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1、第 4 第 PP 单 位 根 检 验 法 与 ADF 单 位 根 检 验 法DF 检 验 要 求 模 型 的 随 机 扰 动 项 独 立 同 分 布 。 但 在 实 际 应 用 中 这 一t条 件 往 往 不 能 满 足 （ 如 上 一 节 中 的 有 关 例 子 ） 。 一 般 来 说 ， 如 果 估 计 模型 的 DW 值 偏 离 2 较 大 ， 表 明 随 机 扰 动 项 是 序 列 相 关 的 ， 在 这 种 情 况 下使 用 DF 检 验 可 能 会 导 致 偏 误 ， 需 要 寻 找 新 的 检 验 方 法 。 本 节 我 们 将 介 绍在 随 机 扰 动 项 服 从 一 般 平
2、稳 过 程 的 情 况 下 ， 检 验 单 位 根 的 PP 检 验 法和 ADF 检 验 法 。一、 PP（ Phillips&Perron）检验首先考虑上一节情形二中扰动项为一平稳过程的单位根检验。假设数据由（真实过程）(1)tt-1tttjt-j=0y= +u,(B) =产生，其中 独立同分布， 。 ，其中 B 为t 2)(,0)(ttDE0)(jjB滞后算子，其系数满足条件 。在回归模型 中检验假设：0jjttt uy10;1:0H与 DF 检验（情形二）一样，模型参数的 OLS 估计为： ttt yyN1121在 成 立 时 ， 上 式 可 改 写 为 ：1,0:H1211t ttT
3、yu以 矩 阵 左 乘 上 式 两 端 ， 得12AdiagT,12 3 12 232 11121 11111t ttt ttt tttt tTyuAy yyTyuTyT 利 用 有 关 单 位 根 过 程 的 极 限 分 布 （ 参 见 第 2 节 ） ， 可 得12 110212 00L W()(r)dT W(r)d 其 中 ， 。 经 过 化 简 ， 可 将 统 计 量 的 极 限 分 离)1(020s 1T()出 来 如 下 ：(2)121 2212 00 12 20 0WWrd/TrdrdWrd 此式表明， 的极限为两项之和，其中第一项是 为独立同分布时1T() tu的极限分布；第二
4、项是由 的自相关性产生的，当 独立时，它等于零。1() tut说明上式是 DF 分布的推广。可以证明，统计量 有以下极限分布：2T(3)20112220Wrdrd与 DF 的分布式相比，此式多了一个因子 ，它反映了扰动项自相关程度对20的极限分布的影响。当扰动项相互独立时， ，从而有2T L,21,0,10jj=1，上式就退化为 DF 的 t 分布。0现利用统计量 对 进行修正，修正式如下：2T1()(4)220()(Ts)其中 为 的一致估计，结合(2)和(3)，有2s02)(tuE(5)2201T()()(Ts)1212 020WWrdrd可以看出，修正后的统计量与 DF 检验情形二中的统
5、计量 的极限分1T()布一致，从而可用相同的临界值表。类似地，可以考虑 统计量的极限分布和修正方法，根据(2)和(3)，有t21Tt()2110102021101022 / drWdrdrWdr (6)对 t 统计量修正如下：(7)200T()ts结合(3) 和(6)，有如下极限分布： (8)200T()ts121212 00Wrdrd修正后的统计量与 DF 检验情形二中的 t 统计量有相同的极限分布，从而可用相同的临界值表。但是，修正统计量(4)与(7) 不能直接用于检验，因为其中含有未知参数 ，0、必需再对未知参数进行估计。令(9)2201ZT()()(Ts) (10)200t ()ts其
6、中 、 ，q 是残差序列自相关的最大阶数。1Tjtjtjujqj 1102可以证明，修正后的统计量 的极限分布与(5) 、(8)相同，从而可由tZ、(9)或 (10)计算统计量的值，然后与 DF 检验临界值表中情形二的临界值进行比较，以判断序列是否存在单位根。此外，对于其它情形（情形一、四） ，Phillips&Perron 证明了，修正统计量 和 的极限分布与 DF 检验中对应情形的极限分布相同，从而可使用 DFZt检验的临界值表。综上所述，PP 单位根检验法是针对扰动项存在序列相关性而提出的，该方法是对 DF 单位根检验法的进一步推广，其关键点是，在 DF 检验统计量的基础上进行修正，由于
7、修正后的统计量与 DF 检验中的统计量有相同的极限分布，因此可借用 DF 检验临界值表进行检验。下面给出 PP 检验的步骤：（1） 以最小二乘法估计回归模型，得到参数估计和残差序列；（2） 计算残差序列的样本自协方差：， j=0,1,2,.1Tjtjtju及 的估计值：)1( jqj 12102其中，q 的大小根据实际情况确定。若从某一阶之后（比如从第 h 阶之后） ，对 的贡献可忽略不记，则 q 取为 h。构造该估计量的 Newey 和 West 建议j2q 取 3 或 4。（3） 计算参数估计量 的标准差 和残差 的估计方差 。tu221tsuT（4） 将上述计算结果代入 或 统计量的表达
