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1、 3-6 二维调和函数与平面场 保角变换法(一 ) 二维调和函数用 u(x,y)表示两个实变量 x 和 y 的二元函数。方程称为二维拉普拉斯方程 (参看 5-3)。具有连续的二阶导数并满足二维拉普拉斯方程的函数称为二维调和函数。关于复变函数与二维调和函数的关系有一条重要定理：定理一 设复变函数(3-6-1a)在复平面的区域 D内解析，则它的实部 u(x,y)和虚部 v(x,y)都是 (x,y)平面的区域 D内的调和函数。证：按假设， w=f(z)在 D内解析，因而在 D内可求导，并且满足柯西 黎曼条件 (1-3-4)，即(3-6-2)将第一式对 x求导，第二式对 y求导，得再利用就得到这就证明
2、了 u=u(x,y)是调和函数。同理，将 (1-3-17)的第一式对 y求导，第二式对 x求导，可以证明(3-6-1b)即 v = v (x,y) 也是调和函数。 【 证毕】我们证明了，在区间 D内解析的复变函数的实部和虚部都是该区间内的二维调和函数。这两个二维调和函数之间有关系 (3-6-2)。通常称它们是相互共轭的调和函数。(二 ) 平面场的复电势定理一可以用来研究平面上的拉普拉斯方程。考虑定义在 xy平面的区域 D内的平面静电场，其场强为而电势为两者之间有关系 E = grad U，其分量式为(3-6-3)设在区域 D内无电荷，则场强 E 满足方程(3-6-4)即 U(x,y)是二维调和
3、函数。因此，可以将 U看成是在 z平面上区域 D内解析的复变函数 w=u + i v的实部或虚部。例如，可以令 U等于 w的实部：(3-6-5)(3-6-6)设一给定了平面静电场的电势 U，也就是给定了 w的实部 u，利用 (1-3-14)可以求出 w的虚部 v。这样得到的复变解析函数 w称为静电场的复电势。在 w平面上，两个方程 (3-6-7)(3-6-8)是相互正交的两个直线族。根据保角映射的原理 (1-3-15)，上述两个方程在 z 平面的区域 D内是相互正交的两个曲线族。其中第一个曲线族是静电场的等势线 根据 (3-6-6)，而第二个曲线族和等势线正交，因而是电场的电场线。因此，只要知
4、道了复电势，就很容易作出等势线和电场线。(3-6-10)(3-6-9)例 1 已知平面电场的复电势是(3-6-11)作出它的电场线和等势线。解：将 (3-6-11)平方因而为了画电场线和等势线，从上述二式中分别消去 v或 u，由第二式得将 v2 = u2 + x 代入得将 u2 = v2 x 代入得于是，电场线的方程 (3-6-10) v = C2 成为(3-6-12)这是一族抛物线，如图 3-6-1中的实线。等势线的方程 (3-6-9)u = C1 成为 (3-6-13)这于是一族抛物线，如图 3-6-1中的虚线。这是带电平板边沿所产生的电场。(3-6-14)例 2 已知平面静电场电场线的方
5、程为求等势线的方程并作图。解 ： (3-6-14)左边的函数应该是某一解析的复变函数 w的虚部或者实部。为了利用前面已经得到的结果，我们假定它是 w的实部因而 w的虚部就是电势 U：在 1-3例 1中已经求出了这一复变函数的虚部(3-6-15)故等势线的方程是在 1-2的例 2中，画过等势线 (3-6-15)和电场线 (3-6-14)的图形，如图 1-2-6，这是互相垂直的两块无限大带电导体平板在两板之间的空间中所产生的场。(三 ) 解平面场问题的保角变换法用复电势方法可以画出等势线和电力线，但必须先给定复电势，或给定等势线 (或电力线 )的方程。系统地求解平面场问题，是在给定电荷分布的情况下
