C 最近？（参考数据：sin21.3 ，tan21.3 ， sin63.5 ，tan63.52）92525910A BC北东11（2008）19 （本
11、小题满分 6分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中， 表示窗户，且 米， 表示直AB2ABCD角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线 的最小夹角 为 ，最大夹角CD18.6o为 请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中 的长是多少米？（结果64.5o保留两个有效数字）（参考数据： ， ， ， ）sin18.6032otan18.6034osin6.509otan64.521oADBCG EDBAF第 19 题图12（2009）19 （本小题满分 6 分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔 CD 的高度他们首先从 A
12、处安置测倾器，测得塔顶 C 的仰角 21FE，然后往塔的方向前进 50 米到达 B 处，此时测得仰角 37GE，已知测倾器高 1.5 米，请你根据以上数据计算出古塔 CD 的高度（参考数据： 3sin75 ， 3tan74 ， 9sin215 ， tan218 ）（2010）19 （本小题满分 6分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦 AB， AB米为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户 C处测得大厦顶部 A80的仰角为 37，大厦底部 B的俯角为 48求小明家所在居民楼与大厦的距离 CD的长度 （结果保留整数）（参考数据： ）oooo371sin7tansin48tan48510
13、0， ， ，解：B3748DCA13（2011）19(6 分)某商场准备改善原有楼梯的安全性 能，把倾斜角由原来的 40减至 35已知原楼梯 AB长为 5m，调整后的楼梯所占地面 CD有多长？(结果精确到 0.1m参考数据：sin400.64，cos400.77，sin350.57，tan350.70)（2012）20.（8 分）附历年真题标准答案：（2007）19 （本小题满分 6 分）第 19 题图4035ADBC14解：过 C 作 AB 的垂线，交直线 AB 于点 D，得到 RtACD 与 RtBCD 设 BDx 海里，在 RtBCD 中，tanCBD ，CDx tan63.5CB在 R
14、tACD 中，ADABBD (60 x)海里，tanA ，CDACD ( 60x ) tan21.3 xtan63.5 (60x)tan21.3，即 解2605x得，x15答：轮船继续向东航行 15 海里，距离小岛 C 最近 6（2008）19 （本小题满分 6分）解：设 CD为 x ，在 Rt BCD中， ， o6.18BD ， 2CDBtan xC34.0tan在 Rt ACD中， ， ， o5.64ACDAtan xADC1.2tan ， Ax301.2 1.4x答： CD长约为 1.14米 （2009）19 （本小题满分 6 分）解：由题意知 CDA ， EFD ， 90EF，设 x，在 Rt 中， tan，则 8tanta213CExF；在 CG 中， EG，则 4n7G EF， 84503x 37.5x， .5139D（米） 答：古塔的高度约是 39 米6 分（20
