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1、第十章 时间序列/截面数据模型1第十章 时间序列/ 截面数据模型在进行经济分析时经常会遇到时间序列和横截面两者相结合的数据，例如，在企业投资需求分析中，我们会遇到多个企业的若干系列的月度或年度经济指标；在城镇居民消费分析中，我们会遇到不同省市的反映居民消费和居民收入的年度经济指标等。我们将这种含有双向信息（横向时间、纵向截面）的数据称为时间序列/截面数据，有的书中也称为平行数据或面板数据（Panel data） 。经典线性计量经济学模型在分析时只利用了时间序列/截面数据中的某一单向信息。然而，在实际经济分析中，这种仅利用单向信息的模型在很多时候往往不能满足人们分析问题的需要。例如，在生产函数分
2、析中，只有利用时间序列/截面数据才能实现规模经济和技术革新的分离分析。横截面数据提供了关于规模经济的信息，时间序列数据（在规模收益不变假设下）提供了技术革新的信息，利用时间序列/截面数据可以同时分析企业的规模经济（选择同一时期的不同规模的企业数据作为样本观测值）和技术革新（选择同一企业的不同时期的数据作为样本观测值） 。时间序列/截面数据含有时间和截面双向信息，利用时间序列/截面数据模型可以构造和检验比以往单独使用横截面数据或时间序列数据更现实的行为方程，进行更加深入的分析。正是基于实际分析的需要，作为非经典计量经济学问题，时间序列/截面数据模型已经成为近 20 年来计量经济学理论方法的重要发
3、展之一。在本章中主要介绍三种常用的时间序列/截面数据模型变截距模型、动态变截距模型、变系数模型。10.1 时间序列/截面数据模型简介时间序列/截面数据模型的基本形式为：， i =1 , 2 , , n ； t =1 , 2 , T (10.1.1)ititititxy其中 yit 是因变量， xit 是 K 1 维解释变量向量，n 为截面成员个数， T 为每个截面成员的观测时期总数。参数 it 表示模型的常数项， it 为对应于回归向量 xit 的系数向量。随机误差项 it 相互独立，且满足零均值、等方差的假设。在成员截面上，该模型共含有 n 个截面成员方程，在时间截面上，该模型共含有 T 个
4、时间截面方程。在（10.1.1）式描述的模型中，自由度（nT）远远小于参数个数（nT （ K+1） +描述 it 分布的参数个数） ，这使得模型无法估计。为了实现模型的估计，我们假定参数满足时间一致性，即参数值不随时间的不同而变化。因此，模型简化为如下形式：（10.1.2）ititiitxy其中，参数 i 和 i 都是个体时期恒量，其取值只受截面单元不同的影响。根据截距项 i 以及系数向量 i 的不同限制要求，我们又可以将（ 10.1.2）式所描述的时间序列 /截面数据模型划分为三种类型：无个体影响的不变系数模型、含有个体影响的不变系数模型即变截距模型和含有个体影响第二部分 基本单方程分析2的
5、变系数模型即变系数模型。无个体影响的不变系数模型的单方程回归形式可以写成：（10.1.3）itititxy在该模型当中，假设在横截面上既无个体影响也没有结构变化，即在各截面方程中，系数向量相同且不含有个体影响 i 项。对于该模型，将各截面成员的时间序列数据堆积在一起作为样本数据，利用普通最小二乘法便可给出参数 和 的一致有效估计。因此，该模型也被称为联合回归模型（pooled regression model） 。变截距模型的单方程回归形式可以写成：（10.1.4）ititiitxy在该模型当中，我们假设在横截面上存在个体影响而无结构变化，并且个体影响可以用截距项i 的差别来说明，即在该模型中
6、各截面方程的截距项 i 不同，而系数向量 相同。我们称该模型为变截距模型。从估计方法角度，有时也称该模型为个体均值修正回归模型（individual-mean corrected regression model） 。变系数模型的单方程回归形式可以写成：（10.1.5）ititiitxy在该模型中，假设在横截面上既存在个体影响，又存在结构变化，即在允许个体影响由跨截面变化的截距项 i 来说明的同时还允许系数向量跨截面变化，用以说明横截面上的结构变化。我们称该模型为变系数模型或无约束模型（unrestricted model ） 。10.2 模型形式的设定在对时间序列/截面数据模型进行估计时，使
7、用的样本数据包含了时间序列和横截面这两个方向上的信息，如果模型形式设定的不正确，估计结果将与所要模拟的经济现实偏离甚远。因此，建立时间序列/截面数据模型的第一步便是检验刻画被解释变量 y 的参数 i 和 i 是否在所有横截面样本点和时间上都是常数，即检验样本数据究竟符合上面哪种时间序列/截面数据模型形式，从而避免模型设定的偏差，改进参数估计的有效性。经常使用的检验是协方差分析检验，主要检验如下两个假设：H1： nL2H2： n21可见如果接受假设 H2 则可以认为样本数据符合模型（10.1.3 ） ，无需进行进一步的检验。如果拒绝假设 H2，则需检验假设 H1。如果拒绝假设 H1，则认为样本数
8、据符合模型（10.1.5） ，反之，则认为样本数据符合模型（10.1.4） 。对应假设 H1 和 H2，在检验的过程中构造的检验统计量分别为：（10.2.1）)1(,)()1(/)(1 KTnFKnTSF第十章 时间序列/截面数据模型3（10.2.2）)1(),(1)1(/)(132 KTnFKnTSF其中，S1、S2、S3 分别为模型（ 10.1.5） 、 （10.1.4）和（ 10.1.3）的残差平方和。如果记 Tt iitiitixyTt iitiitix yxWxW1,1, )()()()(21, )(Ttiitiyy其中TyTxtitititi 11,则 ni ixyjixyiyWS
9、1,1,（10.2.3）记1,1,1, niiyyniixyxyniixxW则（10.2.4）xyxyS12记 niTt ititxyniTt ititx yx11 )()()()(niTtityy12)(其中 nTynTxnititnitit 11,则（10.2.5）xyyS13由于1、S 1/2 2n（T- K-1）；2、 在 H2 下，S 3 /2 2nT -（K+1 ）和（S 3 - S1） /2 2（n-1） （K+1）；3、 （S 3 - S1） /2 与 S1/2 独立。第二部分 基本单方程分析4所以，在假设 H2 下检验统计量 F2 服从相应自由度下的 F 分布，即（10.2.