6、求平面场。此时，代替 (3-6-4)式，有见式 (5-3-1)。上式中， =(x,y)是二维电荷密度，将 (3-6-3)式代入，代替 (3-6-5)式得到二维泊松方程(3-6-16)(3-6-17)求解泊松方程的边值问题，其难易程度主要决定于边界的形状。当边界有简单的几何形状时，求解比较容易。对于边界为一般形状的边界问题，可以先设法将它转化为简单形状边界的边值问题，然后求解。按这一思路解二维泊松方程的方法称为保角变换法。 在 1-3中证明了，由解析函数 w=f(z)实现的从 z平面到w平面的变换，在 f (z)0 的点有保角性质。因此，称这种变换为保角变换。以下将限于讨论具有一一对应关系的保角
7、变换，即假定 w=f(z)和它的反函数都是单值函数；或者，如果它们之中有多值函数，就规定取它的黎曼面的一叶。在电荷为零的区域中，电势满足拉普拉斯方程 (3-6-5)设 w = w(z) = u(x,y) + i v(x,y) 在区域 D内解析，则(3-6-5)(3-6-18)的映射是保角映射。将它看成二维变量的变量变换，称之为保角变换。在这一变换下，如果在 (x,y)平面的区域 D内边界形状复杂，而在 u,v平面上的相应区域有简单形状，则可通过求 (u,v)而得到U(x,y)。为此需要一个定理。定理二 设由 (x,y)到 (u,v)的变换 (3-6-19)为保角变换，即 (3-6-18)w=w
8、(z)在区域 D内解析，则：如果 U(x,y)满足拉普拉斯方程 (3-6-5)，则 (u,v)也满足拉普拉斯方程。(3-6-21)(3-6-19)(3-6-20)且(3-6-22)证：利用复合函数求导的法则，有同理，有两式相加，得到利用解析函数的 CR条件 (1-3-4)式，即以及解析函数实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质，见 (3-6-1)式，得到上式化简为按 (1-3-2)式因而(3-6-23) 由此看出，对于保角变换， w (z) 0，只要 U(x,y)满足拉普拉斯方程， (u,v) 也满足同一方程(3-6-24)这样，如果在 z=x+iy平面上给定了 U(x,y)的拉普拉斯方程边值问
9、题，则利用保角变换 w= f (z),可以将它转化为w =u+iv平面上 (u,v) 的拉普拉斯方程边值问题。以下我们来讨论几种简单的保角变换，以及用它们解拉普拉斯方程边值问题 (有源情况下是泊松方程的边值问题 )的例子。(四 ) 由分式线性函数所实现的变换分式线性函数的一般形式是式中， a,b,c,d为常数 (若 adbc = 0，则 w 将恒等于常数 )。我们来讨论由它实现的保角变换。若 c0,式 (3-6-25)可改写为(3-6-25)(3-6-26)这一变换可以分四步实现：(1) z1= z+C ； (2) z2=|B| /z1 ；(3) z3=z2 eiargB ； (4) w =
10、A+ z3 (3-6-27)(1)和 (4)是 z平面和 z3平面上的平移变换； (3)是在 z2平面上转动角度 argB的变换。下面着重讨论变换 (2) 。记 |B|=R2， R为正实数，令 z1=re i、 z2= e i ， 则变换 z2= R2 /z1可进一步分解为 (3-6-28)在图 3-6-2中的 z1 和 z1是在以 R为半径的圆的一根半径及其延长线的两个点，它们和圆心距离的乘积等于半径的平方： r = R2 。这样的两个点称为对于这一圆周的一对对称点，或反演点。 z1 和 z1则是关于实轴的一对对称点。式 (3-6-27)中的 (2)就是这两对关于圆和关于实轴的对称点变换的结
