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1、2012 学年度高三数学总复习单元测试数列与数学归纳法班级 姓名 学号_一、填空题：（本大题满分 56 分）本大题共有 14 小题，每个小题填对得 4 分，否则一律得零分。1等差数列 中， 则公差 。na,8,462ad2已知 的三个内角 依次成等差数列，则 。ABCVABCcos_B3数列 的前 项的和 ，则此数列的通项公式 =_。21nSna4 。1lim_nna5等比数列 的前三项分别为 ，且 ，则 = 。n 3,2,a213n6在数列 中， ，且对任意大于 1 的正整数 ，点 在直线13 1(,)na上，则 _。30xy2li()na7若某厂今年 1 月份产量为 1 万吨，且计划每月比
2、前一个月产量递增 5 %，则该厂今年的年产量为 万吨（保留整数） 。8在无穷递缩等比数列 中，已知na121321lim()4,lim()6n nnaaLL则 。429k 为正偶数，p(k)表示等式则 表示等式 ,)242(132 kkk (p表示等式 。()10设 是公差为 的等差数列， 是 的前 项和， 是公比为 的等比数列，nadnSanbq是 的前 项积。用类比的方法，将等差数列 前 项和 的公式推广到等比数Tb nS列 中 有 。11数列 的首项为 ，且 ，记 为数列n21a )(12Nann Lna前 项和，则 。nS12已知数列 满足： 43412,0,nnnaa则209a_；
3、201=_。13数列 满足 ,则 的前 项和为_。na1()21nnana6014设函数 , 是公差为 的等差数列, ,()2cosfxxn8125()()fafa则 。2313_fa二、选择题：（本大题满分 20 分）本大题共有 4 小题，每小题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，否则一律得零分。15若数列 是等差数列，则由下列各式所确定的 组成的数列 必为等差数列的n nbnb是 （ ）（A） （B） （C） （D）|nab2nabna12na16在等比数列 中，已知 是关于 方程 的两个根，则53,x052kx等于（ ）642(A) (B) (C) (D) 25 517若 存在，则 的
4、取值范围为（ ）lim(1)nna（A） （B） （C） （D） 或 00101a1a018已知等差数列 的公差不为零， 中的部分项 构成等比nn L,32nkkk数列，其中 则 等于（ ）,7,5,321kk nkL321(A) (B) (C) (D)都不对3nnn三、解答题：（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。19 （本题满分 12 分）等比数列 的公比为 ，且 ，naq9,065an（1）求证： ；（2）求 的值。1056a313231logllogL20 （本题满分 14 分）已知数列 中： ，na2,11an（1）求证：数列 是等差数列；1na
5、（2）求数列 的通项公式。21 （本题满分 14 分）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，对于任意的正整数nanS都有等式 成立.n12124nSSaL（1）求 ；（2）求证 ;(3)求 。1 ()nnaN1limniS22 （本题满分 16 分）定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.已知无穷等比数列 的首项、公比均为 .na12（1）试求无穷等比子数列 （ ）各项的和；31k*N（2）是否存在数列 的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为 ？若存在，求出na 17所有满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由。23 （本题满分 18 分）设
6、数列 xfSnNSnan 2*)(),(, 在 函 数点对 一 切项 和 为的 前 的图象上。（1）求 的表达式；（2）设 ,1aAnn 是 否 存 在 实 数项 积的 前为 数 列 使得不等式 aAn对一切*N都成立？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）将数列 a依次按 1 项，2 项循环地分为 )(,),(,)(,),( 10987654321 ，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 10,bn求的值。参考答案：一、填空题：11 2. 3. 4. 22(1)na10a不 存 在5. 4 6. 3 7. 16 8.2 9. )42(41
7、32;12 10. 或(1)nTbq1()nnTb11 312解：依题意，得 2094503a， 201407142510aa. 应填 1，0。13 8314数列 是公差为 的等差数列,且 n8125()()ffcoscs(o2 521521 aaaLL）（即 ,0)cos(53521 a）（得 43,13 。23()fa 87)cos( 223123 aa二、选择题：15.D 16.A 17.C 18.A 三、解答题：19. 解:（1）略；（2）1020. 解：解:（1） 是等差数列。112,2nnnnaa（2） na21. 解：(1)当 n=1 时， .12a（2）当 时，142nnnSS
8、a所以 214nnnSa当 n=1 时，也符合 21na所以 21()4nnnSaN(3) 当 时，221 1144nnnnSaa 所以 1()()0nnaa因为 ， 所以01n于是数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列.n所以 , ,()()S11()nSn所以 11limli( )23nnkkL。li()n22解：（1）依条件得： 则无穷等比数列 各项的和为：*31(N)2kka31ka；2378a（2）解法一：设此子数列的首项为 ，公比为 ，由条件得： ，1aq102q则 ，即 1q12q1(),)747而 则 .*1(N)2ma1,8aq所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它
9、的首项、公比均为 ，18其通项公式为 ， .8na*解法二：由条件，可设此子数列的首项为 ，公比为 .1a12mq*(N)由 *Nm102m172m又若 ，则对每一 都有 16a*N1168722ma从、得 ；1718则 ；182ma712mq因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为 无穷等比子18数列，通项公式为 。18na23解：（1） .,)(),( 22 nSxfSnn 的 图 象 上在 函 数点Q 所以 a（2） )1()1(2nn aaAL即 38543则 ，121nnA，所以数列 单调递减。于是当 时，A121)(maxAn分 时 也 成 立时当 4. ).,*NSan所以要使不等式 aAn对一切 *N都成立，只需 21a（3）数列 依次按 1 项， 2 项循环地分为（2） ， （4，6） ， （8） ， （10，12） ；（14） ，（16，18） ；（20） ，每一次循环记为一组。由于每一个循环含有 2 个括号，故 b100是第50 组中第 2 个括号内各数之和。由分组规律知， 1,0, 21064 dbb公 差组 成 一 个 首 项L的等差数列。所以 .598)5(10