8、式，得到统计量的值，查临Zt界值并进行比较，然后作出推断。例 对上节例中的国内生产总值（GDP）序列进行 PP 检验。在上一节例中对 GDP 序列进行 DF 检验，得到如下回归模型： 314680. )2596.()9()89.1( 3177.0 1 DWt GDPtGPt=0.037111DW 值偏离 2 较远，说明残差序列存在相关性。下面用 PP 检验法进行检验。残差序列 的前三阶样本自协方差为：tu； 201tT2975.3411tuT2975.346.0； 221tuN 2975.3406.331tuN 2975.40.jj102975.34 072.4126.03.4=2136.10
9、09= 218.6221tuNs39.5代入修正统计量 可得：tZsNtt 2)()(003819.507218.46973.)653.1()8.4/975.3( 1.2给定显著性水平 5%，查 DF 检验临界值表（情形四） ，临界值为-3.45 。由于 tZ-3.45，从而接受原假设 （即 ） ，表明 GDP 序列存在14.2 0:H1:0单位根。从该例可以看出，进行 PP 检验时 统计量的值较难计算。在实际应用中，tZ可使用包含有 PP 检验的计量经济软件。例如 Eviews 中的 PP 检验，就可直接输出 的值。tZ二、ADF （Augmented DickeyFuller）检验ADF
10、（Augmented DickeyFuller）检验法由 Dickey 和 Fuller 于 1979 年提出，该方法是对 DF 检验的推广，所以常称为增广 DF 检验。其特点是，假设时间数据序列 是由一个 P 阶自回归过程 AR（P）生成的，然后建立估计ty模型并进行单位根检验。在介绍 ADF 检验法之前，先分析 P 阶自回归过程的特性。1、P 阶自回归过程的特性假设时间序列 服从 AR（P）过程：ty(11)tptttt yy L21其中， 为白噪声。利用滞后算子，可将上式表示为：ttyB)( ptttt yy21(12)ttBB)(L令 pL21 1,);(1 jpjj可将滞后多项式 分
11、解成：)(B)1(2pBBL(13)1()21 Bp则(12) 式可转化为： tyB)( ttpyBBB )1()1( 121L整理可得：(14) tpttttt yyy 1211若服从(11)的序列有且只有一个单位根，则其特征方程： 012pzzL有且只有一个值为 1 的根，从而有： 011)(2pL上式等价于 。因此，对服从(11)的序列的单位根检验，就是检验模型(14)中1是否有 。将模型(14)与(6.3.1) 对比可以发现，模型 (14)中多了 的 p-1 个滞后项。如ty果将这些滞后项归到随机扰动项中，则扰动项就成为序列相关的平稳过程，这样，在模型(14)中检验单位根，实际上就是对
12、扰动项为一平稳过程的单位根检验。因为事实上，由(13) 式可得特征多项式的如下表示形式： )(z)12pzzL)1()21 zp当序列有且只有一个单位根时， ，从而有)1(2pzzL )1()1(21 zzzpL)12p使上式左边为零的根中，除了一个根为 1 外，其余的根全在单位圆之外。这一结论对于等式右边也成立，因此 0)1( 12pzzL的根全在单位圆之外。这样，滞后多项式 )(BC121 pB的逆存在，在 为真的情况下，(14)式可写成：1(15)ttpy)( 121L进一步可表示为：(16)tttt uBCy)()(1其中， 为一无穷阶的滞后多项式。(16) 式恰好为模型(1)在 时)
13、()(1BC 1的形式。说明在模型(14)中检验单位根，与 PP 单位根检验在本质上是相通的。正因如此，基于模型(14)的单位根检验被称为增广 DF 检验。2、ADF 检验：与 DF 检验一样，ADF 检验也分为四种情形建立估计模型，并在其中进行单位根检验。情形一：数据序列由模型(14)生成，并在其中单位根，即 。1:0H情形二：数据序列由模型(14)生成，在如下估计模型中检验 。(17)tpttttt yyy 1211L情形三：数据序列由模型(17)生成，在其中检验 。:0H情形四：数据序列由模型(17)生成，在如下估计模型中检验 。1:0(18)tpttttt yyyy 1211L首先考察情形二：（1）可以证明，在 成立时，对模型(17)进行最小二乘估计，得到1:0H的 是 的超一致估计，并且有如下极限：(19)121)(pNL122 01 20WWrdrd可见，此极限分布与 DF 检验情形二中统计量 的极限分布一致，从而可1T()用相同的临界值表。但是，上述统计量中含有未知参数，因此不能直接用于检验。现用 （j=1,2,p-1）的最小二乘估计 代替 ，得修正统计量：j jj (20)121)(pADF