10、13）)1(),(1KTn若计算所得到的统计量 F2 的值不小于给定置信度下的相应临近值，则拒绝假设 H2，继续检验假设 H1。反之，则认为样本数据符合模型（10.1.3） 。类似地，由于1、 在 H1 下，S 2 /2 2n（T -1）- K和（S 2 - S1） /2 2（n-1 ）K ；2、 （S 2- S1） /2 与 S1/2 独立。所以，在假设 H1 下检验统计量 F1 也服从相应自由度下的 F 分布，即（10.2.14）)1(,)(n若计算所得到的统计量 F1 的值不小于给定置信度下的相应临近值，则拒绝假设 H1，用模型（10.1.5）拟合样本，反之，则用模型（10.1.4）拟合
11、。10.3 变截距模型变截距模型是时间序列/截面数据模型中最常见的一种形式。该模型允许横截面上存在个体影响，并用截距项的差别来说明。模型的基本形式由如下：， i =1 , 2 , , n ； t =1 , 2 , T （10.3.1）ititiitxy其中，各截面方程间不同的截距项 i 为个体时期恒量，用来说明个体影响，即反映模型中忽略的反映个体差异的变量的影响；随机误差项 it 反映模型中忽略的随横截面和时间变化的因素的影响。个体影响分为固定影响和随机影响两种情形，根据个体影响的不同形式，变截距模型又分为固定影响变截距模型和随机影响变截距模型两种。固定影响变截距模型1. 模型形式及参数估计固
12、定影响变截距模型假定各截面单位的个体影响可以由常数项的不同来说明，即在（10.3.1）式所表示的模型中，各截面方程中的截距项 i 为跨截面变化的常数。模型对应的向量形式如下：（10.3.2） nnn uXeeyY MLM121211 00其中， 121TiiiyMKTiiTiiKi xxX212112L， ,Leiiiu,1第十章 时间序列/截面数据模型5并且， ，其中 IT 为 TT 维单位矩阵。)(0,02 jiuEIuEujiTii 利用普通最小二乘法可以得到参数 i 和 的最优线性无偏估计（BLUE）为： niTt iitiitniTt iitiitCV yxxx11 )()()()(
13、（10.3.3）iCViiy在模型（10.3.2）中，我们把参数 i 写为可观测的虚拟变量的系数的形式，因此， （10.3.3）式所表示的 OLS 估计也称为最小二乘虚拟变量（LSDV）估计。该方法也可以推广到包含时期个体恒量的模型，即将（10.3.1）的模型形式推广为：ittitiitxy其中， t 为时期个体恒量，反映时期特有的影响。类似地，通过引进相应的截面个体和时期虚拟变量，利用普通最小二乘法可以得到该形式下的各参数的 OLS 估计，即 niTt tiittiitniTt tiittiitCV yyxxx11 )()()()()yiCVii )(xttt 其中， ，TyTxtititi
14、ti 11, nynxittitt 11,nnititnitit 11,从（10.3.3）式给出的参数估计表达式中可以看出，在解释变量矩阵中并没有包含引进的虚拟变量，因此，将各截面方程中的变量观测值减去其在该截面个体上的平均值，并用转换后的数据，利用普通最小二乘法便可计算出（10.3.3）式的估计量。若将转换矩阵记为：（10.3.4）eTIQ1则由（10.3.3）式所表示的估计结果可以记为：（10.3.5）niiiniCVYX11模型（10.3.2）也被称为协方差分析模型，因此参数 的 LSDV 估计有时也被称为协方差估计。参数 的协方差估计是无偏的，且当 n 或 T 趋于无穷大时，其为一致估计。对应的协方差矩阵为：（10.3.6）112)(iiuCVQXar相应地，由（10.3.3）式给出的截距 i 的估计也是无偏估计，但仅当 T 趋于无穷大时为一致估第二部分 基本单方程分析6计。对应的协方差矩阵为：iCViui XarTVar )(/)(2方差 对应的估计量为：2u)()(122 KnTxysniTt CVitiit 如果引