11、合， 也就是变换的复合。和分式线性变换 (3-6-25)有一个重要性质：保圆性。它将 z平面上的圆变为 w平面上的圆。这里所说 “圆 ”包括圆心在无穷远，半径为无穷大的特殊情况，即直线。 变换 (1)、 (4) 平移和 ( 3 ) 转动显然有保圆性。下面来证明变换 (2) z2= R2 /z1 也有保圆性。在 z1= re i 平面上，以 z0 = r0 e i0为心， A为半径的圆的方程是或(3-6-29)(3-6-30)如图 3-6-3，将 (3-6-28)代入，即作变换 z2= R1 / z1 ，得到当 b0时，这是在 z2=e i 平面上，以 为心，以为半径的圆。特殊情况： b=0，变
12、换 z2= R2 /z1 将 z1平面上经过坐标原点的圆映射到 z2平面上成为圆心在无限远处，半径为无穷大的圆，即直线 cos( +0) =常数。反之，z1平面上的一根直线 r cos( 0) =常数，映射到 z2 平面上是经过坐标原点的圆。不难看到，分式线性变换 (3-6-25)在整个复平面除了一个点 z0= d/c 外处处解析，并将整个闭 z平面单值地映射到 w平面上。它的反函数(3-6-31)也是分式线性函数，它将整个闭 w平面单值地映射到 z平面上。因此，分式线性变换 (3-6-25)将闭 z平面一一对应地映射到闭 w平面，且具有保角性和保圆性。下面我们来证明相反的论断也成立：定理三
13、如果 w=f(z)在闭 z平面上除一点 z0 (无限远点或有限远点 )外处处解析，并且将 z平面一一对应地映射到 w平面，则 f(z)是分式线性函数。证：按假设， z0 是一个孤立奇点， f(z)及反函数单值。在本性奇点和高阶极点的邻域内， f(z)的反函数不单值，因而 z0不可能是本性奇点或高阶奇点。另外， z0不可能是可去奇点，否则 f(z)是常数。 如果 z0 是一阶极点，则当 z0为有限远点时 f(z)在 z0 的邻域的罗朗展开式的负幂项只含 (zz0) 1 项。这表明 f (z) B/ (zz0)在闭 z平平面上解析，因而由刘维尔定理可知其为常数 A。因此，(3-6-31)这是分式线
14、性函数 (3-6-26)。如果无限远点是一阶极点，则由同样的讨论知道 f(z)=Bz+A，同样是分式线性函数 (3-6-25)中 c=0的特殊情况。 【 证毕 】例 3 和地面平行，距离地面 h处有一根均匀带电无限长直导线，单位长度电荷量为 e，求电场。解：根据对称性，任何一个垂直于导线的平面上的电场都相同，可以选其中一个平面来研究，如图 3-6-4(a) 。这一平面上的电势满足二维点泊松方程(3-6-32)和边界条件 (3-6-33)(3-6-34)我们来找一个分式线性变换 w= f (z)，它将 z平面上的直线 y= 0映射为 w平面上的单位圆；点 P映射为圆心 P*，如图3-6-4(b)
15、。根据定理三，这样的分式线性变化是存在的。它将上半 z平面映射到 w平面上以 P*为心的单位圆的内部。设是这一变换。三个常数 , 由三个条件决定：(1) P点 (z=i h) 映射为 w = 0，由此得 = i h；(2) 直线 y=0映射为单位圆。这一条件可以换一句话表述： 相对于直线 y=0的反演点对映射为相对于单位圆的反演点对。例如，在 z1=i h 映射为 w1=0 的同时，相对于直线 y=0的 z1 的反演点 z1=i h 映射为相对于单位圆的 w1的反演点 w2 。根据反演点的定义， w1和 w2 的模 1 和 2的乘积等于圆半径的平方。由于 1=0 ，故 2= ，即 w2为无限远点。将 z2= i h ， w2= 代入 (3-6-34)式，得到 = i h 。这样， (3-6-34)成为 (3) 以上只决定了直线 y=0映射为以 P* 为心的圆，还没有确定圆的半径。为了保证圆的半径 =1(单位圆 )，
