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1、计算方法实验报告学 院： 信息学院 专 业： 计算机科学与技术 指导教师： 郭卫斌 班级学号： 10101438 计 102 姓 名： 闻翰 计算机科学与工程系实验五 线性方程组的迭代法实验一. 实验目的（1）深入理解线性方程组的迭代法的设计思想，学会利用系数矩阵的性质以保证迭代过程的收敛性，以及解决某些实际的线性方程组求解问题。（2）熟悉 Matlab 编程环境，利用 Matlab 解决具体的方程求根问题。二. 实验要求 建立 Jacobi 迭代公式、Gauss-Seidel 迭代公式和超松弛迭代公式，用 Matlab 软件实现线性方程组求解的 Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel
2、 迭代法和超松弛迭代法，并用实例在计算机上计算。三. 实验内容1. 实验题目 （1）分别利用 Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代求解下列线性方程组，取，要求精度 ：T0,x 51062054100145321xx（2）分别取 、1.05、1.1、1.25 和 1.8，用超松弛法求解上面的方程组，要求精1度为 。52. 设计思想 1.Jacobi 迭代:Jacobi 迭代的设计思想是将所给线性方程组逐步对角化，将一般形式的线性方程组的求解归结为对角方程组求解过程的重复。2.Gauss-Seidel 迭代:Gauss-Seidel 迭代的设计思想是将一般形式的线性方程组的求解过程
3、归结为下三角方程组求解过程的重复。3.超松弛迭代：基于 Gauss-Seidel 迭代，对 i=1，2，反复执行计算迭代公式，即为超松弛迭代。3. 对应程序1.Jacobi 迭代：function x,k=Jacobimethod(A,b,x0,N,emg)%A 是线性方程组的左端矩阵，b 是右端向量，x0 是迭代初始值% N 表示迭代次数上限，emg 表示控制精度，k 表示迭代次数， x 是解n=length(A);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;k=0;r=max(abs(b-A*x1);while remgfor i=1:nsum=0;for j=1:
4、nif i=jsum=sum+A(i,j)*x1(j);endendx2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endr=max(abs(x2-x1);x1=x2;k=k+1;if kNdisp(迭代失败，返回);return;endendx=x1;2.Gauss-Seidel 迭代：function x,k=Gaussmethod(A,b,x0,N,emg)%A 是线性方程组的左端矩阵，b 是右端向量，x0 是迭代初始值% N 表示迭代次数上限，emg 表示控制精度，k 表示迭代次数， x 是解n=length(A);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;r
5、=max(abs(b-A*x1);k=0;while remgfor i=1:nsum=0;for j=1:n if jisum=sum+A(i,j)*x1(j);elseif jNdisp(迭代失败，返回);return;endendx=x1;3.超松弛(SOR)迭代：function x,k=SORmethod(A,b,x0,N,emg,w)%A 是线性方程组的左端矩阵，b 是右端向量，x0 是迭代初始值% N 表示迭代次数上限，emg 表示控制精度，k 表示迭代次数， x 是解%w 表示松弛因子n=length(A);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;r
6、=max(abs(b-A*x1);k=0;while remgfor i=1:nsum=0;for j=1:nif j=isum=sum+A(i,j)*x1(j);elseif jNdisp(迭代失败，返回);return;endendx=x1;4. 实验结果1.Jacobi 迭代：2.Gauss-Seidel 迭代：3.超松弛(SOR)迭代：w=1：w=1.05:w=1.1:w=1.25:w=1.8:四. 实验体会在同等精度下，Gauss-Seidel 迭代法比 Jacobi 迭代法收敛速度快。一般来说，Gauss-Seidel 迭代法比 Jacobi 迭代法收敛要快，但有时反而比 Jacobi 迭代法要慢，而且Jacobi 迭代法更易于优化。因此，两种方法各有优缺点，使用时要根据所需适当选取。当松弛因子为 1 时，超松弛迭代方法等同于 Gauss-Seidel 迭代法，这和理论推导完全相同。另外，超松弛迭代法的收敛速度完全取决于松弛因子的选取，一个适当的因子能大大提高收敛速度。
